Prochainement

Mercredi 2 mai 11:00-12:00 Davi Obata 
On the stable ergodicity problem in conservative dynamics.

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Résumé : Ergodicity is an important feature that a conservative dynamical system can have. It states that from the probabilistic point of view the system cannot be decomposed. In this talk we will study the question : When is a conservative dynamical system ergodic and every other conservative system close to it is also ergodic ? Such systems are called stably ergodic. This type of problem dates back to Kolmogorov in 1954, but the first examples were given in the 60’s by Anosov, the so-called hyperbolic (or Anosov) systems. I will present a small survey on this problem. We will see some of the main ideas behind dealing with stable ergodicity, some recent results and some future directions.

Sur le problème de stabilité ergodique en dynamique conservative

L’ergodicité est une qualité importante qu’un système dynamique conservatif (préservant une mesure de probabilité) peut avoir. Elle dit que du point de vue probabiliste, le système est indécomposable. Dans cet exposé nous étudierons la question suivante : étant donné un système dynamique conservatif ergodique, quand peut-on dire que tous les systèmes dynamiques conservatifs assez proches sont encore ergodiques ? Un tel système est dit stablement ergodique. Ce type de problème a été posé par Kolmogorov en 1954, mais les premiers exemples ont été donnés par Anosov dans les années 1960, il s’agit des systèmes hyperboliques (ou Anosov). Je vais présenter un petit survol sur ce problème : nous verrons quelques idées principales, quelques résultats récents et quelques directions futures.

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Passés

Mercredi 18 avril 13:30-14:30 Guillaume Maillard  (LMO-PS)
Mesures de la taille d’un ensemble d’hypothèses et garanties de généralisation.

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Lieu : Salle 2L8 (IMO)

Résumé : En apprentissage statistique, on cherche à prédire une variable d’intérêt à partir d’autres variables que l’on a à disposition. Pour ce faire, plus l’ensemble de fonctions considéré est grand, plus il sera facile d’approcher la forme inconnue de cette dépendance. Cependant, le risque existe alors que la relation observée sur les données soit due purement au hasard. Si c’est le cas, la règle établie sur les données ne se généralisera pas à de nouvelles observations. C’est ce qu’on appelle le surapprentissage. Pour l’éviter, il faut trouver un moyen approprié de mesurer la complexité d’un ensemble de fonctions. Je décrirai quelques mesures classiques et en déduirai des majorations de l’erreur de généralisation.
Measure of the size of a set of hypotheses and warranty of generalization
In statistical learning, one tries to predict a variable of interest from other variables at its disposition. To do so, the bigger the set of functions used, the easier it will be to approach the the unknown form of dependence. However, there is a risk that the relationship observed among data is purely fortuitous. If it’s the case, the established law on data will not generalize well to new observations. It’s the so-called over-fitting. In order to avoid it, one needs an appropriate way to measure the diversity of a set of functions. I will describe some classical measures and I will deduce bounds on the error of generalization.

Mesures de la taille d’un ensemble d’hypothèses et garanties de généralisation.  Version PDF

Vendredi 6 avril 11:00-12:00 Camille Labourie  (LMO)
Théorie géométrique de la mesure et problème de Plateau

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Lieu : 2L8, bâtiment 307

Résumé : Le problème de Plateau consiste à minimiser l’aire d’une surface s’appuyant sur un bord. Cet énoncé assez ancien (XVIIIe siècle) est inspiré par les films de savon. Il fait l’objet de différentes formulations mathématiques qui correspondent à autant de façons de définir la classe des surfaces « bordées par une frontière » et « l’aire » à minimiser. Ainsi, le problème de Plateau est une classe de problèmes et il a motivé plusieurs théories (paramétrisation conforme, courants intégraux, varifold, chaînes différentiables...). Toutefois, les solutions connues manquent de généralité pour retrouver certaines singularités des films de savons.
En première partie, on motivera la théorie géométrique de la mesure et on en présentera quelques notions de bases (mesures de Hausdorff, dimension, rectifiabilité). En deuxième partie, on formulera le problème de Plateau en adoptant un point de vue spatial. Dans ce cadre, les surfaces sont des sous-ensembles fermés d-dimensionnels (sans structure) de l’espace euclidien. Leur aire est donnée par par une mesure de Hausdorff et la condition d’appui est décrite par une contrainte topologique. La dernière partie sera consacrée aux ensembles quasiminimaux glissants.
Geometric measure theory and Plateau’s problem
Plateau’s problem consists in minimizing the area of a surface spanning a boundary. This old (18th century) statement is inspired by soap films. It admits many mathematical formulations corresponding to different class of surfaces « spanning a boundary » and different « area » to minimize. Thus, Plateau’s problem is a class of problems and it motivated many theories (conform parametrization, integral currents, varifold, differentiable chains...). However, known solutions lack generality to represent some soap films singularity.
In the first part, we will motivate geometric measure theory and we will present somes basic notions (Haudorff measures, dimensions, rectifiability). In the second part, we will formulate Plateau’s problem, adopting a spatial point of view. In this setting, surfaces are closed d-dimensional subsets (without structure) of the euclidian spaces. Their area is given by an Haussdorff measure and the spanning condition is described by a topological constraint. The last part will be devoted to sliding quasiminimal sets.

Théorie géométrique de la mesure et problème de Plateau  Version PDF

Lundi 26 mars 13:00-14:00 Guillaume Lachaussée  (LMO - équipe Arithmétique et Géométrie Algébrique)
Autour de la formule explicite de Riemann-Weil : comment trouver une information arithmétique à partir de données analytiques

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Lieu : bâtiment 307, salle 3L8.

Résumé : Jacques Hadamard et Charles de la Vallée-Poussin montrent indépendamment en 1896 le théorème des nombres premiers. Une formulation possible en est que, si p_n désigne le n-ème nombre premier, alors

 p_n = n \log n + n \log \log n + O(n) .

Les deux démonstrations sont peu ou prou les mêmes et font appel aux propriétés de la fonction \zeta de Riemann, et en particulier à la localisation de ses zéros. L’hypothèse de Riemann, en précisant encore la localisation des zéros, donne d’ailleurs un terme de plus dans le développement limité de  p_n .
Cet exemple est très significatif de la théorie des nombres : on considère des objets dont on sait ou présume qu’ils encodent de l’information arithmétique (ici, la fonction  \zeta de Riemann), que l’on étudie via des outils non-arithmétiques (ici, l’analyse complexe) pour en extraire toute la substance. On trouve alors des résultats qui s’expriment bien en termes de théorie des nombres, ce qui clôt la boucle.
Nous exposerons le fonctionnement de cette méthode et introduirons une autre classe d’objets arithmétiques, les représentations automorphes, pour laquelle la formule explicite permet d’obtenir des résultats significatifs.

 \quad

Jacques Hadamard and Charles de la Vallée-Poussin proved independently in 1896 the prime number theorem. A possible statement is, p_n being the n-th prime number, that

p_n = n \log n + n \log \log n + O (n).

The two proofs are more or less the same and use fine properties of Riemann’s  \zeta function, and in particular the localization of its zeros. The Riemann hypothesis, being even more specific about the localization of the zeros, gives one more term in the asymptotic development of  p_n .
This example is very significant of the way number theory works : starting from objects which encode arithmetic information (here, the Riemann  \zeta function), we study them with non-arithmetic tools (here, complex analysis) to extract all possible material. This leads to results which can be expressed in terms of number theory, closing the loop.
We will present this method and introduce another class of arithmetic objects, the automorphic representations, for which the explicit formula gives significant results.

Notes de dernières minutes : Les doctorants de l’École Doctorale de Mathématiques Jacques Hadamard ainsi que tous ceux qui auraient oublié que l’hypothèse de Riemann est un des problèmes du millénaire sont les bienvenus. Doctoral students from the École Doctorale de Mathématiques Jacques Hadamard as well as all those who would have forgotten that the Riemann hypothesis is one of the millenium problems are welcome.

Autour de la formule explicite de Riemann-Weil : comment trouver une information arithmétique à partir de données analytiques  Version PDF