Convergence des solutions de l’approximation ergodique d’équations d’Hamilton-Jacobi

Jeudi 18 février 2016 14:00-15:00 - Maxime Zavidovique - Paris VI

Résumé : La théorie KAM faible étudie les solutions faibles de l’équation $H(x,D_x u) = constante$ où $u : M\to \mathbb R$, $M$ est une variété connexe compacte et $H$ est un hamiltonien (convexe et coercif dans le fibres) défini sur le cotangent de $M$. La première occurrence historique de l’existence d’une telle constante et d’une fonction $u$ solution de l’équation stationnaire d’Hamilton—Jacobi se trouve dans un preprint de 88 de Lions Papanicolaou et Varadhan. Les auteurs perturbent l’équation comme suit : si $\lambda >0$, il existe une unique solution faible $u_\lambda$ vérifiant $\lambda u_\lambda + H(x, D_x u_\lambda) = 0$. Les auteurs montrent ensuite qu’il existe une constante $c\in \mathbb R$ telle que pour une suite $\lambda_n \to 0$, les fonctions $u_\lambda_n +c/\lambda_n$ convergent vers une fonction $u$ qui convient.
Dans un travail avec A. Davini, A. Fathi et R. Iturriaga on a montré que toute la famille $u_\lambda + c/\lambda$ converge quand $\lambda \to 0 $. J’expliquerai ce résultat et donnerai des éléments de démonstration sur une version discrète du problème.

Lieu : Bâtiment 425, salle 121-123

Notes de dernières minutes : Café culturel assuré à 13h par Clémence Labrousse.

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