Explosion de type II pour l’équation de la chaleur semi-linéaire sur un domaine

Jeudi 13 octobre 2016 15:45-16:45 - Charles Collot - Université de Nice

Résumé : L’équation de la chaleur semi-linéaire $u_t=\Delta u+|u|^p-1u$ est une variante de l’équation de la chaleur où est ajouté un effet non linéaire faisant croître la solution. C’est un exemple typique d’équation d’évolution dont les solutions peuvent devenir singulières en temps fini (on parle alors d’explosion). L’étude de ce phénomène peut présenter des similitudes avec celles menées sur d’autres équations d’évolution non linéaires. En particulier, l’explosion en un point peut être causée par la concentration sur des échelles spatiales de plus en plus petites de profils particuliers. Après avoir présenté cette thématique, nous nous attarderons sur un résultat d’existence pour un tel comportement.
Dans certains cas, il existe un état stationnaire radial $Q(x)$ sur l’espace entier, qui engendre une famille d’états stationnaires $\lambda^-2/(p-1)Q(\lambda^-1x)$ par changement d’échelle. Certaines solutions peuvent alors exploser en temps fini $T$ avec l’asymptotique $u\sim \lambda(t)^-2/(p-1)Q(\lambda(t)^-1x)$, $\lambda (t)\rightarrow 0$ lorsque $t$ tend vers $T$, et l’explosion est de type II car leur norme $L^\infty$ tend vers l’infini à une vitesse différente de celle de l’équation ordinaire sous-jacente $u_t=|u|^p-1u$ dont la vitesse correspond à celles de type I. Des résultats d’existence sont dus à Herrero-Velazquez, Mizoguchi et Schweyer pour des solutions à symétrie radiale, et nous discuterons l’extension au cadre non radial d’un domaine borné avec conditions de Dirichlet.

Lieu : Bât 425, salle 113-115

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