Frontière de Poisson : des groupes discrets aux groupes continus

Lundi 18 février 14:00-15:00 - Sara Brofferio - Université Paris-Sud

Résumé : Soit \mu une mesure de probabilité sur un groupe G. Un problème classique en théorie de probabilité est de caractériser les fonctions harmoniques sur G, c’est-à-dire les fonctions qui restent constantes par rapport à la convolution avec $\mu$.
Pour les groupes des matrices, la question commence à être assez bien comprise dans le cas où la mesure $\mu$ est lisse sur G, et en particulier pour les groupes dénombrables.On sait, dans beaucoup de cas, donner une représentation intégrale des fonctions harmoniques bornées, c’est-à-dire décrire la frontière de Poisson.
Il reste cependant beaucoup des questions ouvertes sur ce qui se passe lorsque la mesure $\mu$ est supporté par un nombre dénombrable d’éléments du groupe.
Dans ce cas la mesure $\mu$ et les fonctions harmoniques associées vivent à la fois groupe $G$ ET sur $\Gamma$, le sous groupe dénombrable de $G$ engendré par le support de \mu.
Une question naturelle est savoir comme les fonctions harmoniques sur le sous groupe discret $\Gamma$ sont liées aux fonctions harmoniques sur le groupe continu $G$. En particulier :
Peut-on construire la la frontière de Poisson de $G$ lorsque on connait (comme s’est souvent le cas) la frontière de Poisson de $\Gamma$ ?
Dans cette exposé je montrerai que la $G$-frontière coïncide avec l’espace de composants ergodiques pour l’action de $\Gamma$ sur le produit de $G$ et de la $\Gamma$-frontière. En particulier cette action est ergodique si et seulement si il n’existe pas de $G$-fonctions harmoniques bornées.
Cela permet construire la $G$-frontière de Poisson pour le groupe du Baumslag-Solitar.
Je présenterai aussi une série de questions ouvertes.

Lieu : Salle 2P8

Frontière de Poisson : des groupes discrets aux groupes continus  Version PDF