Randomisation dans les automates cellulaires abéliens

Jeudi 25 janvier 14:00-15:00 - Benjamin Hellouin - LRI, Orsay

Résumé : Étant donné un espace de décalage G^Z, où G est un groupe fini, un automate cellulaire abélien (ACA) est un automate cellulaire qui est également un endomorphisme de G^Z. Nous étudions l’action de ces ACA sur les mesures de probabilités sur G^Z.
Lind en 1983 puis d’autres auteurs ont remarqué le phénomène suivant : pour une large classe de mesures initiales, l’itération d’un ACA typique converge en moyenne vers la mesure uniforme (d’entropie maximale). En particulier il s’agit de la seule mesure invariante de la classe. Ce phénomène, baptisé randomisation, a ensuite été étendu à des classes de mesures soumises à des hypothèses de mélange faible et de larges familles d’ACA, mais en se cantonnant au cas G = Z/nZ.
Dans ce travail, nous fournissons d’abord une caractérisation des ACA randomisants sur tout groupe abélien via des outils combinatoires et d’analyse de Fourier. Ensuite, nous exhibons des exemples où la randomisation s’effectue non pas en moyenne mais en convergence directe, ce qui était impossible dans le cas G = Z/nZ. Si le temps le permet, je montrerai que la randomisation apparaît également sous l’action du décalage dans des sous-décalages multidimensionnels.
Notre approche repose fondamentalement sur la structure de groupe des automates considérés, mais j’expliquerai pourquoi des arguments empiriques nous amènent à penser que ce phénomène est lié à des propriétés dynamiques (expansivité,...).
Ce travail est une collaboration avec Guillaume Theyssier (CNRS, Aix-Marseille Université) et Ville Salo (Université de Turku).

Lieu : Institut de Mathématique d'Orsay, salle 2L8

Notes de dernières minutes : Café culturel à 13h par Jordan Emme.

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