Programme

Semestre S1

Algèbre

  • Algèbre (10 crédits)
  • Responsable : Guy Henniart
  • Equipe pédagogique : Pierre-Guy Plamondon
  • Contenu
    1. Groupes finis : groupes cycliques, p-groupes, simplicité.
    2. Anneaux et modules :
      1. Généralités. Modules libres et déterminants.
      2. Anneaux de polynômes et noethérianité.
      3. Diviseurs élémentaires et modules sur les anneaux principaux.
    3. Théorie des corps :
      1. Extensions finies et algébriques.
      2. La correspondance de Galois.
      3. Corps algébriquement clos.
  • Volume Horaire : 50h de cours + 60h de TD (variante A) ou 30h de TD (variante B).
  • Pour les travaux dirigés, l’étudiant choisira :
    1. Soit la variante A (2 séances de travaux dirigés par semaine). La qualité de la participation à ces séances fournit la note C de contrôle continu.
    1. Ou la variante B (1 séance de travaux dirigés par semaine avec obligation de rendre 2 devoirs faits à la maison qui seront dûment corrigés. La moyenne de ces 2 devoirs fournit la note C de contrôle continu)
  • Modalités de contrôle : sup (E,(E+P+C)/3) E=examen (commun aux variantes A et B), P=partiel (commun aux variantes A et B) , C=contrôle continu

Distributions et équations aux dérivées partielles

  • Distributions et équations aux dérivées partielles (10 crédits)
  • Responsable : Patrick Gérard
  • Equipe pédagogique : Konstantin Pankrashkin
  • Contenu :
    1. Fonctions d’essai, régularisation, théorèmes de densité. Distributions : définition, dérivation, multiplication par une fonction, restriction et support, convergence, régularisation. Développement en série de Fourier d’une distribution périodique.
    2. Mesure superficielle sur une hypersurface fermée de l’espace euclidien ; formule des sauts à plusieurs variables ; formule d’intégration par tranches.
    3. Convolution de distributions. Solutions élémentaires du laplacien. Applications à la théorie des fonctions harmoniques : principe du maximum, théorème de Liouville.
    4. Transformation de Fourier des distributions tempérées, applications à la recherche de solutions tempérée d’équations aux dérivées partielles. Théorème de régularité elliptique.
    5. Espaces de Sobolev à une et plusieurs variables. Application à la résolution du problème de Dirichlet : existence et régula
  • Volume Horaire : 110
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Probabilités

  • Probabilités (10 crédits)
  • Responsable : Edouard Maurel-Segala
  • Equipe pédagogique : Pascal Maillard - Nathanael Enriquez
  • Contenu :
    1. Espace de probabilité, variables aléatoires, distribution. Théorème de classe monotone.
    2. Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli.
    3. Convergence presque sûre, en probabilités, Lp. Convergence en loi, Théorème de P. Levy. Théorèmes limites : Loi forte des grandes nombres et théorème de la limite centrale. Vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires. Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires.
    4. Espérances conditionnelles
    5. Modèles de Galton-Watson
    6. Chaîne de Markov associée à temps et espace discrets. Propriété de Markov forte. Théorie du potentiel. Récurrence et transience.
    7. Martingales, sur martingales (à temps discret), inégalités de Doob. Théorème d’arrêt, théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp
  • Volume Horaire : 115
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Mathématiques Générales I, Analyse I

  • Mathématiques Générales I, Analyse I (10 crédits)
  • Responsables : Ekaterina Amerik, Laurent Moonens

Contenu Mathématiques générales

  1. Théorie des groupes
    1. Rappels de notions élémentaires : groupes, sous-groupes, groupes quotients, homomorphisme, théorème de structure.
    2. Action d’un groupe sur un ensemble, exemples et applications, groupes cycliques, groupe symétrique, groupes abéliens de type fini, produits semi-directs, exemples théorèmes de Sylow et applications.
  2. Représentations linéaires des groupes finis
    1. Définition, sous-représentations, morphismes et sommes directes.
    2. Théorème de complète réductibilité.
    3. Théorie des caractères, calcul de tables de caractères.
  3. Anneaux
    1. Rappels de notions élémentaires : anneaux, sous-anneaux, idéaux, homomorphismes, quotients et théorème de structure.
    2. Anneaux euclidiens, principaux et factoriels.
    3. Anneaux de polynômes.

Contenu Analyse

I. Mesure de Lebesgue et théorèmes de dérivation

On rappellera, dans ce chapitre, une construction de la mesure de Lebesgue (via la mesure extérieure et l’approche de Carathéodory, particularisée au cas de la droite réelle) et, après avoir discuté en détail la notion d’ensemble mesurable, on passera quelque temps à étudier des applications d’un théorème de recouvrement dû à Vitali, afin notamment de discuter les propriétés de continuité et de dérivabilité des fonctions croissantes.

II. Intégration

Dans ce second chapitre, on discutera les liens entre les théories de l’intégrale dues à Riemann et à Lebesgue (avec pour fil conducteur les différentes version du théorème fondamental de l’analyse que l’on peut démontrer dans ces deux cadres). On y verra aussi comment une approche simple de la compacité dans R permet de formuler une définition d’intégrale, alliant la simplicité de la définition de Riemann à la puissance de celle de Lebesgue, donnant lieu à un théorème fondamental pour toutes les fonctions dérivables.

Au choix et à la préférence des étudiants, on pourra alors discuter tout ou partie des chapitres suivants

III. Espaces de Lebesgue

Il s’agira d’aboutir, à l’aide d’une inégalité de convexité très simple à obtenir, un résultat de F. Riesz sur la représentation des fonctionnelles linéaires sur les espaces Lp ; on établira en particulier que, pour p>1 fini, on peut identifier le dual de Lp à Lq, où 1/p+1/q=1.

IV. Séries et intégrales de Fourier

On étudiera diverses applications des séries et intégrales de Fourier à des questions d’analyse réelle : existence de fonctions continues nulle part dérivables, fonctions à séries de Fourier « divergentes », étude de la fonction de Weierstrass."

  • Volume Horaire : 115
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Algorithmique avancée

  • Algorithmique avancée (5 crédits)
  • Responsable : Laurent Rosaz

Paquet 1 (45h)

  • Rappels de notions de complexité
  • Structure de données avancées de graphes + structures de données permettant des algorithmes efficaces optimaux (union-find)
  • Parcours (notions avancées)
  • Flots (Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp)
  • Arbre couvrant de poids Min, Plus Court Chemin

Paquet 2 (9h)

  • Base de théorie de la complexité (P, NP, NPC, réduction polynomiale). A priori sans introduire les machines de Turing et en admettant SAT comme NP-complet.

Paquet 3 (13.5h)

  • Programmation Linéaire : Simplexe/Dualité
  • Programmation Dynamique : Problème du Sac à dos (??)

Paquet 4 (3h)

  • Crypto (sensibilisation aux méthodes de chiffrement ??, les aspects protocoles sont vus en cours de sécurité, en L, M et en réseau).

Semestre S2

Arithmétique

  • Arithmétique (10 crédits)
  • Responsable : E. Fouvry
  • Equipe pédagogique : Stéphane Fischler
  • Contenu :
    1. Etude approfondie de Z/nZ,
    2. Fonctions arithmétiques classiques, convolution,
    3. Séries de Dirichlet, fonction zéta, fonctions L, applications aux nombres premiers,
    4. Fractions continues, équation de Pell,
    5. Formes quadratiques binaires, nombres de classes,
    6. Groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres, lien avec les formes quadratiques.
  • Volume Horaire : 110
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Géométrie

  • Géométrie (10 crédits)
  • Responsable : Julien Duval
  • Equipe pédagogique : D. Thomine
  • Contenu :
    1. Revêtements et groupe fondamental. Théorème de van Kampen.
    2. Calcul différentiel. Applications à la topologie générale : théorème de Brouwer, invariance du domaine,
    3. variétés topologiques.
    4. Sous-variétés et variétés. Théorème de Whitney et de Sard.
  • Volume Horaire : 110

Au cours du semestre, les étudiants devront rédiger obligatoirement deux devoirs faits en temps libre chez eux et rendus aux dates fixées par l’enseignant.

  • Modalités de contrôle : au cours du semestre, les étudiants devront rédiger deux devoirs faits en temps libre chez eux. La note finale est donnée par sup (E, (E+P+(D1+D2)/2)/3)
  • E=examen, P=partiel, D1, D2 =devoir

Problèmes d’évolution

  • Problèmes d’évolution (10 crédits)
  • Responsable : Stéphane Nonnenmacher
  • Equipe pédagogique : Anna Kazeykina
  • Contenu : L’objectif de ce cours est de présenter un panorama des méthodes d’étude des équations aux dérivées partielles dites d’évolution, c’est-à-dire décrivant les phénomènes hors équilibre, en se limitant aux problèmes linéaires. Il s’agit donc d’un cours d’analyse, faisant suite au cours « Distributions et équations aux dérivées partielles ».
    1. Théorie des semi-groupes linéaires. Théorème de Hille-Yosida. Exemples d’applications : équations de la chaleur et des ondes dans un domaine, opérateurs autoadjoints et mécanique quantique.
    2. Méthode des caractéristiques pour les équations d’advection. Applications à l’équation des cordes vibrantes (formule de d’Alembert) et aux systèmes hyperboliques à une dimension et à coefficients constants.Usage de l’analyse de Fourier dans la résolution de problèmes d’évolution à coefficients constants. Exemples :équations de la chaleur, de Schrödinger, des ondes dans tout l’espace.
    3. Equations de transport, méthode des caractéristiques.
  • Volume Horaire : 110
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Statistiques

  • Statistiques (10 crédits)
  • Responsable : Elisabeth Gassiat
  • Equipe pédagogique : Thanh Mai Pham Ngoc
  • Contenu : En probabilité, on s’intéresse au comportement d’un processus aléatoire dont on connait la loi. En statistique, on considère donné (ou observé) un processus (ou une variable aléatoire), et l’on cherche à en déduire quelque chose de sa loi. L’objectif du cours est de donner les fondements de la théorie mathématique statistique.
    1. Théorie de la décision : formalisme général de la Statistique, fonction de perte, risque, décisions admissibles, bayésiennes, minimax... Modèle dominé, vraisemblance, exhaustivité, modèle exponentiel. Modèle gaussien.
    2. Estimation ; Estimateur bayésien, estimateur du maximum de vraisemblance, inégalité de Cramer-Rao, information de Fisher, consistance.
    3. Tests : Erreurs de première et seconde espèce, régions de confiance. Hypothèses simples et Lemme de Neyman-Pearson. Familles à rapport de vraisemblance monotone, tests UPP et UPPB. Tests non paramétriques. Analyse de la variance, régression.
  • Volume Horaire : 110
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Mathématiques Générales II, Analyse II

  • Mathématiques Générales II, Analyse II (10 crédits)
  • Responsables : Olivier Fouquet et Dominique Hulin
  • Contenu Mathématiques générales :
    1. Réduction des endomorphismes : diagonalisation, invariants de similitude, forme de Jordan.
    2. Groupes de géométrie : groupe linéaire, transvections, groupe spécial linéaire.
    3. Formes bilinéaires symétriques, formes hermitiennes, formes quadratiques, produit scalaire.
    4. Construction et caractérisation du corps des réels (théorème de Hölder).
  • Contenu Analyse : L’objectif de ce cours est de visiter des théorèmes fondamentaux et des techniques classiques d’analyse, en restant dans le cadre du programme de l’agrégation ou dans son voisinage immédiat. L’accent sera mis sur les applications, qui pourront l’année suivante venir enrichir les plans de leçons, ou fournir des idées de développements d’agrégation. Ce cours pourra également intéresser des étudiants souhaitant renforcer leurs bases en analyse avant de s’engager dans un M2. Quelques thèmes qui pourront être abordés au cours du semestre
    1. Approximation polynomiale
    2. Techniques hilbertiennes
    3. Théorie ergodique
    4. Compacité et théorème d’Ascoli
    5. Séries (et transformée) de Fourier
    6. Fonctions analytiques, fonctions harmoniques en dimension 2
    7. Opérateurs compacts auto-adjoints
    8. Equations différentielles
  • Volume Horaire : 110
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Optimisation continue et combinatoire

  • Optimisation continue et combinatoire (5 crédits)
  • Responsable : Abdel Lisser
  • Contenu :
    1. Optimisation continue :
    2. Introduction à la programmation linéaire
    3. Méthode révisée du simplexe.
    4. Théorie de la dualité.
    5. Géométrie de la programmation linéaire.
    6. Analyse de la complexité et méthode de l’ellipsoïde.
    7. Méthodes de points intérieurs (MPI) : algorithmes primal-dual (complexité et analyse).
    8. Introduction à l’optimisation convexe : méthodes de gradient, conditions d’optimalité, méthodes sans gradient, MPI pour les problèmes convexes et complexité.
    9. Optimisation combinatoire :
    10. Bornes, optimalité et relaxation ; problèmes d’affectation et de couplages, programmation dynamique, Branch and Bound.
    11. Optimisation en présence d’incertitude :
    12. Optimisation robuste, introduction à l’optimisation stochastique.
    13. TP sur le logiciel de programmation linéaire CPLEX.
  • Volume horaire : 42

Période complémentaire de formation

Langues

  • Langues (5 crédits)
  • Coordinateur pour l’Anglais : Philippe Jumel
  • Pour une inscription à une langue autre que l’Anglais, l’étudiant s’adressera directement au Département des Langues, bâtiment 336, bureau 348 auprès de Mme Véronique Gaudelet

MAO Option Calcul formel

  • Mathématiques assistées par ordinateur, Option Calcul formel (5 crédits)
  • Responsables : Stéphane Fischler et Samuel Lelièvre
  • Contenu : Le but du module est d’utiliser un système de calcul formel (Sage), pour approfondir certaines notions d’algèbre et d’arithmétique. Les thèmes principaux du cours sont :
    1. Exponentiation rapide
    2. Algorithme d’Euclide
    3. Corps finis
    4. Factorisation dans Z/pZ[X]
    5. Factorisation dans Z[X]
    6. Résultants et applications géométriques
    7. Tests de primalité
    8. Factorisation d’entiers et introduction au cryptosystème RSA
  • Volume Horaire : 50
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

MAO Option Calcul scientifique

  • Mathématiques assistées par ordinateur, Option Calcul scientifique (5 crédits)
  • Responsables : Quentin Mérigot et Filipa Caetano
  • Contenu : Calcul Scientifique, méthodes numériques pour les Equations aux Dérivées Partielles (Différences Finies, Volumes Finis, Eléments finis)

Ce cours de second semestre vient à la suite du cours de distributions. Une grande importance est accordée à la programmation effective (en langage Python) de méthodes numériques permettant la résolution approchée d’équations modélisant des phénomènes de transport, diffusion, trafic routier, ...

  • Volume Horaire : 50
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

MAO Option Probabilités-Statistiques

  • Mathématiques assistées par ordinateur, Option Probabilités-Statistiques (5 crédits)
  • Responsable : Yann Pautrat
  • Contenu :
    1. Introduction à R
    2. Génération de variables aléatoires de loi donnée (Poisson, Cauchy, normale, ...) : lois discrètes, méthodes d’inversion, de rejet.
    3. Illustration de théorèmes-limites des Probabilités
    4. Méthodes de Monte-Carlo
    5. Chaînes de Markov, simulation de trajectoires
    6. Tests statistiques (paramétriques, de Kolmogorov, du χ-deux)
    7. Etude d’estimateurs (maximum de vraisemblane, bayésiens) sur des échantillons simulés.

On utilisera le logiciel R.

  • Volume Horaire : 50h
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Projet

  • Projet (anciennement TER) (10 crédits)
  • Enseignant responsable : Thierry Ramond
  • Contenu :
Le projet est l’occasion d’approfondir sa culture mathématique et d’effectuer une initiation à la recherche. L’objectif est d’apprendre un sujet accessible ou même original, via la lecture d’articles ou de chapitres de livres, sous la direction d’un enseignant-chercheur. Le travail (qui s’effectuera suivant les années en binôme) a lieu du début à la fin du second semestre, en rencontrant régulièrement l’encadrant. Une liste de projets sera disponible sur DOKEOS en fin de premier semestre, mais il est possible de contacter le responsable de l’UE Projet pour des suggestions d’encadrants dans une thématique spécifique. A la fin du projet, l’étudiant doit avoir rédigé un petit texte de 10 à 15 pages (en LaTeX) et faire un exposé résumant ce qu’il a appris. Il faut une note au moins égale à 10 pour valider son travail. Les points pris en compte pour l’évaluation sont — qualité de la soutenance orale (choix et organisation du matériel, exemples, arguments clefs, existence d’un but à l’exposé, aisance d’expression, ...) — quantité de travail (régularité, progression, automonie, profondeur de la compréhension, originalité des arguments, recul, développement d’exemples, recherches bibliographiques, ...) — qualité de la rédaction (mathématique, linguistique et typographique).

Logique

  • Logique (5 crédits)
  • Responsable : Franck Benoist
  • Contenu : Le but de ce cours introductif est de présenter un panorama des différentes branches de la logique.
    1. Calcul des prédicats. Logique du premier ordre, formules, théories, modèles.
    2. Théorie des ensembles. Axiomes de Zermelo-Fraenkel. Axiome du choix. Ordinaux. Cardinaux.
    3. Théorie des modèles.Théorème de complétude. Théorème de compacité et applications. Ultra-produits.
    4. Récursivité. Fonctions primitives récursives, récursives. Machines de Turing.
    5. Arithmétique. Axiomes de Péano. Théorème d’incomplétude de Gödel.
  • Volume Horaire : 50
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Histoire des Mathématiques

  • Histoire des Mathématiques (5 crédits)
  • Responsable : H. Gispert
  • Contenu :
Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre social de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire d’une notion mathématique, telle la notion de fonction, que les étudiants ont fréquenté depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans l’activité même de mathématiciens de différentes époques à avec leurs questionnements, leurs limites, leurs difficultés voire leurs erreurs à des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme classiques. Le module optionnel, de 25 heures (5 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre. Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD qui alterneront au cours des treize semaines du semestre. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux de différentes époques.
  • Volume Horaire : 25