Hyperséries et nombres surréels

Mardi 27 novembre 2018 14:15-15:15 - Joris van der Hoeven - École polytechnique

Résumé : Les nombres surréels furent introduits par Conway dans les années 70. Ces nombres incluent les nombres réels ordinaires, mais également tous les nombres ordinaux de Cantor. Il existe également une relation de simplicité sur les nombres surréels qui permet de définir des opérations arithmétiques de façon élégante par récurrence transfinie. La classe des nombres surréels forme ainsi un corps réel clos et Gonshor a montré comment définir une exponentielle vérifiant les propriétés usuelles.
Plus récemment, Berarducci et Mantova ont également introduit une dérivation par rapport au premier ordinal infini $\omega$, qui repose sur l’observation que les surréels peuvent être vu comme un corps de transséries généralisées. Une transsérie ordinaire au sens d’Écalle est obtenue formellement à partir d’une variable infinie, les nombres réels, la multiplication, l’exponentielle, le logarithme, et des sommes infinies. Les transséries peuvent être dérivées et composées à loisir et une théorie de corps de transséries généralisées fut développée par mon étudiant Michael Schmeling et moi-même.
La conjecture majeure dans ce domaine est que le corps des nombres surréels est en fait naturellement isomorphe à un certain corps de transséries généralisées. Toutefois, pour construire ce corps, les exponentielles et les logarithmes ne suffisent pas : il faut aussi considérer leurs itérateurs, comme la solution des équations de type $L (\log x) = L (x) - 1$. Ceci mène naturellement à la notion de « hyperséries ». Nous présenterons les progrès les plus récents en vue de réaliser un isomorphisme naturel entres les nombres surréels et les hyperséries.

Lieu : 3L15 bâtiment 307

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