Programme

 Enseignements

Parmi les enseignements de ce M2, on distingue :

  • Les cours accélérés (Topologie, Géométrie Algébrique, Analyse), qui ont lieu au mois de septembre.
  • Les cours fondamentaux, essentiellement au premier semestre, qui représentent un volume horaire de 72 heures.
  • Les cours spécialisés du second semestre, d’environ 20 heures.

 Stage de rentrée

Les cours accélérés se déroulent sur 3 semaines (2h le matin, 2h l’après-midi) :

François Charles : Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux - semaine du 12 septembre

Contenu

Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but : 1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert et correspondance algèbre/géométrie). 2. Proposer une introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, résolutions injectives et projectives, suites spectrales). On introduira à cette occasion le langage des catégories (catégories abéliennes, foncteurs dérivés). 3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux et de leur cohomologie.

Références
  • Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
  • Commutative Ring Theory, Matsumura
  • Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
  • An introduction to homological algebra, Weibel

Frédéric Paulin : Variétés différentielles et formes différentielles - semaine du 19 septembre

Contenu
  • Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses
  • Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré.
  • Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères
  • Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord
  • Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.
Références
  • J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
  • F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, http://www.math.u-psud.fr/ paulin/notescours/coursgeodiff.pdf M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990.
  • M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.

La participation à ce stage de rentrée est obligatoire pour tous les étudiants. Il est crédité par 3 ECTS au second semestre.

 Cours du premier semestre

Durant le premier semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en choisissant parmi les cours fondamentaux ci-dessous. Ceux-ci se répartissent en trois champs disciplinaires.

Géométrie algébrique et théorie des nombres

Laurent Clozel (CM), Olivier Fouquet (TD) : Théorie des nombres (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Le cours porte sur les fondements modernes de la théorie des nombres. La première partie sera consacrée à la théorie de base classique des corps de nombres. Il serait utile que les auditeurs soient déjà familiarisés avec le livre de Samuel ou celui d’Ireland-Rosen, cités ci-dessous, ou tout autre ouvrage traitant cette théorie de base. Les parties suivantes couvriront, l’une la théorie locale (corps-adiques) et globale (corps de nombres, adèles) jusqu’à la théorie de Tate des fonctions L, l’autre la décomposition et la ramification des idéaux dans les extensions galoisiennes de corps de nombres, jusqu’au théorème de Cebotarev.

Prérequis : (Si possible à étudier auparavant)

  • Samuel, Théorie algébrique des nombres, ou
  • Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory, chapitres 1 à 7 , et 12-13.
Références
  • Lang, Algebraic number theory
  • Cassels, Fröhlich eds, Algebraic number theory (Proc. Brighton Conference)
  • Weil, Basic number theory
  • Ramakrishnan, Valenza, Fourier analysis on number fields

François Charles (CM), Joël Riou (TD) : Théorie des schémas (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Ce cours introductif a pour but de donner les bases de la théorie des schémas et de la cohomologie des faisceaux algébriques cohérents. Il s’agira pour la majeure partie de donner les bases du langage des schémas, tout en gardant en vue des applications géométriques. Le cours accéléré couvrira les prérequis, mais une familiarité avec des bases de théorie des nombres et/ou de géométrie différentielle ne peut être que bénéfique.

Références
  • R. Vakil, Foundations of Algebraic Geometry, disponible en ligne.
  • G. Kempf, Algebraic Varieties, London Mathematical Society Lecture Notes Series.
  • R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer GTM.
  • A. Grothendieck et J. Dieudonné, Eléments de Géométrie algébrique
  • Stacks Projects, disponible en ligne.

Topologie, géométrie et systèmes dynamiques

Frédéric Bourgeois (CM), Rémi Leclercq (CM+TD) : Groupes et géométrie (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

L’objectif du cours est de donner une formation générale en groupes de Lie et géométrie riemannienne. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle.
On abordera les sujets suivants :

  • Groupes et algèbres de Lie, classification des groupes de Lie semi-simples, espaces homogènes.
  • Fibrés vectoriels, tenseurs, connexions linéaires, torsion et courbure ; fibrés principaux
  • Géométrie riemannienne : Connexion de Levi-Civita, géodésiques, théorème de Hopf-Rinow, courbures, formules de variation, champs de Jacobi, théorème de Cartan-Hadamard, théorèmes de comparaison, sous-variétés riemanniennes, géométrie à l’infini des variétés riemanniennes de courbure négative ou nulle
  • Espaces symétriques et classification des espaces symétriques de type non compact.
  • Structures géométriques, rigidité et déformations.
Références
  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, 1990
  • W.P.A. Klingenberg : Riemannian geometry. 2nd edition. De Gruyter Studies in Mathematics 1. 1995
  • J. Cheeger, D.G. Ebin : Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. 2008
  • S. Helgason : Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. Academic press, 1978
  • J.P. Serre : Algèbres de Lie semi-simples complexes (French). W. A. Benjamin Inc. New-York 1966
  • J.P. Serre : Lie algebras and lie groups. Lectures given at Harvard University, 1964. W. A. Benjamin Inc. New-York 1965
  • A.W. Knapp : Lie groups beyond an introduction. 2nd edition. Progress in mathematics, 140. Birkhauser 2002
  • M.R. Bridson, A. Haefliger : Metric spaces of non-positive curvature. Grundlheren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Théorie ergodique (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

L’hypothèse ergodique, formulée par le physicien L. Boltzmann en 1871 pour « expliquer » la mécanique statistique, présume que le comportement à long terme d’un système dynamique est en « moyenne » le même pour tout point initial. Ceci est complètement faux en général, mais à donné naissance à la théorie ergodique, qui remplace « pour tout point » par « pour presque tout point » par rapport à une mesure, invariante par la dynamique. Cette théorie en soi, contient une pléthore de phénomènes intéressants, en forte relation avec la théorie des probabilités :

  • Définitions de base : Mesure, invariance, ergodicité, mélange.
  • Récurrence de Poincaré, théorème de Kac, temps de visite,…
  • Dynamique symbolique.
  • Théorème ergodique maximal, théorème de Birkhoff, Martingales.
  • Entropie d’une mesure invariante. Entropie d ’information de Shannon.

Le cours se déroule sur la 1re partie du 1er semestre et sera suivi par un cours de Systèmes Dynamiques, bien que les deux soient indépendants.

Références
  • Karl Petersen : Ergodic Theory (Cambridge, 3rd ed. 1995)
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Systèmes Dynamiques topologiques et différentiables (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

La continuité peut avoir des conséquences surprenantes sur le comportement d’un système dynamique, notamment dans le cadre « applications uni-dimensionnelles ». Lorsque le système est différentiable les notions de contraction / dilatation permettent de quantifier la sensibilité du comportement par rapport aux conditions initiales (« effet de papillon »).

  • Applications uni-modales. Théorème de Sarkovski. Entropie topologique.
  • Dynamique symbolique.
  • Dynamique des flots. Théorème de Poincaré-Bendixon.
  • Systèmes dynamiques hyperboliques. Variétés stable/instable. L’application « Chat » d’Arnold.
  • Contraction des cônes. Mélange exponentielle.
  • Exposants de Lyapunov.

Le cours se déroule sur la 2e partie du 1er semestre. Les notions de la théorie ergodique seront rappelées. Ce cours et le cours sur la « Théorie Ergodique » peuvent être pris de façon indépendante.

Références
  • Robert Devaney : An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, Reading MA 1989.
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.

Analyse réelle et complexe

Joël Merker (CM+TD) : Géométrie Analytique Complexe (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Ce cours introductif présentera les aspects fondamentaux de la théorie des variétés algébriques et analytiques complexes (compactes) de dimension n > 1, projectives ou abstraites.
Les séances s’axeront principalement sur une étude détaillée des livres de Demailly et Noguchi, avec le concours du livre de Grauert-Fritzsche, dont le but est de ‘donner une introduction compréhensible à la théorie des variétés complexes’.
En liaison avec des séances indispensables d’exercices (TD) assurées par Viêt-Anh Nguyen, quatre devoirs libres seront proposés.

Plan
  • Fonctions de plusieurs variables complexes : théorèmes de Hartogs, fonctions (pluri)sousharmoniques, lemme de Dolbeault-Grothendieck, domaines d’holomorphie, pseudoconvexité.
  • Topologie : homologie singulière, formes différentielles, dualité de Poincaré, intersection des variétés algébriques, homologie de Borel-Moore.
  • Théorie des faisceaux : suites exactes courtes, homomorphisme de connexion, cohomologie (de Čech) des faisceaux.
  • Espaces algébriques et analytiques complexes : stratifications, normalisations et éclatements, faisceaux analytiques cohérents, théorème des applications propres de Remmert.
  • Théorie des courants positifs fermés : théorème d’extension de Skoda-El Mir-Sibony, inégalité de Chern-Levine-Nirenberg, formule de Lelong-Jensen.
  • Théorie de Hodge : cohomologie de Dolbeault, formes harmoniques, décomposition de Hodge, relations bilinéaires de Hodge-Riemann.
  • Théorème d’uniformisation de Riemann-Poincaré-Koebe.
  • Diviseurs et fibrés en droites : métriques, connexions, courbure de Chern, diviseurs, variétés kählériennes, théorème de plongement de Kodaira.
  • Fibrés vectoriels positifs et théorèmes d’annulation : identité de Bochner-Kodaira-Nakano, estimées L2, problème de Levi, positivité au sens de Nakano et de Griffiths, amplitude des fibrés en droites et vectoriels.
  • Réseaux et tores complexes : courbes elliptiques, fonctions thêta et diviseurs, variétés abéliennes ; conditions de Riemann ; espaces de modules.
Références
  • Bost, J.-B. : Introduction to compact Riemann surfaces, Jacobians, and Abelian Varieties, Institut des Hautes Études Scientifiques, 1992, 141 pages.
  • Demailly, J.-P. : Complex Analytic and Differential Geometry, www-fourier.ujfgrenoble.fr/-demailly/
  • Grauert, W., Fritzsche, K. : From holomorphic functions to complex manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 213, Springer-Verlag, Berlin, 2002, xvi+392 pp.
  • Griffiths, P., Harris, J. : Principles of Algebraic Geometry, Pure and applied mathematics, Wiley-Interscience, New York, 1978, xii+813 pp.
  • Griffiths, P. : Introduction to Algebraic Curves, Translations of Mathematical Monographs, 76, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1989, x+225 pp.

Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation.

Equations aux dérivées partielles

Frédéric Rousset : Equations elliptiques linéaires et non-linéaires (30h) - 7,5 ECTS

Contenu

Le cours abordera les sujets suivants :

  • Régularité pour les équations elliptiques linéaires : régularité Lp, régularité holdérienne, régularité pour les équations à coefficients L1.
  • Point fixe de Schauder, applications aux équations elliptiques semi-linéaires. Lien avec le calcul des variations.
  • Eléments de théorie des bifurcations
  • Méthodes de monotonie, applications aux p-Laplacien.
  • Introduction aux solutions de viscosité

Yvan Martel : Equations paraboliques (30h) - 7,5 ECTS

Contenu

Il s’agit d’un cours présentant divers aspects de l’étude théorique d’équations paraboliques linéaires ou non linéaires, depuis les questions d’existence locale en temps jusqu’à des propriétés qualitatives fines des solutions en temps grand.

Plan
  • Equations paraboliques linéaires :
    • Étude du problème de Cauchy (existence, unicité, régularité) par différentes approches, dont la théorie des semi-groupes. Problèmes non homogènes.
    • Propriétés qualitatives des solutions : principe du maximum, convergence en temps grand, propriété du nombre de zéros en dimension un d’espace.
  • Equations paraboliques non linéaires générales :
    • Problème de Cauchy local (existence locale, unicité, régularité, unicité rétrograde).
    • Cas d’obstruction à l’existence globale.
    • Cas d’obtention de solutions globales.
    • Cas d’obtention de bornes uniformes sur les solutions globales.
    • Cas d’existence d’un attracteur global compact et propriétés de cet attracteur.
    • Etude de la dynamique au voisinage d’un point d’équilibre (cas hyperbolique ; bifurcations).
    • Propriétés génériques.
  • Etude de quelques exemples d’équations paraboliques semi-linéaires :
    • Equation de réaction-diffusion en dimension un d’espace.
    • Systèmes d’équations de réaction-diffusion.
    • Les équations de Navier-Stokes.

Nicolas Burq : Equations dispersives (30h) - 7,5 ECTS

Contenu

L’objectif de ce cours est d’introduire les étudiants aux Equations aux Dérivées Partielles Dispersives linéaires ou non-linéaires, et d’exhiber quelques comportements typiques des solutions : existence, dispersion, diffusion ou explosion. Le cours se concentrera dès le début sur quelques modèles simples : ondes ou Schrödinger.

Plan
  • Etude des équations linéaires : existence, description en Fourier
  • Equations non linéaires via l’injection de Sobolev
  • Propriétés de dispersion, estimations de Strichartz
  • Equations non linéaires utilisant des estimées de Strichartz
  • Existence globale : utilisation des lois de conservation
  • Théorie de la diffusion pour l’équation de Schrödinger non linéaire
  • Un exemple d’explosion en temps fini

 Cours du second semestre

Durant le second semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en effectuant un mémoire et en choisissant au moins un cours avancé.

Mémoire

Les étudiants doivent obligatoirement valider auprès du responsable du M2 le nom de l’encadrant de mémoire proposé et le sujet du mémoire avant que le mémoire ne commence.

Mémoire - 21 ECTS

Le mémoire consiste le plus souvent en la lecture d’un article de recherche proposé par un membre de l’un des laboratoires de mathématiques de l’Université Paris-Saclay (Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, …) ou d’un autre laboratoire moyennant l’accord du responsable de finalité, ainsi qu’en la rédaction d’un mémoire (combiné avec un oral).

Cours avancés

Cyril Houdayer : Groupes, actions et algèbres de von Neumann (20h) - 6 ECTS

Le résumé de ce cours sera disponible ultérieurement.

Bertrand Rémy : Introduction aux groupes algébriques (20h) - 6 ECTS

Contenu

Un groupe algébrique défini sur un corps donne lieu à une famille de groupes abstraits : en effet, si on part d’un tel groupe de matrices, on peut obtenir différents groupes en prenant comme corps de coefficients les diverses extensions du corps de base. Quand le groupe en question est simple, la classification de ces groupes sur les corps algébriquement clos est un résultat frappant (dû à Chevalley) car la liste obtenue ne dépend pas du corps et s’énonce de façon purement combinatoire, essentiellement au moyen des diagrammes de Dynkin. Dans ce cours, on va s’intéresser à la structure (et éventuellement à la classification) des groupes abstraits obtenus quand le corps de base n’est pas algébriquement clos. L’idée est de partir de conditions mixtes de géométrie algébrique et de théorie des groupes pour obtenir une description combinatoire abstraite des groupes de matrices simples sur des corps quelconques (il s’agit de la théorie de Borel-Tits). La combinatoire ainsi obtenue, celle des systèmes Tits, a de multiples applications, notamment en théorie des représentations et en géométrie.

Références
  • A. Borel : Linear algebraic groups, Springer, 1991.
  • M. Demazure et P. Gabriel : Groupes algébriques, Masson, 1970.
  • T. Springer : Linear algebraic groups, Springer, 1998.
  • W. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, 1979.

Andrei Moroianu : Géométrie kählerienne (20h) - 6 ECTS

Contenu

Ce cours s’adresse aux étudiants ayant déjà suivi un cours de géométrie riemannienne, comme par exemple celui de Groupes et géométrie fait par Frédéric Bourgeois et Rémi Leclercq au premier semestre.

Après une introduction des variétés complexes et des fibrés holomorphes, on présentera les variétés kähleriennes et leur propriétés d’un point de vue riemannien. On s’intéressera aux opérateurs différentiels naturels sur ces variétés, et on présentera la théorie de Dolbeault à travers les identités kähleriennes, et le formalisme de Chern-Weil pour les classes caractéristiques.

Dans la deuxième partie du cours on étudiera le tenseur de Ricci des variétés kähleriennes compactes, et tout particulièrement les variétés de Calabi-Yau, dont on donnera de nombreux exemples. En fonction du temps disponible, on démontrera des théorèmes d’annulation à l’aide de la formule de Weitzenböck et on donnera des applications de la formule de Hirzebruch-Riemann-Roch à la topologie des variétés kähleriennes compactes.

Laurent Moonens : Questions de convergence presque partout (20h) - 6 ECTS

Contenu

Il est classique que, si (ρk) est une approximation de l’identité, la suite $(ρk*f) converge dans L1 vers f, pour toute fonction intégrable f. En particulier, on peut, pour chaque fonction intégrable f, trouver une suite strictement croissante d’entiers (kl), qui dépend a priori de f, pour laquelle $(ρkl*f) converge aussi presque partout. Pour les approximations de l’identité positives, il suit d’un résultat de P. LaVictoire (2010) que l’on peut trouver une suite (kl) ``universelle’’ ayant cette propriété (i.e. telle que la convergence presque partout de la suite (ρkl*f) ait lieu pour toute fonction intégrable f).

Nous nous proposons, dans ce cours, d’étudier comment on peut obtenir ce type de résultats. On commencera, notamment, par montrer que, pour des suites d’opérateurs de moyennes (ergodiques ou volumiques) (Tk), la convergence presque partout de la suite (Tkf) pour tout f ∈ Lp est équivalente à ce que la fonction maximale associée T*f=supk |Tkf| vérifie une inégalité faible dans Lp. On se servira alors de ces résultats généraux pour obtenir, dans des cas remarquables, des conditions sur les opérateurs (Tk) garantissant cette convergence presque partout.

On étudiera également les liens entre ces inégalités maximales et des théorèmes de recouvrement (Vitali, Besicovitch), en s’intéressant particulièrement au cas des approximations de l’identité ρk=(1Qk)/|Qk|, où (Qk) est une suite d’ensembles de mesures positives vérifiant diam Qk→ 0.

Il pourra être utile aux étudiants de ce module d’avoir suivi le cours « Techniques d’analyse harmonique » ; on s’efforcera cependant de rappeler au besoin les résultats les plus importants de théorie de la mesure nécessaires à la compréhension du cours.

Références
  • M. de Guzmán, Differentiation of Integrals in Rn, Lecture Notes in Mathematics 481, 1975.
  • A. Garsia, Topics in Almost Everywhere Convergence, 1970.
  • P. LaVictoire, Pointwise Ergodic Theorems for Nonconventional L1 Averages, PhD Thesis, University of Berkeley, 2010.
  • J. Rosenblatt, Convergence of Sequences of Convolution Operators, New Zealand Journal of Mathematics 38 (2008), 137-147.

Sébastien Boucksom : Techniques L2 en géométrie complexe (20h) - 6 ECTS

Contenu

Ce cours propose une introduction aux aspects analytiques et algébro-géométriques des méthodes L2 en géométrie complexe, qui jouent un rôle central dans les développements récents du sujet.

L’archétype en sont les estimées L2 de Hörmander pour l’opérateur « dbar » de Cauchy-Riemann. Etendues aux cas des métriques singulières, elles fondent la théorie des idéaux multiplicateurs, qui satisfont un puissant énoncé d’annulation de la cohomologie, et que nous étudierons en détail.

Nous aborderons également le théorème d’extension L2 d’Ohsawa-Takegoshi, autre outil central du sujet, qui admet désormais une démonstration accessible due à Berndtsson et Lempert. Diverses applications en seront données, en fonction du temps disponible.

Olivier Fouquet : Introduction à la cohomologie complétée (20h) - 6 ECTS

Contenu

Soit p un nombre premier. La cohomologie complétée, introduite initialement par Emerton, désigne grossièrement les espaces de Banach p-adiques obtenus en complétant p-adiquement la cohomologie singulière à coefficients entiers de tours de revêtements étales finis sur lesquelles agit un groupe p-adique localement compact (comme GLn(Qp)). L’exemple le plus important est celui d’une tour de variétés de Shimura de niveaux de plus en plus divisibles par p, comme la tour des courbes modulaires Y(pn) pour n entier positif. Ces espaces de Banach p-adiques peuvent alors être vus comme espaces de formes automorphes p-adiques et se révèlent d’une surprenante richesse : par exemple ils sont liés à la théorie d’Iwasawa (non commutative) et sont porteurs de représentations p-adiques continues du groupe localement compact qui demeurent très mystérieuses en général.

Le cours se veut une introduction à la cohomologie complétée et à ses liens avec les formes automorphes p-adiques, la théorie d’Iwasawa et la théorie des représentations continues, en insistant particulièrement sur le cas de la tour des courbes modulaires Y(pn).

Sorin Popa : Approximate independence in II_1 factors (16h) - 6 ECTS

Informations

Ce cours sera donné par Sorin Popa, titulaire de la chaire partagée FSMP/FMJH, en
mars-avril 2017. Les dates prévues pour les séances sont les 6, 13, 20, 27 mars, ainsi
que les 3 et 24 avril.

Contenu

Résumé du cours.

Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation.

Quentin Mérigot : Méthodes de transport optimal en analyse et en géométrie (24h) - 6 ECTS

Contenu

La théorie du transport optimal a connu un grand développement dans les 20 dernières années, à la fois par son caractère élémentaire et très général, et par la connexion qu’elle établit entre des branches très différentes des mathématiques.
On traitera des aspects géométriques (hypersurfaces convexes de courbure gaussienne prescrite, inégalités isopérimétriques, courbes géodésiques sur le groupe des difféomorphismes conservants le volume) et analytiques (équations de Monge-Ampère, d’Hamilton-Jacobi et d’Euler).

François Golse : Modèles cinétiques (24h) - 6 ECTS

Contenu

Ce cours est une introduction à l’analyse mathématique des modèles de la théorie
cinétique des gaz ou des plasmas.

Plan
  • L’équation de transport :
    • méthode des caractéristiques
    • lemmes de moyenne
    • lemmes de dispersion
  • Les équations de champ moyen pour les plasmas :
    • la limite de champ moyen pour les systèmes de particules avec interaction lipschitzienne (d’après Neunzert-Wick, Braun-Hepp, Dobrushin)
    • le modèle de Vlasov-Poisson : existence, unicité et régularité en dimension 3 (d’après Pfaffelmoser, Lions-Perthame)
    • le modèle de Vlasov-Maxwell : existence globale de solutions renormalisées (d’après DiPerna-Lions) ; le critère de régularité de Glassey-Strauss
    • l’amortissement Landau (d’après Caglioti-Maffei et Mouhot-Villani)
Références
  • H. Brezis : “Analyse fonctionnelle et applications" ; Masson, Paris, 1983.
  • F. Golse : “Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles”, Ecole polytechnique, 2011
  • C. Zuily : “Eléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles", Dunod, Paris, 2002.
  • F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti : “Kinetic equations and asymptotic theory" ; B. Perthame et L. Desvillettes eds, Series in Applied Mathematics (Paris), 4. Gauthier-Villars, Editions Scientifiques et Médicales Elsevier, Paris, 2000.
  • R.T. Glassey : “The Cauchy problem in kinetic theory". Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996
  • F. Golse : On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit ; preprint arxiv 1301.5494.
  • Notes de cours : http://www.math.polytechnique.fr/ golse/M2.html

Patrick Gérard, Frédéric Rousset : Propriétés qualitatives de solutions d’EDP nonlinéaires (24h) - 6 ECTS

Contenu

Il s’agit d’un cours avancé dont l’objectif est de présenter quelques résultats
récents sur le comportement qualitatif des solutions d’équations aux dérivées
partielles d’évolution nonlinéaires. On s’intéressera principalement à l’équation
de Schrödinger nonlinéaire et aux équations de Korteweg de Vries généralisées.

Plan
  • Rappels sur le problème de Cauchy (existence, unicité, notion de solutions) pour certaines équations aux dérivées partielles d’évolution nonlinéaires.
  • Théorie des solitons
  • Etude des solutions en temps grand : phénomène d’explosion, existence globale, effets nonlinéaires, stabilité
Références
  • Pierre Raphael, Stability and blow up for the nonlinear Schrodinger equation, Notes of the 2008 Clay Summer School in Zurich. http://math.unice.fr/ praphael/Teaching.html
  • Yvan Martel, Frank Merle, Pierre Raphael, Jeremie Szeftel. Near soliton dynamics and singularity formation for L2 critical problems. http://arxiv.org/abs/1412.2375

Autres cours

Hélène Gispert : Histoire des Mathématiques (25h) - 3 ECTS

Contenu

Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels.
Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre social de la discipline et de ses applications à travers l’histoire.
En s’attachant à l’histoire d’une notion mathématique, telle la notion de fonction, que les étudiants ont fréquenté depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans l’activité même de mathématiciens de différentes époques à avec leurs questionnements, leurs limites, leurs difficultés voire leurs erreurs à des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme classiques.
Le module optionnel, de 25 heures (3 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre.
Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD qui alterneront au cours des treize semaines du semestre.
Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux de différentes époques.

Elise Goujard, Camille Horbez : Séminaire des étudiants - 3 ECTS

Contenu

L’objectif du séminaire du M2 sera d’introduire un certain nombre d’objets fondamentaux pour l’étude de la géométrie des surfaces. Dans un premier temps, nous introduirons l’espace de Teichmüller d’une surface, qui encode l’ensemble des structures complexes dont celle-ci peut être munie, et en étudierons la géométrie. Selon les goûts des participants, la discussion pourra se poursuivre sur l’étude du groupe des classes d’isotopie de difféomorphismes de la surface, ou sur l’étude de la dynamique du flot de Teichmüller en relation avec la dynamique dans les surfaces plates par exemple. Le séminaire consiste en une série d’exposés préparés par les étudiants à l’aide des encadrants.