Equation de Szego faiblement amortie

Jeudi 4 avril 14:00-15:00 - Sandrine Grellier - Université d'Orléans

Résumé : L’équation de Szego cubique, introduite il y a une dizaine d’années comme exemple d’équation d’évolution sans dispersion, présente des phénomènes de cascades vers les hautes et les basses fréquences. Ce phénomène, que l’on peut qualifier de turbulence, est particulièrement extraordinaire pour un système pour lequel on a établi la complète intégrabilité.
Précisément, on a montré que, pour une donnée initiale u_0 dans un ensemble dense de \mathcal C^\infty, les solutions de Szego correspondantes Z(t)u_0 sont telles que, dans tous les espaces de Sobolev H^s, s>1/2, pour tout M\in\mathbb{R},

\limsup_{t\to \infty} \frac{| Z(t)u_0|_{H^s}}{t^M}=+\infty,\ \liminf_{t\to \infty} | Z(t)u_0|<\infty.

Cependant, on sait que cet ensemble dense de données initiales est d’intérieur vide !
On poursuit notre étude en introduisant un terme d’amortissement dans l’équation de Szego portant sur la plus basse fréquence et on montre que cela favorise l’existence de solutions non bornées. On démontre notamment que, pour tout s>1/2, il existe un ouvert non vide de données initiales dans H^s qui mènent à des solutions dont la norme H^s tend vers l’infini à l’infini.
Il s’agit de travaux en collaboration avec Patrick Gérard.

Lieu : IMO, Salle 3L8

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