Géométries projectives convexes et leur flot géodésique.

Vendredi 15 novembre 11:00-12:00 - Pierre-Louis Blayac

Résumé : La géométrie hyperbolique est un exemple de géométrie non euclidienne, c’est-à-dire qu’elle ne vérifie pas le cinquième postulat d’Euclide, ci-contre sous une forme incompréhensible :
« Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. »
En 1895, David Hilbert, qui travaillait d’arrache-pied sur son quatrième problème, insert la géométrie hyperbolique dans une large classe de géométries dites de Hilbert, ou encore projectives convexes. Celles-ci sont aussi non-euclidiennes ! (ne serait-ce que parce que la notion d’angle n’y a pas de sens). Dans cet exposé nous définirons puis explorerons ces exotiques contrées (la définition de l’espace hyperbolique sera aussi donnée). Puis nous donnerons des exemples de variétés compactes dites « projectives convexes » et nous étudierons leur flot géodésique, pour lui appliquer un célèbre théorème de Margulis (sa thèse en fait) qui compte les géodésiques fermées. Je précise que une des stars des variétés projectives convexes est un membre du labo : Yves Benoist. Ce que je vais raconter est strictement contenu dans son article « Convexes Divisibles I ».

Lieu : Salle de séminaire 2L8

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