Programme

 Courses

Among the courses in this M2, we can distinguish:

  • The crash courses (Topology, Algebraic Geometry, Analysis), taking place in Septembre.
  • The fundamental courses, essentially in the first semester, representing a volume of 72 hours.
  • The specialized courses in the second semester, of approximately 20 hours.

 Crash courses

The crash courses are taking place during 3 weeks (2h in the morning, 2h in the afternoon):

François Charles : Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux - week of September 12th

Contenu

Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but: 1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert et correspondance algèbre/géométrie). 2. Proposer une introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, résolutions injectives et projectives, suites spectrales). On introduira à cette occasion le langage des catégories (catégories abéliennes, foncteurs dérivés). 3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux et de leur cohomologie.

Références
  • Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
  • Commutative Ring Theory, Matsumura
  • Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
  • An introduction to homological algebra, Weibel

Frédéric Paulin : Variétés différentielles et formes différentielles - week of September 19th

Contenu
  • Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses
  • Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré.
  • Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères
  • Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord
  • Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.
Références
  • J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
  • F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, http://www.math.u-psud.fr/ paulin/notescours/coursgeodiff.pdf M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990.
  • M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.

The participation to these crash courses is mandatory for all students. They are credited by 3 ECTS in the second semester.

 Courses of the first semester

During the first semester, the students must validate 30 ECTS by choosing among the following fundamental courses. These are grouped in three disciplinary fields.

Algebraic geometry and number theory

Laurent Clozel (CM), Olivier Fouquet (TD) : Number theory (50h+25h) - 15 ECTS

Content

This course is about modern Number Theory. The first part will treat classical basic Number Theory. It will be good if the students attending are familiar with the book of Samuel, or the book by Ireland and Rosen, listed below, or any equivalent book. The remaining parts will cover on the one hand the local aspects (p-adic fields) and the global ones (number fields and adeles), up to Tate’s theory of L-functions, and on the other hand the decomposition of ideals and their ramification in Galois extensions of number fields, leading to Cebotarev’s theorem.

(To study beforehand, if possible)

  • Samuel, Théorie algébrique des nombres, or
  • Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory, chapiters 1 to 7 , and 12-13.
References
  • Lang, Algebraic number theory
  • Cassels, Fröhlich eds, Algebraic number theory (Proc. Brighton Conference)
  • Weil, Basic number theory
  • Ramakrishnan, Valenza, Fourier analysis on number fields

François Charles (CM), Joël Riou (TD) : Théorie des schémas (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Ce cours introductif a pour but de donner les bases de la théorie des schémas et de la cohomologie des faisceaux algébriques cohérents. Il s’agira pour la majeure partie de donner les bases du langage des schémas, tout en gardant en vue des applications géométriques. Le cours accéléré couvrira les prérequis, mais une familiarité avec des bases de théorie des nombres et/ou de géométrie différentielle ne peut être que bénéfique.

Références
  • R. Vakil, Foundations of Algebraic Geometry, disponible en ligne.
  • G. Kempf, Algebraic Varieties, London Mathematical Society Lecture Notes Series.
  • R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer GTM.
  • A. Grothendieck et J. Dieudonné, Eléments de Géométrie algébrique
  • Stacks Projects, disponible en ligne.

Topology, geometry and dynamical systems

Frédéric Bourgeois (CM), Rémi Leclercq (CM+TD) : Groups and geometry (50h+25h) - 15 ECTS

Content

This is an introductory course in Riemannian geometry and Lie groups. Prerequisites include the crash courses on differential manifolds given at the beginning of the year. We will cover the following topics:

  • Lie algebras and Lie groups, classification of semi-simple Lie groups, homogeneous spaces.
  • Vector bundles, tensors, linear connections, torsion and curvature; principal bundles.
  • Riemannian geometry: Levi-Civita connection, geodesics, Hopf-Rinow theorem, curvatures, variation formulas, Jacobi fields, Cartan-Hadamard theorem, comparison theorems, Riemannian submanifolds, Gauss-Bonnet theorem, geometry at infinity of nonpositively curved Riemannian manifolds.
  • Symmetric spaces, classification of symmetric spaces of non compact type.
  • Geometric structures, rigidity and deformations.
References
  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, 1990
  • W.P.A. Klingenberg : Riemannian geometry. 2nd edition. De Gruyter Studies in Mathematics 1. 1995
  • J. Cheeger, D.G. Ebin : Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. 2008
  • S. Helgason : Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. Academic press, 1978
  • J.P. Serre : Algèbres de Lie semi-simples complexes (French). W. A. Benjamin Inc. New-York 1966
  • J.P. Serre : Lie algebras and lie groups. Lectures given at Harvard University, 1964. W. A. Benjamin Inc. New-York 1965
  • A.W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. 2nd edition. Progress in mathematics, 140. Birkhauser 2002
  • M.R. Bridson, A. Haefliger : Metric spaces of non-positive curvature. Grundlheren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Théorie ergodique (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

L’hypothèse ergodique, formulée par le physicien L. Boltzmann en 1871 pour « expliquer » la mécanique statistique, présume que le comportement à long terme d’un système dynamique est en « moyenne » le même pour tout point initial. Ceci est complètement faux en général, mais à donné naissance à la théorie ergodique, qui remplace « pour tout point » par « pour presque tout point » par rapport à une mesure, invariante par la dynamique. Cette théorie en soi, contient une pléthore de phénomènes intéressants, en forte relation avec la théorie des probabilités :

  • Définitions de base : Mesure, invariance, ergodicité, mélange.
  • Récurrence de Poincaré, théorème de Kac, temps de visite,…
  • Dynamique symbolique.
  • Théorème ergodique maximal, théorème de Birkhoff, Martingales.
  • Entropie d’une mesure invariante. Entropie d ’information de Shannon.

Le cours se déroule sur la 1ère partie du 1er semestre et sera suivi par un cours de Systèmes Dynamiques, bien que les deux soient indépendants.

Références
  • Karl Petersen : Ergodic Theory (Cambridge, 3rd ed. 1995)
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Systèmes Dynamiques topologiques et différentiables (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

La continuité peut avoir des conséquences surprenantes sur le comportement d’un système dynamique, notamment dans le cadre « applications uni-dimensionnelles ». Lorsque le système est différentiable les notions de contraction / dilatation permettent de quantifier la sensibilité du comportement par rapport aux conditions initiales (« effet de papillon »).

  • Applications uni-modales. Théorème de Sarkovski. Entropie topologique.
  • Dynamique symbolique.
  • Dynamique des flots. Théorème de Poincaré-Bendixon.
  • Systèmes dynamiques hyperboliques. Variétés stable/instable. L’application « Chat » d’Arnold.
  • Contraction des cônes. Mélange exponentielle.
  • Exposants de Lyapunov.

Le cours se déroule sur la 2ème partie du 1er semestre. Les notions de la théorie ergodique seront rappelées. Ce cours et le cours sur la « Théorie Ergodique » peuvent être pris de façon indépendante.

Références
  • Robert Devaney : An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, Reading MA 1989.
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.

Real and complex analysis

Joël Merker (CM+TD) : Complex Analytic Geometry (50h+25h) - 15 ECTS

Content

This Master 2 course will present the fundamental aspects of the theory of projective or abstract complex algebraic or analytic (compact) manifolds, in arbitrary dimension n > 1.
Principally, the lectures will be based on a detailed study of Demailly’s and Noguchi’s downloadable books, together with the book of Grauert-Fritzsche, the goal of which is to ‘provide an accessible and understandable introduction to the theory of complex manifolds’.
In link with indispensable Exercise sessions by Viêt-Anh Nguyen, four homeworks will be proposed.

Plan
  • Functions of several complex variables ; Hartogs theorem ; plurisubharmonic functions ; Dolbeault-Grothendieck lemma ; domains of holomorphy ; pseudoconvexity.
  • Topology : singular homology, differential forms, Poincaré duality, intersection of algebraic varieties, Borel-Moore homology.
  • Sheaf theory : short exact sequences, connection homomorphisms, Čech cohomology of sheaves.
  • Complex algebraic and analytic spaces : stratification, normalization, blowings-up, coherent analytic sheaves, Remmert proper mapping theorem.
  • Theory of closed positive currents : Skoda-El Mir-Sibony extension theorem, Chern-Levine-Nirenberg inequality, Lelong-Jensen formula.
  • Hodge theory : Dolbeault cohomology, harmonic forms, Hodge decomposition, Hodge-Riemann bilinear relations.
  • Riemann-Poincaré-Koebe uniformization theorem.
  • Divisors and line bundles : metrics, connections, Chern curvature, Kähler manifolds, Kodaira embedding theorem.
  • Positive vector bundles and vanishing theorems : Bochner-Kodaira-Nakano identity, L2 estimates, Nakano and Griffiths positivity, ampleness of line and vector bundles.
  • Lattices and complex tori : elliptic curves, thêta functions and divisors, Abelian varieties ; Riemann conditions ; moduli spaces.
References
  • Bost, J.-B. : Introduction to compact Riemann surfaces, Jacobians, and Abelian Varieties, Institut des Hautes Études Scientifiques, 1992, 141 pages.
  • Demailly, J.-P. : Complex Analytic and Differential Geometry, www-fourier.ujfgrenoble.fr/-demailly/
  • Grauert, W., Fritzsche, K. : From holomorphic functions to complex manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 213, Springer-Verlag, Berlin, 2002, xvi+392 pp.
  • Griffiths, P., Harris, J. : Principles of Algebraic Geometry, Pure and applied mathematics, Wiley-Interscience, New York, 1978, xii+813 pp.
  • Griffiths, P. : Introduction to Algebraic Curves, Translations of Mathematical Monographs, 76, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1989, x+225 pp.

The students can also follow some courses in common with the M2 Analysis Modelling Simulation.

Partial differential equations

Frédéric Rousset: Linear and non-linear elliptic equations (30h) - 7,5 ECTS

Content

The course will deal with the following topics:

  • Regularity theory for linear elliptic equations: Lp regularity, Holder regularity, regularity for equations with L1 coefficients
  • Schauder fixed point theorem, applications to semi linear elliptic equations. Link with the calculus of variations.
  • Elements of bifurcation theory.
  • Monotony methods, application to p-Laplace equations
  • Introduction to viscosity solutions.

Yvan Martel: Parabolic equations (30h) - 7,5 ECTS

Content

The aim of this course is to present several aspects of the theorical study of linear and nonlinear parabolic equations, from local existence questions to sharp qualitative properties in large time of the solutions.

Plan
  • Linear parabolic equations:
    • Several approaches to the Cauchy problem (existence, uniqueness, regularity), in particular semi-group theory. Non homogeneous equations
    • Qualitative properties of the solutions: maximum principle, asymptotic in time convergence, zero number property in the one-dimensional case.
  • General non linear parabolic equations:
    • Local Cauchy problem (local existence, uniqueness, regularity, backward uniqueness)
    • Some obstructions to global existence
    • How to obtain global solutions.
    • How to obtain bounds on global solutions
    • Cases of existence of a compact global attractor and properties of this attractor.
    • Study of the dynamics in the neighbourhood of an equilibrium point (hyperbolic case; bifurcations).
    • Generic properties.
  • Study of some exemples of semi linear parabolic equations:
    • Reaction-diffusion equation in the one-dimensional case.
    • Systems of reaction-diffusion equations.
    • Navier-Stokes equations.

Nicolas Burq: Dispersive equations (30h) - 7,5 ECTS

Content

The aim of the course is to give an introduction to the study of linear and nonlinear dispersive equations and to exhibit some of the typical behaviors of the solutions: existence, dispersion, scattering or blow-up. The course will focus from the beginning on a few simple models: waves or Schrödinger.

Plan
  • Linear equations: existence, solutions in Fourier
  • Nonlinear equations on a few simple cases via Sobolev embedding
  • Dispersive properties, Strichartz estimates
  • Applications of Strichartz estimates to nonlinear equations
  • Global existence: use of conservation laws
  • Scattering for nonlinear Schrodinger equations
  • An exemple of blow-up in finite time

 Courses of the second semester

During the second semester, the students must validate 30 ECTS by accomplishing a senior thesis and by choosing at least one advanced course.

Senior thesis

The students must mandatorily validate with the M2 manager the name of the proposed senior thesis supervisor and the subject of the senior thesis before this work begins.

Senior thesis- 21 ECTS

The senior thesis consists most often in the understanding of a research article proposed by a member of one of the mathematics departments in the Paris-Saclay University (Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, …) or of another department with the agreement of the M2 manager, as well as the writing of a senior thesis (combined with an oral presentation).

Advanced courses

Cyril Houdayer: Ergodic theory of group actions (20h) - 6 ECTS

The summary of this course will be available later.

Bertrand Rémy : Introduction aux groupes algébriques (20h) - 6 ECTS

Contenu

Un groupe algébrique défini sur un corps donne lieu à une famille de groupes abstraits : en effet, si on part d’un tel groupe de matrices, on peut obtenir différents groupes en prenant comme corps de coefficients les diverses extensions du corps de base. Quand le groupe en question est simple, la classification de ces groupes sur les corps algébriquement clos est un résultat frappant (dû à Chevalley) car la liste obtenue ne dépend pas du corps et s’énonce de façon purement combinatoire, essentiellement au moyen des diagrammes de Dynkin. Dans ce cours, on va s’intéresser à la structure (et éventuellement à la classification) des groupes abstraits obtenus quand le corps de base n’est pas algébriquement clos. L’idée est de partir de conditions mixtes de géométrie algébrique et de théorie des groupes pour obtenir une description combinatoire abstraite des groupes de matrices simples sur des corps quelconques (il s’agit de la théorie de Borel-Tits). La combinatoire ainsi obtenue, celle des systèmes Tits, a de multiples applications, notamment en théorie des représentations et en géométrie.

Références
  • A. Borel : Linear algebraic groups, Springer, 1991.
  • M. Demazure et P. Gabriel : Groupes algébriques, Masson, 1970.
  • T. Springer : Linear algebraic groups, Springer, 1998.
  • W. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, 1979.

Andrei Moroianu: Kähler geometry (20h) - 6 ECTS

Contenu

Ce cours s’adresse aux étudiants ayant déjà suivi un cours de géométrie riemannienne, comme par exemple celui de Groupes et géométrie fait par Frédéric Bourgeois et Rémi Leclercq au premier semestre.

Après une introduction des variétés complexes et des fibrés holomorphes, on présentera les variétés kähleriennes et leur propriétés d’un point de vue riemannien. On s’intéressera aux opérateurs différentiels naturels sur ces variétés, et on présentera la théorie de Dolbeault à travers les identités kähleriennes, et le formalisme de Chern-Weil pour les classes caractéristiques.

Dans la deuxième partie du cours on étudiera le tenseur de Ricci des variétés kähleriennes compactes, et tout particulièrement les variétés de Calabi-Yau, dont on donnera de nombreux exemples. En fonction du temps disponible, on démontrera des théorèmes d’annulation à l’aide de la formule de Weitzenböck et on donnera des applications de la formule de Hirzebruch-Riemann-Roch à la topologie des variétés kähleriennes compactes.

Laurent Moonens : Questions de convergence presque partout (20h) - 6 ECTS

Contenu

Il est classique que, si (ρk) est une approximation de l’identité, la suite $(ρk*f) converge dans L1 vers f, pour toute fonction intégrable f. En particulier, on peut, pour chaque fonction intégrable f, trouver une suite strictement croissante d’entiers (kl), qui dépend a priori de f, pour laquelle $(ρkl*f) converge aussi presque partout. Pour les approximations de l’identité positives, il suit d’un résultat de P. LaVictoire (2010) que l’on peut trouver une suite (kl) ``universelle’’ ayant cette propriété (i.e. telle que la convergence presque partout de la suite (ρkl*f) ait lieu pour toute fonction intégrable f).

Nous nous proposons, dans ce cours, d’étudier comment on peut obtenir ce type de résultats. On commencera, notamment, par montrer que, pour des suites d’opérateurs de moyennes (ergodiques ou volumiques) (Tk), la convergence presque partout de la suite (Tkf) pour tout f ∈ Lp est équivalente à ce que la fonction maximale associée T*f=supk |Tkf| vérifie une inégalité faible dans Lp. On se servira alors de ces résultats généraux pour obtenir, dans des cas remarquables, des conditions sur les opérateurs (Tk) garantissant cette convergence presque partout.

On étudiera également les liens entre ces inégalités maximales et des théorèmes de recouvrement (Vitali, Besicovitch), en s’intéressant particulièrement au cas des approximations de l’identité ρk=(1Qk)/|Qk|, où (Qk) est une suite d’ensembles de mesures positives vérifiant diam Qk→ 0.

Il pourra être utile aux étudiants de ce module d’avoir suivi le cours « Techniques d’analyse harmonique » ; on s’efforcera cependant de rappeler au besoin les résultats les plus importants de théorie de la mesure nécessaires à la compréhension du cours.

Références
  • M. de Guzmán, Differentiation of Integrals in Rn, Lecture Notes in Mathematics 481, 1975.
  • A. Garsia, Topics in Almost Everywhere Convergence, 1970.
  • P. LaVictoire, Pointwise Ergodic Theorems for Nonconventional L1 Averages, PhD Thesis, University of Berkeley, 2010.
  • J. Rosenblatt, Convergence of Sequences of Convolution Operators, New Zealand Journal of Mathematics 38 (2008), 137-147.

Sébastien Boucksom: L2 techniques in complex geometry (20h) - 6 ECTS

Content

This course is an introduction to the analytic and algebro-geometric aspects of L2 methods in complex geometry, which play a central role in the recent developments of the subject.

The archetypal case are Hörmander’s L2 estimates for the Cauchy-Riemann “dbar” operator. Extended to the case of singular metrics, they give rise to the theory of multiplier ideals, which satisfy a powerful cohomology vanishing theorem, and will be studied in detail in this course.

We will also consider the Ohsawa-Takegoshi L2 extension theorem, another central tool in the field, and which now admits an accessible proof due to Berndtsson and Lempert. Several application will be given, time permitting.

Olivier Fouquet: Introduction à la cohomologie complétée (20h) - 6 ECTS

Contenu

Soit p un nombre premier. La cohomologie complétée, introduite initialement par Emerton, désigne grossièrement les espaces de Banach p-adiques obtenus en complétant p-adiquement la cohomologie singulière à coefficients entiers de tours de revêtements étales finis sur lesquelles agit un groupe p-adique localement compact (comme GLn(Qp)). L’exemple le plus important est celui d’une tour de variétés de Shimura de niveaux de plus en plus divisibles par p, comme la tour des courbes modulaires Y(pn) pour n entier positif. Ces espaces de Banach p-adiques peuvent alors être vus comme espaces de formes automorphes p-adiques et se révèlent d’une surprenante richesse : par exemple ils sont liés à la théorie d’Iwasawa (non commutative) et sont porteurs de représentations p-adiques continues du groupe localement compact qui demeurent très mystérieuses en général.

Le cours se veut une introduction à la cohomologie complétée et à ses liens avec les formes automorphes p-adiques, la théorie d’Iwasawa et la théorie des représentations continues, en insistant particulièrement sur le cas de la tour des courbes modulaires Y(pn).

Sorin Popa : Approximate independence in II_1 factors (16h) - 6 ECTS

Information

This course will be taught by Sorin Popa, laureate of the shared chair FSMP/FMJH, in Mars-April 2017. The planned dates for the course sessions are 6, 13, 20, 27 March, as well as 3 and 24 April.

Content

Summary of the course.

The students can also follow some courses in common with the M2 Analysis Modelling Simulation.

Quentin Mérigot: Méthodes de transport optimal en analyse et en géométrie (24h) - 6 ECTS

Contenu

La théorie du transport optimal a connu un grand développement dans les 20 dernières années, à la fois par son caractère élémentaire et très général, et par la connexion qu’elle établit entre des branches très différentes des mathématiques.
On traitera des aspects géométriques (hypersurfaces convexes de courbure gaussienne prescrite, inégalités isopérimétriques, courbes géodésiques sur le groupe des difféomorphismes conservants le volume) et analytiques (équations de Monge-Ampère, d’Hamilton-Jacobi et d’Euler).

François Golse: Modèles cinétiques (24h) - 6 ECTS

Contenu

Ce cours est une introduction à l’analyse mathématique des modèles de la théorie
cinétique des gaz ou des plasmas.

Plan
  • L’équation de transport :
    • méthode des caractéristiques
    • lemmes de moyenne
    • lemmes de dispersion
  • Les équations de champ moyen pour les plasmas :
    • la limite de champ moyen pour les systèmes de particules avec interaction lipschitzienne (d’après Neunzert-Wick, Braun-Hepp, Dobrushin)
    • le modèle de Vlasov-Poisson : existence, unicité et régularité en dimension 3 (d’après Pfaffelmoser, Lions-Perthame)
    • le modèle de Vlasov-Maxwell : existence globale de solutions renormalisées (d’après DiPerna-Lions) ; le critère de régularité de Glassey-Strauss
    • l’amortissement Landau (d’après Caglioti-Maffei et Mouhot-Villani)
Références
  • H. Brezis : “Analyse fonctionnelle et applications" ; Masson, Paris, 1983.
  • F. Golse : “Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles”, Ecole polytechnique, 2011
  • C. Zuily : “Eléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles", Dunod, Paris, 2002.
  • F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti : “Kinetic equations and asymptotic theory" ; B. Perthame et L. Desvillettes eds, Series in Applied Mathematics (Paris), 4. Gauthier-Villars, Editions Scientifiques et Médicales Elsevier, Paris, 2000.
  • R.T. Glassey : “The Cauchy problem in kinetic theory". Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996
  • F. Golse : On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit ; preprint arxiv 1301.5494.
  • Notes de cours : http://www.math.polytechnique.fr/ golse/M2.html

Patrick Gérard, Frédéric Rousset: Propriétés qualitatives de solutions d’EDP nonlinéaires (24h) - 6 ECTS

Contenu

Il s’agit d’un cours avancé dont l’objectif est de présenter quelques résultats
récents sur le comportement qualitatif des solutions d’équations aux dérivées
partielles d’évolution nonlinéaires. On s’intéressera principalement à l’équation
de Schrödinger nonlinéaire et aux équations de Korteweg de Vries généralisées.

Plan
  • Rappels sur le problème de Cauchy (existence, unicité, notion de solutions) pour certaines équations aux dérivées partielles d’évolution nonlinéaires.
  • Théorie des solitons
  • Etude des solutions en temps grand : phénomène d’explosion, existence globale, effets nonlinéaires, stabilité
Références
  • Pierre Raphael, Stability and blow up for the nonlinear Schrodinger equation, Notes of the 2008 Clay Summer School in Zurich. http ://math.unice.fr/ praphael/Teaching.html
  • Yvan Martel, Frank Merle, Pierre Raphael, Jeremie Szeftel. Near soliton dynamics and singularity formation for L2 critical problems. http ://arxiv.org/abs/1412.2375

Other courses

Hélène Gispert: Histoire des Mathématiques (25h) - 3 ECTS

Contenu

Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels.
Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre social de la discipline et de ses applications à travers l’histoire.
En s’attachant à l’histoire d’une notion mathématique, telle la notion de fonction, que les étudiants ont fréquenté depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans l’activité même de mathématiciens de différentes époques à avec leurs questionnements, leurs limites, leurs difficultés voire leurs erreurs à des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme classiques.
Le module optionnel, de 25 heures (3 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre.
Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD qui alterneront au cours des treize semaines du semestre.
Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux de différentes époques.

Elise Goujard, Camille Horbez : Student seminar - 3 ECTS

Contenu

L’objectif du séminaire du M2 sera d’introduire un certain nombre d’objets fondamentaux pour l’étude de la géométrie des surfaces. Dans un premier temps, nous introduirons l’espace de Teichmüller d’une surface, qui encode l’ensemble des structures complexes dont celle-ci peut être munie, et en étudierons la géométrie. Selon les goûts des participants, la discussion pourra se poursuivre sur l’étude du groupe des classes d’isotopie de difféomorphismes de la surface, ou sur l’étude de la dynamique du flot de Teichmüller en relation avec la dynamique dans les surfaces plates par exemple. Le séminaire consiste en une série d’exposés préparés par les étudiants à l’aide des encadrants.