Prochainement

Mercredi 29 mai 14:00-17:30 Nicolas Bergeron (IMJ-PRG)
Transgression de la classe d’Euler, cohomologie de $\mathrmGL_N (\mathbbZ)$ et arithmétique des formes modulaires.

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Dans les années 90 Nori et Sczech, indépendamment, ont introduit des classes de cohomologie rationnelles explicites de degré $N-1$ pour des sous-groupes de congruence de $\mathrmGL_N (\mathbbZ)$. Evaluées selon des tores d’unités, ces classes permettent de donner une démonstration topologique du théorème de Klingen—Siegel sur la rationalité aux entiers négatifs des fonctions L de corps totalement réels. Dans cet exposé, je commencerai pas expliquer comment retrouver les classes de Nori et Sczech à partir de la transgression explicite, obtenue par Bismut et Cheeger, de la classe d’Euler d’un $\mathrmSL_N (\mathbbZ)$ fibre vectoriel.
Sczech obtient les classes de cohomologie évoquées ci-dessus par spécialisation d’une classe de cohomologie plus riche, à valeurs dans un espace de fonctions. Plus récemment Charollois a proposé d’enrichir encore la classe de Sczech en une classe de cohomologie à valeur dans les formes modulaires. Cette classe établit un lien assez fascinant entre le monde topologico-géométrique des variétés symétriques réelles associées aux sous-groupes de congruence de $\mathrmGL_N (\mathbbZ)$ et le monde arithmétique des formes modulaires. J’expliquerai comment relier ces constructions à la transgression de la classe d’Euler et comment obtenir ainsi de nombres cocycles rationnels (en fait presque entiers) qui fournissent notamment une nouvelle approche à l’étude de l’algébricité des valeurs spéciales de fonctions L.
Tout ceci fait parti d’un travail en cours avec Pierre Charollois, Luis Garcia et Akshay Venkatesh.

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Mercredi 12 juin 14:00-17:00 Cyril Houdayer (Orsay)
Trou spectral pour les actions fortement ergodiques

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Lieu : Salle 3L3

Résumé : Dans cet exposé, je ferai tout d’abord une introduction à la théorie ergodique des actions de groupes dénombrables sur les espaces mesurés. J’illustrerai la notion d’action ergodique par des exemples de nature probabiliste, algébrique et géométrique. Je présenterai ensuite une propriété de trou spectral pour les actions de groupes et ses liens avec l’ergodicité (forte).

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Mercredi 19 juin 14:00-17:00 Siarhei Finski (IMJ-PRG)
Torsion analytique des surfaces cuspidales et ses applications aux espaces de modules

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : On va établir un théorème de Riemann-Roch-Grothendieck au niveau des formes différentielles pour des familles des surfaces de Riemann avec pointes hyperboliques admettant des fibres singuliers. Pour cela, on définit la torsion analytique d’une surface cuspidale et on étudie ses propriétés.
Dans le cas de la courbe universelle épointée, notre résultat donne une généralisation d’une formule de Takhtajan-Zograf qui exprime le premiere forme de Chern de fibre de Hodge en termes de la forme de Weil-Petersson. Cette formule nous donne une autre preuve d’un théorème du à Wolpert, qui affirme que les volumes de Weil-Petersson de l’espace de modules de courbes épointées sont des multiples rationnelles de puissances de pi.
Pour obtenir nos résultats, un outil important est l’asymptotique de la métrique de Quillen près de lieu singulier. On calcule cette asymptotique jusqu’au terme constant, et on relie le terme constant à la métrique de Quillen sur la normalisation des fibres singulières.

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Passés

Mercredi 15 mai 14:00-17:00 Colin Guillarmou  (Orsay)
Sur le spectre marqué des variétés à courbures négatives ou avec flot Anosov

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : On expliquera deux preuves de la rigidité locale du spectre marqué des longueurs des géodésiques fermées sur les variétés compactes à courbures négatives, ou plus généralement avec flot géodésique Anosov. Ceci répond partiellement à une conjecture de Burns et Katok, démontrée précédemment en dimension 2 par Otal et Croke. Il s’agit de travaux avec T. Lefeuvre puis T. Lefeuvre et G. Knieper.

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Vendredi 10 mai 14:00-17:00 Damien Rössler  (Oxford)
Hauteurs canoniques sur un base de dimension supérieure (travail en commun avec T. Szamuely)

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : AA Belinson a conjecturé dans son article Height Pairings between Algebraic Cycles que sur une variété projective et lisse sur un corps de nombres, il était possible de définir un accouplement de hauteur canonique à valeurs réelles entre deux cycles homologiquement triviaux tels que la somme de leurs codimensions vaut la dimension de la variété plus un. Un accouplement semblable, mais à valeurs rationnelles cette fois-ci, devrait aussi exister lorsque le corps de base est un corps global de caractéristique positive. AA Beilinson donne aussi dans loc. cit. une construction purement cohomologique d’un pareil accouplement. Cette construction fait usage de la théorie des faisceaux pervers et des conjectures de Weil. Nous reprenons cette construction et nous montrons qu’elle peut être généralisée pour obtenir des accouplements canoniques lorsque le corps de base est le corps de fonctions d’une variété lisse quelconque sur un corps fini. Ces accouplements sont à valeurs dans certains groupes de cohomologie l-adique absolue d’un modèle projectif et lisse quelconque du corps de fonctions. Ces groupes sont le but d’applications d’Abel-Jacobi sur ce modèle. Notre construction donne en particulier lieu à des accouplements “exotiques” qui sortent du cadre des accouplements de hauteurs. Enfin nos résultats suggèrent l’existence de plusieurs accouplements arakeloviens, en particulier un accouplement à valeurs dans le groupe de Picard-Arakelov, qui raffinerait l’accouplement de hauteur canonique.
Nous allons décrire la construction de notre accouplement généralisé en détail, après avoir fait plusieurs rappels sur les faisceaux pervers et les conjectures de Weil. Pour finir, nous formulerons précisément les conjectures arakeloviennes que notre construction suggère. L’une de ces conjectures est démontrée par Moret-Bailly dans son livre Pinceaux des Variétés Abéliennes, lorsque la variété est une variété abélienne.

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Mercredi 17 avril 14:00-17:00 Stéphane Nonnenmacher  (Orsay)
Délocalisation sur les surfaces de courbure négative (collab. avec Semyon Dyatlov et Long Jin)

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Une des questions en « chaos quantique » concerne la
structure des modes propres du laplacien sur des variétés
riemanniennes compactes dont le flot
géodésique est chaotique. En particulier, on s’intéresse à la
répartition des modes propres sur la variété (au sens du poids $L^2$),
dans la limite de haute fréquence.
Le théorème d’ergodicité quantique (énoncé par Schnirelman en 1973)
montre que, sous l’hypothèse d’ergodicité du flot géodésique, la grande
majorité des modes propres se délocalisent uniformément
sur la variété dans cette limite. Ce théorème laisse néanmoins la
possibilité pour quelques rares modes propres de se concentrer sur des
sous-ensembles stricts de la variété.
Dans le cas des variétés fermées de courbure strictement négative, Anantharaman
(2006) a montré que de tels sous-ensembles ne peuvent pas être « trop fins ».
Dans le cas spécifique des surfaces compactes (sans bord) de courbure strictement
négative, nous montrons que tous les modes propres de haute fréquence sont délocalisés
sur toute la variété. Préciséement, pour tout ouvert $U$ de la
variété, le poids $L^2$ sur $U$ des
modes propres est borné inférieurement par un nombre positif.
Notre preuve généralise au cas de la courbure variable un
résultat similaire de Dyatlov-Jin (2017) sur les surfaces de courbure
négative constante. En particulier, nous utilisons également le principe
d’incertitude fractal montré par Bourgain-Dyatlov en 2016.

Délocalisation sur les surfaces de courbure négative (collab. avec Semyon Dyatlov et Long Jin)  Version PDF