Théorèmes de compacité et de finitude sans hypoth`ese de courbure

Mercredi 4 septembre 14:00-17:00 - Sylvestre Gallot - Grenoble

Résumé : Il s’agit d’un travail “in progress” en collaboration avec G. Besson, G. Courtois et A. Sambusetti. Nous avons ´et´e inspir´es par trois Th´eor`emes ant´erieurs c´el`ebres : le Th´eor`eme de finitude (`a diff´eomorphismes pr`es) de J. Cheeger, le Th´eor`eme de compacit´e de M. Gromov et le Th´eor`eme de stabilite´ de la structure diff´erentiable de J. Cheeger et T. Colding ; il est `a noter que les deux premiers Th´eor`emes supposent (entre autres hypoth`eses) la courbure section-nelle major´ee et minor´ee et que le troisi`eme s’applique `a une suite de n-vari´et´es de courbure de Ricci minor´ee qui converge vers une vari´ete´ lisse de mˆeme dimension n. Notre but est de nous affranchir de ces hypoth`eses de courbure en les rempla¸cant par l’hypoth`ese (beaucoup plus faible) de majoration de l’entropie et d’´etendre les r´esultats de finitude, de compacite´ et de stabilite´ ´evoqu´es ci-dessus `a l’ensemble des quotients d’espaces m´etriques δ-hyperboliques (au sens de Gro-mov) d’entropie et de diam`etre major´es (ces deux notions conservant leur sens sur des espaces m´etriques g´en´eraux).
Nous obtenons ainsi une borne du nombre de groupes Γ qui ad-mettent une action (discr`ete, cocompacte, par isom´etries) sur un es-pace m´etrique (X, d), δ-hyperbolique (au sens de Gromov) et v´erifiant ces nouvelles hypoth`eses, ce qui a pour cons´equence (dans le cas o`u les groupes sont des groupes fondamentaux) des r´esultats de finitude `a ´equivalence d’homotopie-pr`es ou `a hom´eomorphisme-pr`es et des r´esultats de compacite´ de l’ensemble des quotients Γ\X possibles. Une ´etape-cle´ est une g´en´eralisation, dans le cadre des espaces δ-hyperboliques, de deux r´esultats c´el`ebres : une in´egalite´ de Bishop-Gromov (qui majore le rapport entre les mesures de deux boules concentriques) et un Lemme de Margulis, qui minore la systole de l’action de Γ sur (X, d) (i. e. l’infimum des d(x, γ x) pour tous les γ ∈ Γ \ idX), ces deux r´esultats s’exprimant ici en fonction de majorants de δ, de l’entropie et du diam`etre de Γ\X.

Lieu : Salle 3L8

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