Prochainement

Vendredi 10 mai 14:00-17:00 Damien Rössler (Oxford)
Hauteurs canoniques sur un base de dimension supérieure (travail en commun avec T. Szamuely)

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : AA Belinson a conjecturé dans son article Height Pairings between Algebraic Cycles que sur une variété projective et lisse sur un corps de nombres, il était possible de définir un accouplement de hauteur canonique à valeurs réelles entre deux cycles homologiquement triviaux tels que la somme de leurs codimensions vaut la dimension de la variété plus un. Un accouplement semblable, mais à valeurs rationnelles cette fois-ci, devrait aussi exister lorsque le corps de base est un corps global de caractéristique positive. AA Beilinson donne aussi dans loc. cit. une construction purement cohomologique d’un pareil accouplement. Cette construction fait usage de la théorie des faisceaux pervers et des conjectures de Weil. Nous reprenons cette construction et nous montrons qu’elle peut être généralisée pour obtenir des accouplements canoniques lorsque le corps de base est le corps de fonctions d’une variété lisse quelconque sur un corps fini. Ces accouplements sont à valeurs dans certains groupes de cohomologie l-adique absolue d’un modèle projectif et lisse quelconque du corps de fonctions. Ces groupes sont le but d’applications d’Abel-Jacobi sur ce modèle. Notre construction donne en particulier lieu à des accouplements “exotiques” qui sortent du cadre des accouplements de hauteurs. Enfin nos résultats suggèrent l’existence de plusieurs accouplements arakeloviens, en particulier un accouplement à valeurs dans le groupe de Picard-Arakelov, qui raffinerait l’accouplement de hauteur canonique.
Nous allons décrire la construction de notre accouplement généralisé en détail, après avoir fait plusieurs rappels sur les faisceaux pervers et les conjectures de Weil. Pour finir, nous formulerons précisément les conjectures arakeloviennes que notre construction suggère. L’une de ces conjectures est démontrée par Moret-Bailly dans son livre Pinceaux des Variétés Abéliennes, lorsque la variété est une variété abélienne.

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Passés

Mercredi 17 avril 14:00-17:00 Stéphane Nonnenmacher  (Orsay)
Délocalisation sur les surfaces de courbure négative (collab. avec Semyon Dyatlov et Long Jin)

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Une des questions en « chaos quantique » concerne la
structure des modes propres du laplacien sur des variétés
riemanniennes compactes dont le flot
géodésique est chaotique. En particulier, on s’intéresse à la
répartition des modes propres sur la variété (au sens du poids $L^2$),
dans la limite de haute fréquence.
Le théorème d’ergodicité quantique (énoncé par Schnirelman en 1973)
montre que, sous l’hypothèse d’ergodicité du flot géodésique, la grande
majorité des modes propres se délocalisent uniformément
sur la variété dans cette limite. Ce théorème laisse néanmoins la
possibilité pour quelques rares modes propres de se concentrer sur des
sous-ensembles stricts de la variété.
Dans le cas des variétés fermées de courbure strictement négative, Anantharaman
(2006) a montré que de tels sous-ensembles ne peuvent pas être « trop fins ».
Dans le cas spécifique des surfaces compactes (sans bord) de courbure strictement
négative, nous montrons que tous les modes propres de haute fréquence sont délocalisés
sur toute la variété. Préciséement, pour tout ouvert $U$ de la
variété, le poids $L^2$ sur $U$ des
modes propres est borné inférieurement par un nombre positif.
Notre preuve généralise au cas de la courbure variable un
résultat similaire de Dyatlov-Jin (2017) sur les surfaces de courbure
négative constante. En particulier, nous utilisons également le principe
d’incertitude fractal montré par Bourgain-Dyatlov en 2016.

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Mercredi 3 avril 14:00-17:00 Lionel Darondeau  (ENS Ulm)
Hyperbolicité orbifolde

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : C’est un travail commun avec Frédéric Campana et Erwan Rousseau. Nous
définissons et nous étudions les fibrés de jets dans la catégorie des
orbifoldes géométriques. Nous montrons que les argument des cadres
compact et logarithmique ne s’étendent pas tous dans ce cadre plus
général. Ceci est illustré par des exemples simples de paires orbifolde
de type général qui n’admettent pas de différentielles de jets globales,
alors même que certains de ces exemples vérifient la conjecture de
Green-Griffiths-Lang. Ceci contraste avec un résultat important de
Demailly (2010) qui prouve que les variétés compactes de type général
admettent toujours des différentielles de jets. Nous illustrons
l’utilité de l’étude des jets orbifoldes en établissant l’hyperbolicité
de certaines surfaces orbifoldes, qui ne peut pas être obtenue avec les
techniques actuelles en théorie de Nevanlinna. Nous conjecturons
également que le résultat de Demailly devrait être vérifié par les
paires orbifoldes à bord lisse sous une certaine condition naturelle de
multiplicités, et nous donnons des résultats dans cette direction.

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Mercredi 27 mars 14:00-17:00 Andrei Moroianu  (Orsay)
Vers la classification des géométries

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : A la différence du cas des connexions sans torsion, dont les groupes d’holonomie possibles sont classifié-es par les théorèmes de Berger-Simons (dans le cas m-étrique) et Merkulov-Schwachhöfer (dans le cas général), rien ou presque n’est connu sur les groupes d’holonomie des connexions -à torsion. Dans cet exposé je vais présenter une stratégie de classification dans le cas des connexions m-étriques -à torsion parallèle et totalement anti-symétrique. C’est un cas important qui apparaît naturellement dans plusieurs contextes riemanniens, comme par exemple sur les espaces homogènes naturellement réductifs, sur les variétés de Sasaki, ou sur les variétés nearly Kähler, où une connexion -à torsion semble mieux adaptée que la connexion de Levi-Civita. Je vais montrer que toute variété riemannienne admettant une connexion m-étrique à torsion parallèle et anti-symétrique est l’espace total d’une submersion riemannienne -à fibres totalement géodésiques homogènes, dont la base possède -également une connexion métrique à torsion parallèle et anti-symétrique (-éventuellement nulle), ainsi qu’un -fibré principal à courbure parallèle. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Uwe Semmelmann et Richard Cleyton. -

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Mercredi 13 mars 14:00-17:30 Yang Li  (Imperial College (Londres))
Collapsing Calabi-Yau metrics on Lefschetz K3 fibred 3-folds

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : I will discuss the problem of describing the collapsing CY metrics on a CY 3-fold with a Lefschetz K3 fibration, from both the gluing perspective and the a priori estimate perspective. Collapsing CY metrics is a well studied subject, but most of the previous works concentrate on the behaviour away from the singular fibres, and the full description of the metric was only available in a very small number of cases, mostly relying on very favourable gluing ansatz.
From the nonlinear perspective, the essential realisation is that by restricting the type of singularities, and under some conjecture in pluripotential theory, then a small neighbourhood of the singular fibre has a local noncollapsing bound, which enables us to understand the pointed Gromov-Hausdorff limit of the singular fibre in the scale where the fibre volume is 1.
From the gluing perspective, the main geometric insight is that there should be a much finer scale near the nodal points in the fibration, where the scaled limit is a CY metric on C^3 with maximal volume growth and singular tangent cone at infinity. This model metric was previously constructed by the author in a separate work. The difficulty of the gluing lies in the coarse nature of the gluing ansatz, and the fact that the metric has many types of characteristic behaviours at different scales. We overcome this by developing a sharp linear theory, using some earlier ideas of Gabor Szeklyhidi.

Collapsing Calabi-Yau metrics on Lefschetz K3 fibred 3-folds  Version PDF