Réponse linéaire en dynamique dilatante

Vendredi 16 décembre 2016 13:00-14:00 - Julien Sedro (TopoDyn) - LMO

Résumé : Les applications dilatantes sur une variété riemannienne compacte, connexe, étudiées depuis les années 60-70 avec entre autres les travaux de Shub, Bowen ou Ruelle, sont un des modèles les plus simples de dynamique chaotique.
Dans un premier temps, nous exposerons les propriétés topologiques de telles applications, puis nous en présenterons quelques conséquences dynamiques (semi-conjugaison avec un sous-décalage de type fini, présence d’un exposant de Lyapunov strictement positif), typiques du chaos.
Nous essaierons de montrer qu’il est naturel d’étudier ce genre de dynamiques d’un point de vue ergodique, c’est-à-dire à chercher des mesures invariantes par la dynamique présentant de « bonnes » propriétés statistiques.
Dans un second temps, nous montrerons que les propriétés de ces objets ergodiques (mesures, fonctions de corrélations) sont intimement liés au spectre d’un certain opérateur, l’opérateur de transfert de Ruelle, agissant sur l’espace des fonctions hölderiennes de la variété : on construit ainsi l’unique mesure invariante, absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, et présentant une décroissance exponentielle des corrélations, dite mesure SRB.
Nous nous intéresserons ensuite au problème de la réponse linéaire : étant donnés une famille d’applications dilatantes (T_{t})_{t\in[-1,1]}, et leurs mesures SRB associées, (\mu_{t}), que dire de la régularité de l’application t\mapsto \mu_{t} ? A t-on une formule explicite pour sa dérivée ?
Linear response for expanding dynamics
Expanding dynamics have been known since the 60-70’s and the works of Shub, Bowen or Ruelle, to provide a toy-model for chaotic dynamics.
First, we will expose some topological properties of such maps, and present some dynamical consequences : factor of a sub-shift of finite type, presence of a positive Lyapunov exponent, typical of chaos.
We will try to show that it is natural to study this kind of dynamics from an ergodic perspective, i.e search for invariant, absolutely continuous w.r.t Lebesgue measure, with « nice » statistical properties.
In a second time, we will show that those ergodic objects (measures, correlations functions) are intimately related to the spectrum of a certain operator, namely the Ruelle transfer operator, acting on the space of Hölder functions on the manifold : it allows us to construct a unique invariant measure, absolutely continuous w.r.t Lebesgue measure, which enjoys exponential decay of correlations, the so-called SRB measure.
Lastly we will be interested in the linear response problem : given a family of expanding maps (T_{t})_{t\in[-1,1]}, and their associated SRB measures, \mu_{t}, what could one say about the regularity of the map t\mapsto \mu_{t} ? Could we obtain an explicit formula for its derivative ?

Lieu : petit amphi (bât. 425)

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