Cônes et systèmes dynamiques

Vendredi 17 mars 2017 11:00-12:00 - Maxence Novel (TopoDyn) - LMO

Résumé : Un système dynamique est la donnée d’un espace X et d’une transformation $T:X\mapsto X$ de cet espace. On s’intéresse au comportement des points lorsque la transformation est répétée beaucoup de fois. Y a-t-il des parties ou des directions stables ? Les points de l’espace se mélangent-ils ? Comment se comporte une orbite $(x,Tx,...T^n x)$ quand $n$ est très grand ? Pour des transformations qui conservent des cônes, on peut généralement obtenir des résultats assez forts qui répondent en partie à ces questions. On s’intéressa au cas linéaire, qui correspond au théorème de Perron-Frobenius ; puis on parlera du théorème d’Oseledec, qui fournit (en presque tout point) des directions dans lesquelles la transformation $T^n$ est dilatante ou contractante. Dans le cas de transformations qui conservent des cônes, ces directions ainsi que les coefficients de dilatation associés peuvent être contrôlés.
Cones and dynamical systems
Given a space $X$, dynamical system on $X$ is a transformation $T:X\mapsto X$. We want to know the behavior of points from $X$ when the transformation is iterated a lot of times. Is there stable subsets or stable directions ? Are the points mixing ? What does an orbit $(x,Tx,...T^n x)$ look like when $x$ is very big ? For cone-preserving transformations, we can generally get strong results which answer partially these questions. In this talk, we’ll be interested in the linear case, corresponding to the Perron-Frobenius theorem ; this we’ll talk about the Oseledec’s theorem, which gives (for almost every point) directions where the transformation $T^n$ is expanding or contracting. In the case of cone-preserving transformations, these directions and their coefficients of expansion can be controled.

Lieu : salle 113-115 (bât. 425)

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