Programme 2017-2018

 Enseignements

Parmi les enseignements de ce M2, on distingue :

  • Les cours accélérés (Topologie, Géométrie Algébrique, Analyse), qui ont lieu au mois de septembre.
  • Les cours fondamentaux, essentiellement au premier semestre, qui représentent un volume horaire de 72 heures.
  • Les cours spécialisés du second semestre, d’environ 20 heures.

 Stage de rentrée

Les cours accélérés se déroulent sur 3 semaines (2h le matin, 2h l’après-midi) :

Frédéric Paulin : Variétés différentielles et formes différentielles - semaine du 11 septembre

Contenu
  • Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses
  • Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré.
  • Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères
  • Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord
  • Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.
Références
  • J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
  • F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, http://www.math.u-psud.fr/ paulin/notescours/coursgeodiff.pdf M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990.
  • M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.

Ekaterina Amerik : Algèbre commutative, faisceaux, éléments d’algèbre homologique - semaines des 18 et 25 septembre, l’après-midi

Contenu

Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but : 1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert et correspondance algèbre/géométrie). 2. Proposer une introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, résolutions injectives et projectives, suites spectrales). On introduira à cette occasion le langage des catégories (catégories abéliennes, foncteurs dérivés). 3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux et de leur cohomologie.

Références
  • Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
  • Commutative Ring Theory, Matsumura
  • Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
  • An introduction to homological algebra, Weibel

La participation à ce stage de rentrée est obligatoire pour tous les étudiants. Il est crédité par 3 ECTS au second semestre.

 Cours du premier semestre

Durant le premier semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en choisissant parmi les cours fondamentaux ci-dessous. Ceux-ci se répartissent en trois champs disciplinaires.

Géométrie algébrique et théorie des nombres

François Charles (CM), Olivier Fouquet (TD) : Théorie des nombres (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Le cours porte sur les fondements modernes de la théorie des nombres. La première partie sera consacrée à la théorie de base classique des corps de nombres. Il serait utile que les auditeurs soient déjà familiarisés avec le livre de Samuel ou celui d’Ireland-Rosen, cités ci-dessous, ou tout autre ouvrage traitant cette théorie de base. Les parties suivantes couvriront, l’une la théorie locale (corps-adiques) et globale (corps de nombres, adèles) jusqu’à la théorie de Tate des fonctions L, l’autre la décomposition et la ramification des idéaux dans les extensions galoisiennes de corps de nombres, jusqu’au théorème de Cebotarev.

Prérequis : (Si possible à étudier auparavant)

  • Samuel, Théorie algébrique des nombres, ou
  • Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory, chapitres 1 à 7 , et 12-13.
Références
  • Lang, Algebraic number theory
  • Cassels, Fröhlich eds, Algebraic number theory (Proc. Brighton Conference)
  • Weil, Basic number theory
  • Ramakrishnan, Valenza, Fourier analysis on number fields

Ekaterina Amerik (CM), Joël Riou (TD) : Géométrie algébrique : schémas et cohomologie (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Ce cours introductif a pour but de donner les bases de la théorie des schémas et de la cohomologie des faisceaux algébriques cohérents. Il s’agira pour la majeure partie de donner les bases du langage des schémas, tout en gardant en vue des applications géométriques. Le cours accéléré couvrira les prérequis, mais une familiarité avec des bases de théorie des nombres et/ou de géométrie différentielle ne peut être que bénéfique.

Références
  • R. Vakil, Foundations of Algebraic Geometry, disponible en ligne.
  • G. Kempf, Algebraic Varieties, London Mathematical Society Lecture Notes Series.
  • R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer GTM.
  • A. Grothendieck et J. Dieudonné, Eléments de Géométrie algébrique
  • Stacks Projects, disponible en ligne.

Topologie, géométrie et systèmes dynamiques

Frédéric Bourgeois, Rémi Leclercq (CM), Daniel Monclair (TD) : Groupes et géométrie (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

L’objectif du cours est de donner une formation générale en groupes de Lie et géométrie riemannienne. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle.
On abordera les sujets suivants :

  • Groupes et algèbres de Lie, classification des groupes de Lie semi-simples, espaces homogènes.
  • Fibrés vectoriels, tenseurs, connexions linéaires, torsion et courbure ; fibrés principaux
  • Géométrie riemannienne : Connexion de Levi-Civita, géodésiques, théorème de Hopf-Rinow, courbures, formules de variation, champs de Jacobi, théorème de Cartan-Hadamard, théorèmes de comparaison, sous-variétés riemanniennes, géométrie à l’infini des variétés riemanniennes de courbure négative ou nulle
  • Espaces symétriques et classification des espaces symétriques de type non compact.
  • Structures géométriques, rigidité et déformations.
Références
  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, 1990
  • W.P.A. Klingenberg : Riemannian geometry. 2nd edition. De Gruyter Studies in Mathematics 1. 1995
  • J. Cheeger, D.G. Ebin : Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. 2008
  • S. Helgason : Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. Academic press, 1978
  • J.P. Serre : Algèbres de Lie semi-simples complexes (French). W. A. Benjamin Inc. New-York 1966
  • J.P. Serre : Lie algebras and lie groups. Lectures given at Harvard University, 1964. W. A. Benjamin Inc. New-York 1965
  • A.W. Knapp : Lie groups beyond an introduction. 2nd edition. Progress in mathematics, 140. Birkhauser 2002
  • M.R. Bridson, A. Haefliger : Metric spaces of non-positive curvature. Grundlheren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Théorie ergodique (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

L’hypothèse ergodique, formulée par le physicien L. Boltzmann en 1871 pour « expliquer » la mécanique statistique, présume que le comportement à long terme d’un système dynamique est en « moyenne » le même pour tout point initial. Ceci est complètement faux en général, mais à donné naissance à la théorie ergodique, qui remplace « pour tout point » par « pour presque tout point » par rapport à une mesure, invariante par la dynamique. Cette théorie en soi, contient une pléthore de phénomènes intéressants, en forte relation avec la théorie des probabilités :

  • Définitions de base : Mesure, invariance, ergodicité, mélange.
  • Récurrence de Poincaré, théorème de Kac, temps de visite,…
  • Dynamique symbolique.
  • Théorème ergodique maximal, théorème de Birkhoff, Martingales.
  • Entropie d’une mesure invariante. Entropie d ’information de Shannon.

Le cours se déroule sur la 1re partie du 1er semestre et sera suivi par un cours de Systèmes Dynamiques, bien que les deux soient indépendants.

Références
  • Karl Petersen : Ergodic Theory (Cambridge, 3rd ed. 1995)
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.

Hans Rugh (CM), Damien Thomine (TD) : Systèmes Dynamiques topologiques et différentiables (25h+12,5h) - 7,5 ECTS

Contenu

La continuité peut avoir des conséquences surprenantes sur le comportement d’un système dynamique, notamment dans le cadre « applications uni-dimensionnelles ». Lorsque le système est différentiable les notions de contraction / dilatation permettent de quantifier la sensibilité du comportement par rapport aux conditions initiales (« effet de papillon »).

  • Applications uni-modales. Théorème de Sarkovski. Entropie topologique.
  • Dynamique symbolique.
  • Dynamique des flots. Théorème de Poincaré-Bendixon.
  • Systèmes dynamiques hyperboliques. Variétés stable/instable. L’application « Chat » d’Arnold.
  • Contraction des cônes. Mélange exponentielle.
  • Exposants de Lyapunov.

Le cours se déroule sur la 2e partie du 1er semestre. Les notions de la théorie ergodique seront rappelées. Ce cours et le cours sur la « Théorie Ergodique » peuvent être pris de façon indépendante.

Références
  • Robert Devaney : An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, Reading MA 1989.
  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.

Analyse réelle et complexe

Joël Merker (CM), Hoang Chinh Lu (TD) : Géométrie Analytique Complexe (50h+25h) - 15 ECTS

Contenu

Ce cours introductif présentera les aspects fondamentaux de la théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes,
et de la théorie des variétés analytiques complexes de dimension n > 1.

Les séances s’axeront principalement sur une étude détaillée des livres de Hörmander et de Noguchi, avec le concours de la « bible » de Griffiths-Harris,
dont le but est de ‘donner une introduction compréhensible à la théorie des variétés analytiques complexes’. Notamment, les célèbres « estimées L^2 »
de Hörmander, ainsi que la théorie de Hodge, seront exposées au tableau dans leurs détails analytiques les plus fins et les plus ultimes.
Toute la beauté des idées d’Oka sera aussi dévoilée grâce à la restitution fidèle que Noguchi est récemment parvenu à transcrire.

En liaison avec des séances indispensables d’exercices (TD), quatre devoirs libres seront proposés. Plusieurs chapitres déjà rédigés du cours sont disponibles
pour consultation à l’adresse internet www.math.u-psud.fr/ merker/

Plan
  • Fonctions de plusieurs variables complexes : théorèmes de Hartogs, fonctions (pluri)sousharmoniques, lemme de Dolbeault-Grothendieck, domaines d’holomorphie, pseudoconvexité.
  • Théorie des faisceaux : suites exactes courtes, homomorphisme de connexion, cohomologie (de Čech) des faisceaux.
  • Théorème de cohérence d’Oka : théorèmes de préparation et de division de Weierstrass, anneaux locaux, faisceaux cohérents, théorèmes de Serre.
  • Estimées L^2 de Hörmander : théorie de Von Neumann dans les espaces de Hilbert, adjoint de l’opérateur d-barre, inégalité a priori sur les (p,q)-formes.
  • Annulation de la cohomologie des faisceaux cohérents : Lemme de Cartan, Lemme fondamental d’Oka, Joku Iko.
  • Variétés de Stein : polyèdres analytiques, plongements, enveloppes d’holomorphie, approximations de sections holomorphes de fibrés vectoriels holomorphes.
  • Espaces algébriques et analytiques complexes : stratifications, normalisations, éclatements, théorème des applications propres de Remmert.
  • Diviseurs et fibrés en droites : métriques, connexions, courbure de Chern, diviseurs, variétés kählériennes, théorème de plongement de Kodaira.
  • Fibrés vectoriels positifs et théorèmes d’annulation : identité de Bochner-Kodaira-Nakano, positivité au sens de Nakano et de Griffiths, amplitude des fibrés en droites et vectoriels.
  • Théorie de Hodge : cohomologie de Dolbeault, formes harmoniques, décomposition de Hodge, relations bilinéaires de Hodge-Riemann.
Références
  • Griffiths, P., Harris, J. : Principles of Algebraic Geometry, Pure and applied mathematics, Wiley-Interscience, New York, 1978, xii+813 pp.
  • Hörmander, L. : An introduction to complex analysis in several variables, North Holland, 1966, vii+254 pp.
  • Noguchi, J. : Analytic function theory of several complex variables. Elements of Oka’s coherence. Springer-Verlag, Tokyo, 2016, xviii+397 pp.

Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation.

Equations aux dérivées partielles

Jean-François Babadjian : Equations elliptiques linéaires et non-linéaires (30h) - 5 ECTS

Contenu

Le cours abordera les sujets suivants :

  • Régularité pour les équations elliptiques linéaires : régularité Lp, régularité holdérienne, régularité pour les équations à coefficients L1.
  • Point fixe de Schauder, applications aux équations elliptiques semi-linéaires. Lien avec le calcul des variations.
  • Eléments de théorie des bifurcations
  • Méthodes de monotonie, applications aux p-Laplacien.
  • Introduction aux solutions de viscosité

Frédéric Rousset : Equations dispersives (30h) - 5 ECTS

Contenu

L’objectif de ce cours est d’introduire les étudiants aux Equations aux Dérivées Partielles Dispersives linéaires ou non-linéaires, et d’exhiber quelques comportements typiques des solutions : existence, dispersion, diffusion ou explosion. Le cours se concentrera dès le début sur quelques modèles simples : ondes ou Schrödinger.

Plan
  • Etude des équations linéaires : existence, description en Fourier
  • Equations non linéaires via l’injection de Sobolev
  • Propriétés de dispersion, estimations de Strichartz
  • Equations non linéaires utilisant des estimées de Strichartz
  • Existence globale : utilisation des lois de conservation
  • Théorie de la diffusion pour l’équation de Schrödinger non linéaire
  • Un exemple d’explosion en temps fini

 Cours du second semestre

Durant le second semestre, les étudiants doivent valider 30 ECTS en effectuant un mémoire et en choisissant au moins un cours avancé.

Mémoire

Les étudiants doivent obligatoirement valider auprès du responsable du M2 le nom de l’encadrant de mémoire proposé et le sujet du mémoire avant que le mémoire ne commence.

Mémoire - 21 ECTS

Le mémoire consiste le plus souvent en la lecture d’un article de recherche proposé par un membre de l’un des laboratoires de mathématiques de l’Université Paris-Saclay (Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, …) ou d’un autre laboratoire moyennant l’accord du responsable de finalité, ainsi qu’en la rédaction d’un mémoire (combiné avec un oral).

Cours avancés

Bertrand Rémy : Introduction aux groupes algébriques (20h) - 6 ECTS

Contenu

Un groupe algébrique défini sur un corps donne lieu à une famille de groupes abstraits : en effet, si on part d’un tel groupe de matrices, on peut obtenir différents groupes en prenant comme corps de coefficients les diverses extensions du corps de base. Quand le groupe en question est simple, la classification de ces groupes sur les corps algébriquement clos est un résultat frappant (dû à Chevalley) car la liste obtenue ne dépend pas du corps et s’énonce de façon purement combinatoire, essentiellement au moyen des diagrammes de Dynkin. Dans ce cours, on va s’intéresser à la structure (et éventuellement à la classification) des groupes abstraits obtenus quand le corps de base n’est pas algébriquement clos. L’idée est de partir de conditions mixtes de géométrie algébrique et de théorie des groupes pour obtenir une description combinatoire abstraite des groupes de matrices simples sur des corps quelconques (il s’agit de la théorie de Borel-Tits). La combinatoire ainsi obtenue, celle des systèmes Tits, a de multiples applications, notamment en théorie des représentations et en géométrie.

Références
  • A. Borel : Linear algebraic groups, Springer, 1991.
  • M. Demazure et P. Gabriel : Groupes algébriques, Masson, 1970.
  • T. Springer : Linear algebraic groups, Springer, 1998.
  • W. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, 1979.

Jean-Benoît Bost : Algébrisation en géométrie analytique, formelle et diophantienne (24h) - 6 ECTS

Contenu

Divers théorèmes classiques de géométrie algébrique (au sens large) et de géométrie diophantienne affirment que certains « objets géométriques » — tels que des variétés, des fibrés vectoriels, ou des faisceaux cohérents — définis dans un cadre « analytique » ou « formel » sont en fait algébriques, sous des hypothèses convenables, mettant en jeu la géométrie complexe globale (théorème de Chow, théorèmes GAGA de Serre) ou bien des conditions arithmétiques (théorème de Schneider-Lang, théorèmes à la Chudnovski).

Le but de ce cours sera de fournir une introduction à ces résultats classiques, accessibles avec des connaissances de base de géométrie algébrique et de géométrie analytique complexe, qui mettra l’accent sur le parallélisme entre des énoncés et des démonstrations considérés classiquement comme très différents, notamment entre les techniques d’algébrisation en géométrie analytique et en géométrie formelle d’une part, et la théorie de la transcendance et de l’approximation diophantienne d’autre part.

Tony Yue Yu : Introduction à la géométrie analytique non archimédienne (20h) - 6 ECTS

Résumé

La géométrie analytique non archimédienne s’agit d’une théorie de la géométrie analytique sur un corps non archimédien, tel que le corps des nombres p-adiques Q_p, le corps des séries formelles de Laurent C((t)), etc. Dans ces dernières années, la géométrie analytique non archimédienne est devenue un outil indispensable dans la recherche de la théorie des nombres, la géométrie algébrique, les représentations automorphes ainsi que la symétrie miroir. Ce cours d’introduction prépare les étudiant en mastère à des notions de base de la géométrie analytique non archimédienne.

La première partie du cours se consacre à l’aspect algébrique : la théorie de la valuation et des algèbres affinoides. Ensuite, nous verrons de diverses façons d’associer des espaces aux algèbres affinoides, d’après Tate, Berkovich et Huber, et comment elles fournissent toutes une théorie géométrique équivalente. Avec ces préparations de base, nous étudierons la cohomologie étale analytique non archimédienne et la théorie des cycles évanescents.

Les étudiants peuvent également suivre certains cours communs avec le M2 Analyse Modélisation Simulation.

Quentin Mérigot : Méthodes de transport optimal en analyse et en géométrie (24h) - 3 ECTS

Contenu

La théorie du transport optimal a connu un grand développement dans les 20 dernières années, à la fois par son caractère élémentaire et très général, et par la connexion qu’elle établit entre des branches très différentes des mathématiques.
On traitera des aspects géométriques (hypersurfaces convexes de courbure gaussienne prescrite, inégalités isopérimétriques, courbes géodésiques sur le groupe des difféomorphismes conservants le volume) et analytiques (équations de Monge-Ampère, d’Hamilton-Jacobi et d’Euler).

François Golse : Modèles cinétiques (24h) - 3 ECTS

Contenu

Ce cours est une introduction à l’analyse mathématique des modèles de la théorie
cinétique des gaz ou des plasmas.

Plan
  • L’équation de transport :
    • méthode des caractéristiques
    • lemmes de moyenne
    • lemmes de dispersion
  • Les équations de champ moyen pour les plasmas :
    • la limite de champ moyen pour les systèmes de particules avec interaction lipschitzienne (d’après Neunzert-Wick, Braun-Hepp, Dobrushin)
    • le modèle de Vlasov-Poisson : existence, unicité et régularité en dimension 3 (d’après Pfaffelmoser, Lions-Perthame)
    • le modèle de Vlasov-Maxwell : existence globale de solutions renormalisées (d’après DiPerna-Lions) ; le critère de régularité de Glassey-Strauss
    • l’amortissement Landau (d’après Caglioti-Maffei et Mouhot-Villani)
Références
  • H. Brezis : “Analyse fonctionnelle et applications" ; Masson, Paris, 1983.
  • F. Golse : “Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles”, Ecole polytechnique, 2011
  • C. Zuily : “Eléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles", Dunod, Paris, 2002.
  • F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti : “Kinetic equations and asymptotic theory" ; B. Perthame et L. Desvillettes eds, Series in Applied Mathematics (Paris), 4. Gauthier-Villars, Editions Scientifiques et Médicales Elsevier, Paris, 2000.
  • R.T. Glassey : “The Cauchy problem in kinetic theory". Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996
  • F. Golse : On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit ; preprint arxiv 1301.5494.
  • Notes de cours : http://www.math.polytechnique.fr/ golse/M2.html

Matthieu Léautaud : Prolongement unique et applications (24h) - 3 ECTS

Contenu

Il s’agit d’un cours avancé dont l’objectif est de présenter quelques résultats de prolongement unique pour les solutions d’équations aux dérivées partielles linéaires. On expliquera une méthode très générale qui repose sur des estimées d’énergie à poids, appelées inégalités de Carleman.
On donnera de nombreuses applications comme une estimation de l’effet tunnel pour les fonctions propres du laplacien, la contrôlabilité de l’équation de la chaleur, ou la contrôlabilité approchée de l’équation des ondes.

Plan
  • Inégalités de Carleman pour les opérateurs elliptiques et prolongement unique
  • Application aux sommes de fonctions propres et à la contrôlabilité de l’équation de la chaleur
  • Théorème de Hörmander pour les opérateurs à coefficients réels
  • Prolongement unique pour l’équation des ondes
  • Application à la pénétration des ondes dans l’ombre d’obstacles, et à la contrôlabilité approchée de l’équation des ondes
Références
  • J. Le Rousseau and G. Lebeau. Introduction aux inégalités de Carleman pour les opérateurs elliptiques et paraboliques. Applications au prolongement unique et au contrôle des équations paraboliques. http://hal.archives-ouvertes.fr/hal...PDF/notes-carleman.pdf, 2008.
  • L. Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators : Fourier integral operators, volume 4. Springer Verlag, 1985.
  • L. Hörmander. On the uniqueness of the Cauchy problem under partial analyticity assumptions. In Geometrical optics and related topics (Cortona, 1996), volume 32 of Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., pages 179 219. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1997

Les étudiants peuvent également suivre le cours ci-dessous, au programme du M2 Probabilités et statistiques.

Autres cours

Hélène Gispert : Histoire des Mathématiques (25h) - 3 ECTS

Contenu

Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels.
Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre social de la discipline et de ses applications à travers l’histoire.
En s’attachant à l’histoire d’une notion mathématique, telle la notion de fonction, que les étudiants ont fréquenté depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans l’activité même de mathématiciens de différentes époques à avec leurs questionnements, leurs limites, leurs difficultés voire leurs erreurs à des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme classiques.
Le module optionnel, de 25 heures (3 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre.
Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD qui alterneront au cours des treize semaines du semestre.
Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux de différentes époques.