Autour de la formule explicite de Riemann-Weil : comment trouver une information arithmétique à partir de données analytiques

Lundi 26 mars 2018 13:00-14:00 - Guillaume Lachaussée - LMO - équipe Arithmétique et Géométrie Algébrique

Résumé : Jacques Hadamard et Charles de la Vallée-Poussin montrent indépendamment en 1896 le théorème des nombres premiers. Une formulation possible en est que, si p_n désigne le n-ème nombre premier, alors

 p_n = n \log n + n \log \log n + O(n) .

Les deux démonstrations sont peu ou prou les mêmes et font appel aux propriétés de la fonction \zeta de Riemann, et en particulier à la localisation de ses zéros. L’hypothèse de Riemann, en précisant encore la localisation des zéros, donne d’ailleurs un terme de plus dans le développement limité de  p_n .
Cet exemple est très significatif de la théorie des nombres : on considère des objets dont on sait ou présume qu’ils encodent de l’information arithmétique (ici, la fonction  \zeta de Riemann), que l’on étudie via des outils non-arithmétiques (ici, l’analyse complexe) pour en extraire toute la substance. On trouve alors des résultats qui s’expriment bien en termes de théorie des nombres, ce qui clôt la boucle.
Nous exposerons le fonctionnement de cette méthode et introduirons une autre classe d’objets arithmétiques, les représentations automorphes, pour laquelle la formule explicite permet d’obtenir des résultats significatifs.

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Jacques Hadamard and Charles de la Vallée-Poussin proved independently in 1896 the prime number theorem. A possible statement is, p_n being the n-th prime number, that

p_n = n \log n + n \log \log n + O (n).

The two proofs are more or less the same and use fine properties of Riemann’s  \zeta function, and in particular the localization of its zeros. The Riemann hypothesis, being even more specific about the localization of the zeros, gives one more term in the asymptotic development of  p_n .
This example is very significant of the way number theory works : starting from objects which encode arithmetic information (here, the Riemann  \zeta function), we study them with non-arithmetic tools (here, complex analysis) to extract all possible material. This leads to results which can be expressed in terms of number theory, closing the loop.
We will present this method and introduce another class of arithmetic objects, the automorphic representations, for which the explicit formula gives significant results.

Lieu : bâtiment 307, salle 3L8.

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