Programme 2018-2019

 Enseignements

Parmi les enseignements de ce M2, on distingue :

  • Les cours accélérés (Topologie, Géométrie Algébrique, Analyse), qui ont lieu au mois de septembre.
  • Les cours fondamentaux, essentiellement au premier semestre, qui représentent un volume horaire de 72 heures.
  • Les cours spécialisés du second semestre, d’environ 20 heures.

 Stage de rentrée

Les cours accélérés se déroulent sur 3 semaines (2h le matin, 2h l’après-midi) :

Frédéric Paulin : Variétés différentielles et formes différentielles - semaine du 10 septembre

Contenu
  • Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses
  • Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré.
  • Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères
  • Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord
  • Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.
Références
  • J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
  • F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, http://www.math.u-psud.fr/ paulin/notescours/coursgeodiff.pdf M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990.
  • M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.

Ekaterina Amerik : Algèbre commutative, faisceaux, éléments d’algèbre homologique - semaines des 17 et 24 septembre, l’après-midi

Contenu

Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but : 1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert et correspondance algèbre/géométrie). 2. Proposer une introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, résolutions injectives et projectives, suites spectrales). On introduira à cette occasion le langage des catégories (catégories abéliennes, foncteurs dérivés). 3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux et de leur cohomologie.

Références
  • Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
  • Commutative Ring Theory, Matsumura
  • Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
  • An introduction to homological algebra, Weibel

La participation à ce stage de rentrée est obligatoire pour tous les étudiants. Il est crédité par 3 ECTS au second semestre.

 Cours du premier semestre

Durant le premier semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en choisissant parmi les cours fondamentaux ci-dessous. A part un cours plus transversal, ceux-ci se répartissent en trois champs disciplinaires.

Benjamin Hennion (CM) : Introduction à l’algèbre homologique (25h) - 5 ECTS

Contenu

Dans ce cours, nous introduirons quelques outils d’algèbre homologique. Nous nous baserons sur des exemples de théories cohomologiques, pour la plupart issues de la géométrie algébrique.


Géométrie algébrique et théorie des nombres

François Charles (CM), Olivier Fouquet (TD) : Théorie des nombres (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Le cours porte sur les fondements modernes de la théorie des nombres. La première partie sera consacrée à la théorie de base classique des corps de nombres. Il serait utile que les auditeurs soient déjà familiarisés avec le livre de Samuel ou celui d’Ireland-Rosen, cités ci-dessous, ou tout autre ouvrage traitant cette théorie de base. Les parties suivantes couvriront, l’une la théorie locale (corps-adiques) et globale (corps de nombres, adèles) jusqu’à la théorie de Tate des fonctions L, l’autre la décomposition et la ramification des idéaux dans les extensions galoisiennes de corps de nombres, jusqu’au théorème de Cebotarev.

Prérequis : (Si possible à étudier auparavant)

  • Samuel, Théorie algébrique des nombres, ou
  • Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory, chapitres 1 à 7 , et 12-13.
Références
  • Lang, Algebraic number theory
  • Cassels, Fröhlich eds, Algebraic number theory (Proc. Brighton Conference)
  • Weil, Basic number theory
  • Ramakrishnan, Valenza, Fourier analysis on number fields

Ekaterina Amerik (CM), Joël Riou (TD) : Géométrie algébrique : schémas et cohomologie (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Ce cours introductif a pour but de donner les bases de la théorie des schémas et de la cohomologie des faisceaux algébriques cohérents. Il s’agira pour la majeure partie de donner les bases du langage des schémas, tout en gardant en vue des applications géométriques. Le cours accéléré couvrira les prérequis, mais une familiarité avec des bases de théorie des nombres et/ou de géométrie différentielle ne peut être que bénéfique.

Références
  • R. Vakil, Foundations of Algebraic Geometry, disponible en ligne.
  • G. Kempf, Algebraic Varieties, London Mathematical Society Lecture Notes Series.
  • R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer GTM.
  • A. Grothendieck et J. Dieudonné, Eléments de Géométrie algébrique
  • Stacks Projects, disponible en ligne.


Topologie, géométrie et systèmes dynamiques

Frédéric Bourgeois (CM), Daniel Monclair (TD) : Groupes et géométrie (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

L’objectif du cours est de donner une formation générale en groupes de Lie et géométrie riemannienne. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle.
On abordera les sujets suivants :

  • Groupes et algèbres de Lie, classification des groupes de Lie semi-simples, espaces homogènes.
  • Fibrés vectoriels, tenseurs, connexions linéaires, torsion et courbure ; fibrés principaux
  • Géométrie riemannienne : Connexion de Levi-Civita, géodésiques, théorème de Hopf-Rinow, courbures, formules de variation, champs de Jacobi, théorème de Cartan-Hadamard, théorèmes de comparaison, sous-variétés riemanniennes, géométrie à l’infini des variétés riemanniennes de courbure négative ou nulle
  • Espaces symétriques et classification des espaces symétriques de type non compact.
  • Structures géométriques, rigidité et déformations.
Références
  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, 1990
  • W.P.A. Klingenberg : Riemannian geometry. 2nd edition. De Gruyter Studies in Mathematics 1. 1995
  • J. Cheeger, D.G. Ebin : Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. 2008
  • S. Helgason : Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. Academic press, 1978
  • J.P. Serre : Algèbres de Lie semi-simples complexes (French). W. A. Benjamin Inc. New-York 1966
  • J.P. Serre : Lie algebras and lie groups. Lectures given at Harvard University, 1964. W. A. Benjamin Inc. New-York 1965
  • A.W. Knapp : Lie groups beyond an introduction. 2nd edition. Progress in mathematics, 140. Birkhauser 2002
  • M.R. Bridson, A. Haefliger : Metric spaces of non-positive curvature. Grundlheren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Théorie ergodique (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

L’hypothèse ergodique, formulée par le physicien L. Boltzmann en 1871 pour « expliquer » la mécanique statistique, présume que le comportement à long terme d’un système dynamique est en « moyenne » le même pour tout point initial. Ceci est complètement faux en général, mais à donné naissance à la théorie ergodique, qui remplace « pour tout point » par « pour presque tout point » par rapport à une mesure, invariante par la dynamique. Cette théorie en soi, contient une pléthore de phénomènes intéressants, en forte relation avec la théorie des probabilités :

  • Définitions de base : Mesure, invariance, ergodicité, mélange.
  • Récurrence de Poincaré, théorème de Kac, temps de visite,…
  • Dynamique symbolique.
  • Théorème ergodique maximal, théorème de Birkhoff, Martingales.
  • Entropie d’une mesure invariante. Entropie d ’information de Shannon.

Le cours se déroule sur la 1re partie du 1er semestre et sera suivi par un cours de Systèmes Dynamiques, bien que les deux soient indépendants.

Références
  • Karl Petersen : Ergodic Theory (Cambridge, 3rd ed. 1995)
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Systèmes Dynamiques topologiques et différentiables (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

La continuité peut avoir des conséquences surprenantes sur le comportement d’un système dynamique, notamment dans le cadre « applications uni-dimensionnelles ». Lorsque le système est différentiable les notions de contraction / dilatation permettent de quantifier la sensibilité du comportement par rapport aux conditions initiales (« effet de papillon »).

  • Applications uni-modales. Théorème de Sarkovski. Entropie topologique.
  • Dynamique symbolique.
  • Dynamique des flots. Théorème de Poincaré-Bendixon.
  • Systèmes dynamiques hyperboliques. Variétés stable/instable. L’application « Chat » d’Arnold.
  • Contraction des cônes. Mélange exponentielle.
  • Exposants de Lyapunov.

Le cours se déroule sur la 2e partie du 1er semestre. Les notions de la théorie ergodique seront rappelées. Ce cours et le cours sur la « Théorie Ergodique » peuvent être pris de façon indépendante.

Références
  • Robert Devaney : An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, Reading MA 1989.
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.


Analyse réelle et complexe

Jean-Benoît Bost (CM), Pierre-Guy Plamondon (TD) : Surfaces de Riemann (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Les surfaces de Riemann sont les variétés analytiques complexes de dimension 1. Depuis le dix-neuvième siècle, leur étude a joué un rôle central dans le développement de la géométrie algébrique, de l’analyse sur les variétés et de la géométrie différentielle. Ce cours se propose de présenter plusieurs résultats classiques de cette théorie, en insistant sur les relations qu’ils établissent entre ces différents domaines.

Une première partie du cours sera consacrée à diverses constructions de surfaces de Riemann, une seconde aux surfaces de Riemann compactes et à leurs relations avec les courbes algébriques complexes, et une troisième, au théorème d’uniformisation, qui fait le lien entre théorie des surfaces de Riemann et géométrie hyperbolique.


Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation.

Equations aux dérivées partielles

Jean-François Babadjian : Equations elliptiques linéaires et non-linéaires (30h) - 5 ECTS

Contenu

Le cours abordera les sujets suivants :

  • Régularité pour les équations elliptiques linéaires : régularité Lp, régularité
    holdérienne, régularité pour les équations à coefficients L1.
  • Point fixe de Schauder, applications aux équations elliptiques semi-linéaires. Lien avec le calcul des variations.
  • Eléments de théorie des bifurcations
  • Méthodes de monotonie, applications aux p-Laplacien.
  • Introduction aux solutions de viscosité

Frédéric Rousset : Equations dispersives (30h) - 5 ECTS

Contenu

L’objectif de ce cours est d’introduire les étudiants aux Equations aux Dérivées Partielles Dispersives linéaires ou non-linéaires, et d’exhiber quelques comportements typiques des solutions : existence, dispersion, diffusion ou explosion. Le cours se concentrera dès le début sur quelques modèles simples : ondes ou Schrödinger.

Plan
  • Etude des équations linéaires : existence, description en Fourier
  • Equations non linéaires via l’injection de Sobolev
  • Propriétés de dispersion, estimations de Strichartz
  • Equations non linéaires utilisant des estimées de Strichartz
  • Existence globale : utilisation des lois de conservation
  • Théorie de la diffusion pour l’équation de Schrödinger non linéaire
  • Un exemple d’explosion en temps fini

 Cours du second semestre

Durant le second semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en effectuant un mémoire et en choisissant au moins un cours avancé.

Mémoire

Les étudiants doivent obligatoirement valider auprès du responsable du M2 le nom de l’encadrant de mémoire proposé et le sujet du mémoire avant que le mémoire ne commence.

Mémoire - 21 ECTS

Le mémoire consiste le plus souvent en la lecture d’un article de recherche proposé par un membre de l’un des laboratoires de mathématiques de l’Université Paris-Saclay (Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, …) ou d’un autre laboratoire moyennant l’accord du responsable de finalité, ainsi qu’en la rédaction d’un mémoire (combiné avec un oral).


Cours avancés

Javier Fresán : Groupes de Galois motiviques et périodes (20h) - 6 ECTS

Contenu

Les périodes sont des nombres complexes admettant une représentation comme des intégrales de formes différentielles algébriques sur des domaines définis algébriquement. Du point de vue moderne, ces nombres apparaissent comme coefficients de l’isomorphisme de comparaison entre la cohomologie de de Rham et la cohomologie de Betti des variétés algébriques sur les corps de nombres. C’est ainsi que la théorie des motifs entre en jeu, fournissant un outil puissant pour prédire toutes les relations algébriques entre périodes. Plus précisément, il existe une catégorie tannakienne de motifs mixtes en caractéristique zéro et, d’après la conjecture des périodes de Grothendieck, le degré de transcendance du corps engendré par les périodes d’un motif serait égal à la dimension du groupe tannakien qu’il engendre. On dispose à l’heure actuelle de deux constructions inconditionnelles de cette catégorie, l’une due à Ayoub, l’autre à Nori. Le but de ce cours est de présenter la théorie d’Ayoub et ses applications à l’étude des périodes de manière aussi « auto-contenue » que possible ; en particulier, une bonne partie du programme sera consacrée aux motifs de Voevodsky, le cadre dans lequel Ayoub se place. Dans le cas improbable où il resterait encore du temps, j’esquisserais l’approche de Nori et la preuve de l’équivalence entre les deux catégories.

Benjamin Schraen : Courbes modulaires (20h) - 6 ECTS

Contenu

Une courbe modulaire est un quotient du demi-plan de Poincaré par un
sous-groupe de congruences du groupe SL2(Z). Ces courbes complexes ont
des propriétés remarquables. Il s’avère qu’elles peuvent être
identifiées à l’ensemble des points complexes de courbes algébriques
définies sur des corps de nombres. Ces courbes algébriques ont une
interprétation très naturelle en termes d’espaces de modules de courbes
elliptiques. Cette interprétation des points des courbes modulaires est
très utile et permet par exemple de calculer l’effet de certaines
correspondances appelées correspondance de Hecke.

Le but de ce cours est d’étudier les courbes modulaires du point de vue
des espaces de modules. Une première partie sera donc consacrée aux
courbes elliptiques et leurs espaces de modules. Une deuxième partie
sera consacrée aux applications arithmétiques, et plus particulièrement
aux formes modulaires, le but étant de construire la représentation
galoisienne p-adique associée à une forme modulaire propre de poids 2.

Laurent Moonens : Convergence presque partout en analyse harmonique (20h) - 6 ECTS

Contenu

Étant donné une suite d’opérateurs de « moyennes » (ergodiques ou spatiales) $T_n$, la question de la convergence ponctuelle presque partout, pour chaque fonction $f$ d’un espace fonctionnel donné $X$, de la suite $T_nf$, peut être étudiée à l’aide d’outils d’analyse harmonique dans un cadre unifié. Si $X$ est un espace de Lebesgue ou d’Orlicz par exemple, il s’avère en effet que cette propriété est équivalente à une estimation de type faible sur la taille des ensembles de niveau de la fonction maximale associée au processus $T_n$. Ce cours aura pour objectif de présenter dans un premier temps les résultats généraux concernant la convergence presque partout de ce type de processus, puis d’en étudier plusieurs applications récentes en théorie ergodique et en analyse réelle.
Avoir suivi l’U.E. de « Techniques d’analyse harmonique » au premier semestre pourra être très utile, mais on tâchera toutefois de rendre le cours accessible aussi aux étudiants issus d’autres parcours.


Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation.

Quentin Mérigot : Méthodes de transport optimal en analyse et en géométrie (24h) - 3 ECTS

Contenu

La théorie du transport optimal a connu un grand développement dans les 20 dernières années, à la fois par son caractère élémentaire et très général, et par la connexion qu’elle établit entre des branches très différentes des mathématiques.
On traitera des aspects géométriques (hypersurfaces convexes de courbure gaussienne prescrite, inégalités isopérimétriques, courbes géodésiques sur le groupe des difféomorphismes conservants le volume) et analytiques (équations de Monge-Ampère, d’Hamilton-Jacobi et d’Euler).

François Golse : Modèles cinétiques (24h) - 3 ECTS

Contenu

Ce cours est une introduction à l’analyse mathématique des modèles de la théorie
cinétique des gaz ou des plasmas.

Plan
  • L’équation de transport :
    • méthode des caractéristiques
    • lemmes de moyenne
    • lemmes de dispersion
  • Les équations de champ moyen pour les plasmas :
    • la limite de champ moyen pour les systèmes de particules avec interaction
      lipschitzienne (d’après Neunzert-Wick, Braun-Hepp, Dobrushin)
    • le modèle de Vlasov-Poisson : existence, unicité et régularité en dimension
      3 (d’après Pfaffelmoser, Lions-Perthame)
    • le modèle de Vlasov-Maxwell : existence globale de solutions renormalisées
      (d’après DiPerna-Lions) ; le critère de régularité de Glassey-Strauss
    • l’amortissement Landau (d’après Caglioti-Maffei et Mouhot-Villani)
Références
  • H. Brezis : “Analyse fonctionnelle et applications" ; Masson, Paris, 1983.
  • F. Golse : “Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles”,
    Ecole polytechnique, 2011
  • C. Zuily : “Eléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles",
    Dunod, Paris, 2002.
  • F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti : “Kinetic equations and asymptotic
    theory" ; B. Perthame et L. Desvillettes eds, Series in Applied Mathematics
    (Paris), 4. Gauthier-Villars, Editions Scientifiques et Médicales
    Elsevier, Paris, 2000.
  • R.T. Glassey : “The Cauchy problem in kinetic theory". Society for Industrial
    and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996
  • F. Golse : On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field
    Limit ; preprint arxiv 1301.5494.
  • Notes de cours : http://www.math.polytechnique.fr/ golse/M2.html

Matthieu Léautaud : Prolongement unique et applications (24h) - 3 ECTS

Contenu

Il s’agit d’un cours avancé dont l’objectif est de présenter quelques résultats de prolongement unique pour les solutions d’équations aux dérivées partielles linéaires. On expliquera une méthode très générale qui repose sur des estimées d’énergie à poids, appelées inégalités de Carleman.
On donnera de nombreuses applications comme une estimation de l’effet tunnel pour les fonctions propres du laplacien, la contrôlabilité de l’équation de la chaleur, ou la contrôlabilité approchée de l’équation des ondes.

Plan
  • Inégalités de Carleman pour les opérateurs elliptiques et prolongement unique
  • Application aux sommes de fonctions propres et à la contrôlabilité de l’équation de la chaleur
  • Théorème de Hörmander pour les opérateurs à coefficients réels
  • Prolongement unique pour l’équation des ondes
  • Application à la pénétration des ondes dans l’ombre d’obstacles, et à la contrôlabilité approchée de l’équation des ondes
Références
  • J. Le Rousseau and G. Lebeau. Introduction aux inégalités de Carleman pour les opérateurs elliptiques et paraboliques. Applications au prolongement unique et au contrôle des équations paraboliques. http://hal.archives-ouvertes.fr/hal...PDF/notes-carleman.pdf, 2008.
  • L. Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators : Fourier integral operators, volume 4. Springer Verlag, 1985.
  • L. Hörmander. On the uniqueness of the Cauchy problem under partial analyticity assumptions. In Geometrical optics and related topics (Cortona, 1996), volume 32 of Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., pages 179 219. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1997


Les étudiants peuvent également suivre le cours ci-dessous, au programme du M2 Probabilités et statistiques.


Autres cours

Andrea Bréard : Histoire des Mathématiques (25h) - 3 ECTS

Contenu

Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs culturels. Le module optionnel, de 25 heures (3 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre. Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche (la plupart en langue anglaise).