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Jeudi 25 janvier 14:15-15:15 Clément Cancès (INRIA)
Un modèle diphasique de type Cahn-Hilliard dégénéré

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Résumé : Nous nous intéressons un modèle de champ de phase pour les écoulements diphasiques incompressibles de type Cahn-Hilliard. Contrairement au modèle classiquement étudié dans la littérature, le flux de chacune des phases est ici proportionnel au potentiel chimique de la phase et non au potentiel chimique généralisé. Ce modèle peut s’interpréter comme un flot de gradient Wasserstein. Nous montrons l’existence de solution grâce à des arguments de calcul des variations. Nous nous intéressons aussi à l’approximation numérique du modèle par un schéma volumes finis.

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Jeudi 25 janvier 15:45-16:45 Joseph Thirouin (LMO)
Flot en basse régularité et turbulence faible pour une équation de Szegö quadratique

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons une nouvelle équation d’évolution inspirée de l’équation de Szegö cubique de P. Gérard et S. Grellier, mais dont la non-linéarité est seulement quadratique. En tant que système hamiltonien, cette équation présente des propriétés d’intégrabilité qui permettent de prouver l’existence d’un flot dans l’espace BMO\cap L^2_+(\mathbb{T}), où BMO est l’espace de John et Nirenberg, et L^2_+ désigne l’espace des séries de Fourier L^2 à modes positifs (ou de façon équivalente, l’espace de Hardy \mathbb{H}^2 sur le disque unité de \mathbb{C}). L’étude de variétés stables de petite dimension, où l’EDP se réduit à une équation différentielle ordinaire, permet également d’exhiber des solutions turbulentes - en l’occurrence des solutions lisses dont la norme H^{1/2} reste bornée, mais dont toutes les normes H^s, s>1/2, croissent vers l’infini exponentiellement vite.
Les résultats présentés font partie de ma thèse en cours, sous la direction de Patrick Gérard.

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Jeudi 8 février 15:45-16:45 Pierre-Damien Thizy (Université Lyon I)
De l’analyse à priori à l’existence de solutions pour l’équation de Moser-Trudinger : le cas des hautes énergies

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : On s’intéressera à l’équation de Moser-Trudinger en dimension 2, c’est à dire à l’équation d’Euler-Lagrange associée à l’inégalité de Moser-Trudinger critique avec une nonlinéarité de type exp(u^2) (travail en collaboration avec Olivier Druet). On donnera en introduction quelques motivations variationnelles de ce problème ainsi que les principaux résultats existants. Il est maintenant établi que la quantification des défauts de compacité est fausse pour les suites de Palais-Smale associées à cette équation. Cependant, concernant les solutions de cette équation, nous avons obtenu des asymptotiques ponctuelles précises des pertes de compacité. L’analyse de ce premier travail permet notamment de montrer que les bulles ne peuvent pas s’accumuler et que les pertes de compacité arrivent à des niveaux d’énergie bien identifiés. On expliquera enfin comment ce résultat permet de comprendre d’une manière globale les propriétés d’existence de solutions pour cette équation, même quand l’énergie est bien au-dessus du premier niveau de perte de compacité.

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Passés

Jeudi 18 janvier 15:45-16:45 Nicolas Raymond (Université de Rennes)
Survol semi-classique du laplacien magnétique

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : Cet exposé survolera de récentes avancées relatives à la description du spectre discret du laplacien magnétique, dans la limite semi-classique. Il atterrira avec la description de quelques résultats en dimension deux : les formes normales de Birkhoff, issues d’une collaboration avec S. Vu Ngoc, et les constructions BKW, obtenues le mois dernier avec Y. Bonthonneau.

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Jeudi 18 janvier 14:15-15:15 Vito Crismale (Ecole Polytechnique)
Densité en GSBD et approximation d’énergie de rupture fragile.
Jeudi 11 janvier 15:45-16:45 Simão Correia (Université de Strasbourg)
Some new local and global well-posedness results for the nonlinear Schrödinger equation

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : In this presentation, we shall consider the nonlinear Schrödinger equation on \mathbb{R}^d,
iu_t + \Delta u + \lambda |u|^\sigma u = 0
with an initial condition at t=0. This is already a classical equation, with a vast literature regarding the behaviour of the solutions to this problem. We discuss the extension of the H^1 local well-posedness theory to some larger spaces which, in particular, do not lie inside L^2. As a byproduct, we develop the theory for the plane wave transform, which is of independent mathematical interest. If time allows, we present some global existence results, which either rely on a small data theory or on the concept of finite speed of disturbance.

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Jeudi 11 janvier 14:15-15:15 Luca Calatroni (Ecole Polytechnique)
Anisotropic image osmosis models for visual computing

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Résumé : We consider a drift-diffusion PDE modelling the non-symmetric physical phenomenon of osmosis (Weickert, ’13) and apply it to solve efficiently several imaging tasks such as image cloning, image compression and shadow removal. For the latter problem, in order to overcome the smearing artefacts on the shadow boundary due to the action of the Laplace operator, we extend the linear model by means of directional diffusion weights allowing for a combined osmosis and non-linear inpainting procedure. In particular, analogies with the second order diffusion inpainting equations (e.g. Harmonic, Absolutely Minimising Lipschitz Extensions, Total Variation) and connections with Grushin operators are shown. Numerical details on the efficient implementation of the model via appropriate stencils mimicking the anisotropy at a discrete level are presented and applications to camera and cultural heritage conservation images are also presented.

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Jeudi 21 décembre 2017 14:15-15:15 Benoît Merlet (Univ. Lille I)
à préciser
Jeudi 14 décembre 2017 15:45-16:45 Annalaura Stingo (Université Paris 13)
Existence globale de petites solutions pour l’équation de Klein-Gordon cubique 1D

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Lieu : Bât 425, salle 113-115

Résumé : Soit u solution d’une équation de Klein-Gordon quasi-linéaire cubique, avec données initiales lisses et suffisamment petites. Sous une condition de structure sur la non-linéarité, on sait que la solution existe globalement en temps lorsque les données initiales sont à support compact. Dans l’exposé on prouvera que ce résultat est vrai aussi pour des données initiales qui ne sont pas à support compact, mais seulement décroissantes à l’infini comme \langle x\rangle^{-1}, en utilisant la méthode des champs de vecteur de Klainerman ainsi qu’une analyse micro-locale semi-classique. De plus, on obtiendra une expression explicite pour le premier terme du développement asymptotique de u, montrant du modified scattering.

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Jeudi 14 décembre 2017 14:15-15:15 Thomas Galloüet (INRIA)
Jeudi 7 décembre 2017 15:45-16:45 Alexis Drouot (Columbia University)
Résonances de Pollicott—Ruelle via mouvement Brownien cinétique

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Lieu : Bât 425, salle 113-115

Résumé : Les résonances de Pollicott—Ruelle sont des nombres complexes qui quantifient la décroissance exponentielle des corrélations pour les systèmes dynamiques chaotiques. 
Nous prouvons que ces resonances sont les limites de viscosité des valeurs propres d’un processus stochastique, le mouvement Brownien cinétique, introduit independamment par Grothaus—Stilgenbauer, Li et Angst—Bailleul—Tardif. La preuve utilise des estimations hypoelliptiques semi-classiques obtenues pour le Bismutien par Bismut—Lebeau (dans le cas classique) ; et l’approche microlocale de Faure—Sjöstrand revisitée par Dyatlov—Zworski.

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Jeudi 7 décembre 2017 14:15-15:15 Georges-Henri Cottet (LJK, Université Grenoble-Alpes)
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