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Mardi 18 décembre 14:15-15:15 Olivier Taïbi (CNRS et ENS Lyon)
Représentations automorphes de conducteur un : formule explicite de Weil et formule des traces d’Arthur-Selberg

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Résumé : Il s’agit d’un travail en commun avec Gaëtan Chenevier. J’expliquerai comment calculer ``sans trop se fatiguer’’ les dimensions des espaces de formes de Siegel (et autres multiplicités de représentations de la série discrète dans le spectre automorphe d’un groupe classique) en niveau un. Ce calcul emploie la formule des traces mais évite le calcul difficile d’intégrales orbitales, grâce à l’inexistence de certaines représentations automorphes cuspidales pour GL_n/Q de conducteur un et algébriques de caractère infinitésimal (correspondant aux ``poids de Hodge’’ des motifs) donné. La preuve de cette inexistence repose sur la formule explicite de Weil et un argument de géométrie élémentaire, conduisant également à des théorèmes de classification pour les représentations automorphes de conducteur un de petit ``poids motivique’’, étendant un résultat de Chenevier-Lannes.

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Mardi 8 janvier 2019 14:15-15:15 François Loeser (IMJ)
Intégration motivique et fibration de Hitchin

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Résumé : Groechenig, Wyss et Ziegler ont récemment démontré une conjecture de Hausel et Thaddeus prédisant une égalité entre les nombres de Hodge (cordiques) des espaces de modules de fibrés de Higgs pour SLn et PGLn. Un ingrédient crucial de leur approche est l’utilisation d’intégrales p-adiques dans les fibres de la fibration de Hitchin. Nous allons présenter une version motivique de leur résultat, obtenue en utilisant l’intégration motivique. Il s’agit d’un travail en commun avec Dimitri Wyss.

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Passés

Mardi 11 décembre 14:15-15:15 Pierrick Bousseau (ETH)
Miroirs quantiques des surfaces log Calabi-Yau

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Lieu : 3L15 bâtiment 307

Résumé :

  • Gross-Hacking-Keel ont donné une construction de familles miroirs pour les surfaces log Calabi-Yau en termes de comptages de courbes rationnelles. Dans cet exposé, j’expliquerai comment déformer cette construction par des comptages de courbes en genre supérieur de manière à obtenir des déformations non-commutatives de ces familles miroirs. La preuve utilise un théorème de correspondance entre les invariants tropicaux de Block-Göttsche et certains invariants de Gromov-Witten en genre supérieur des surfaces toriques.

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Mardi 4 décembre 14:15-15:15 Misha Verbitsky (IMPA)
Kuga-Satake construction and cohomology of hyperkahler manifolds

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Résumé : Let M be a maximal holonomy hyperkahler manifold. Kuga-Satake
construction gives an embedding of H^2(M,C) into the second cohomology of
a torus, compatible with the Hodge structure. We construct a torus T and an
embedding of the total cohomology space H^*(M,C) into H^*+1(T,C) for
some l, which is compatible with the Hodge structures and the Poincare pairing.
Moreover, this embedding is compatible with an action of the Lie algebra
generated by all Lefschetz sl(2)-triples on M. This is a joint work with
Nikon Kurnosov and Andrey Soldatenkov. Our research was motivated
by trying to construct a higher-dimensional analogue of the Beauville-Bogomolov-Fujiki form.

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Mardi 27 novembre 14:15-15:15 Joris van der Hoeven  (École polytechnique)
Hyperséries et nombres surréels

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Lieu : 3L15 bâtiment 307

Résumé : Les nombres surréels furent introduits par Conway dans les années 70. Ces nombres incluent les nombres réels ordinaires, mais également tous les nombres ordinaux de Cantor. Il existe également une relation de simplicité sur les nombres surréels qui permet de définir des opérations arithmétiques de façon élégante par récurrence transfinie. La classe des nombres surréels forme ainsi un corps réel clos et Gonshor a montré comment définir une exponentielle vérifiant les propriétés usuelles.
Plus récemment, Berarducci et Mantova ont également introduit une dérivation par rapport au premier ordinal infini $\omega$, qui repose sur l’observation que les surréels peuvent être vu comme un corps de transséries généralisées. Une transsérie ordinaire au sens d’Écalle est obtenue formellement à partir d’une variable infinie, les nombres réels, la multiplication, l’exponentielle, le logarithme, et des sommes infinies. Les transséries peuvent être dérivées et composées à loisir et une théorie de corps de transséries généralisées fut développée par mon étudiant Michael Schmeling et moi-même.
La conjecture majeure dans ce domaine est que le corps des nombres surréels est en fait naturellement isomorphe à un certain corps de transséries généralisées. Toutefois, pour construire ce corps, les exponentielles et les logarithmes ne suffisent pas : il faut aussi considérer leurs itérateurs, comme la solution des équations de type $L (\log x) = L (x) - 1$. Ceci mène naturellement à la notion de « hyperséries ». Nous présenterons les progrès les plus récents en vue de réaliser un isomorphisme naturel entres les nombres surréels et les hyperséries.

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Mardi 20 novembre 14:15-15:15 Matthew Morrow (IMJ)
Modules de Breuil—Kisin—Fargues relatifs

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Résumé : Pour tout schéma lisse X sur l’anneau des entiers d’un corps p-adique, nous introduisons la notion d’un « module de Breuil—Kisin—Fargues relatif » M sur X. Un tel M encode à la fois un module sur X muni d’une connexion plate, un cristal au sens de la cohomologie cristalline sur la fibre spéciale de X et un Z_p-faisceau lisse-étale sur la fibre générique de X. Des exemples proviennent notamment du travail de Faltings en théorie de Hodge p-adique entière et de sa théorie des petites représentations galoisiennes généralisées. La première partie de l’exposé sera consacrée à une introduction de la théorie de Hodge p-adique. Travail en commun avec Takeshi Tsuji.

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Mardi 13 novembre 14:15-15:15 Jan Bruinier (Darmstadt)
Arithmetic degrees of special cycles and derivatives of Siegel Eisenstein series

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Lieu : 3L15 bâtiment 307

Résumé : Let V be a rational quadratic space of signature (m,2). A conjecture of Kudla relates the arithmetic degrees of top degree special cycles on an integral model of a Shimura variety associated with SO(V) to the coefficients of the central derivative of a Siegel Eisenstein series of genus m+1. We report on joint work with Tonghai Yang proving this conjecture for the coefficients of non-singular index T under certain contitions on T. To this end we establish some new local arithmetic Siegel-Weil formulas at the archimedean and non-archimedean places.

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Mardi 6 novembre 14:15-15:15 Olivier Benoist (ENS)
Le problème période-indice pour les surfaces réelles

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Lieu : 3L15 bâtiment 307

Résumé : Lang a conjecturé qu’une forme quadratique en au moins 5 variables sur le corps de fonctions d’une surface réelle sans point réel a un zéro non trivial. Après avoir expliqué l’histoire de cette question et ses motivations géométriques, nous en esquisserons une preuve reposant sur une variante réelle du théorème période-indice de de Jong. La démonstration utilise notamment des arguments de théorie de Hodge.

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