Feuilletages singuliers par surfaces de Riemann

Mercredi 18 octobre 14:00-17:30 - Nessim Sibony - Orsay

Résumé : Consid ́erons l’ ́equation dans C2
dz/dt = P(z,w), dw/dt = Q(z,w).
Les polynoˆmes P and Q sont holomorphes et le temps est complexe. Pour
́etudier le comportement global des solutions on se place dans P2. On obtient un feuilletage avec des singularit ́es. plusieurs questions naturelles sont encore ouvertes.
Je rappellerai quelques notions en vue de l’ ́etude dynamique de ces feuille- tages. Je discuterai ensuite leur th ́eorie ergodique . Je traiterai ́egalement du prob`eme suivant. Supposons que tous les points singuliers soient hyperbo- liques, et que la droite `a l’infini est la seule courbe invariante. Dans ce contexte Khudai-Veronov a d ́emontr ́e, que toute les feuilles, except ́e la droite `a l’infini sont denses.
Dans un travail r ́ecent avec T.C Dinh, nous montrons que le feuilletage admet un seul courant ddc-ferm ́e de masse 1, dirig ́e par le feuilletage. C’est le courant port ́e par la droite `a l’infini. Il en r ́esulte un th ́eor`eme d’unique ergodicit ́e. Il existe une ”moyenne” naturelle de type Birkhoff, telle que, pour toute feuille L, la moyenne sur L converge vers le courant d’int ́egration sur la droite `a l ’infini.
On obtient des r ́esultats similaires pour les feuilletages sur les surfaces de Ka ̈hler. La d ́emonstration est un probl`eme de th ́eorie de l’intersection. L’ou- til est une extension de notre th ́eorie des densit ́es, le long d’une courbe, des courants positifs ferm ́es.

Lieu : Salle 113-115

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