Le petit Prince et la conjecture de Cartan-Hadamard

Jeudi 6 octobre 2016 14:00-15:00 - Benoît Kloeckner - Université de Paris-Est Marne-la-Vallée

Résumé : La « géométrie de comparaison » désigne un ensemble de résultats et de questions reliant bornes sur la courbure et propriétés géométriques des variétés riemanniennes. Des inégalités classiques permettent par exemple de comparer le volume des boules d’une variété à courbure majorée ou minorée, par un certain k disons, au volume des boules de la variété simplement connexe de courbure constante égale à k.
Une inégalité isopérimétrique sur une variété est une minoration du volume du bord de tout domaine en fonction du volume du domaine lui-même. On connaît l’inégalité isopérimétrique optimale pour chacune des variétés à courbure constante (sphères, espace euclidien, espaces hyperboliques), et on constate facilement que plus leur courbure est basse, plus l’inégalité isopérimétrique est forte. Il a donc naturellement été conjecturé que, sous des hypothèses raisonnables (simple connexité, ...), toute variété de courbure majorée par k devrait satisfaire à l’inégalité isopérimétrique de la variété modèle à courbure k.
Seuls quelques cas de cette conjecture sont actuellement résolus : dimension 2 (Weil et Aubin notamment), 3 (Kleiner) et 4 pour k=0 (Croke) ; le but de cet exposé est de donner une idée de démonstration pour le cas de dimension 4 avec k>0, ainsi qu’une réponse partielle pour k<0. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec G. Kuperberg (Université de Californie à Davis).

Lieu : Bâtiment 425, salle 121-123

Notes de dernières minutes : Café culturel à 13h00 par Pierre Pansu.

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