Prochainement

Mercredi 13 décembre 14:30-17:00 Martin Puchol (Orsay)
Variance du volume des sous-variétés algébriques réelles aléatoires

Plus d'infos...

iCal

Lieu : Salle 113-115

Résumé : Considérons une variété projective $X$ définie sur les réels. Nous étudions dans cet exposé le lieux des zéros réels $Z_s_d$ d’une section holomorphe réelle aléatoire $s_d$ de $L^d \otimes E$, où $L$ est un fibré en droites ample sur $X$ et $E$ est un fibré holomorphe de rang $r$ sur $X$. Par exemple si $X=\CP^n$, $L=\mathcalO(1)$ et $E=\C^r\times X$ alors $s_d$ est un $r$-uplet aléatoire de polynômes de degré $d$ et $Z_s_d$ est l’ensemble des racines réelles communes de ces polynômes.
Plus précisément, nous nous intéresserons ici à l’asymptotique de la variance des statistiques linéaires associées à $Z_s_d$, avec comme cas particulier la variance du volume de $Z_s_d$.
Ceci est un travail en commun avec Thomas Letendre

Variance du volume des sous-variétés algébriques réelles aléatoires  Version PDF

Mercredi 20 décembre 14:00-17:00 Yang Liu (IHES et Max-Planck Institut (Bonn))
Hypergeometric function and modular curvature

Plus d'infos...

iCal

Lieu : Institut de Mathématique d'Orsay (IMO) Salle 0A3

Résumé : In the recent development of modular geometry on toric noncommutative manifolds, metrics are parametrized by self-adjoint elements in the coordinate algebra (noncommutative in general), whose exponential are called Weyl factors. Local invariants, such as the Riemannian curvature are encoded in the coefficients of heat kernel expansion of some Laplacian type operator. The inner automorphisms generated by the Weyl factors induces a derivation (a noncommutative differential) at the infinitesimal. From analytic point of view, curvature is designed to measure the commutators of covariant derivatives. Therefore in the noncommutative setting, the modular curvature has a quantum part coming from the interplay between the inner automorphisms and the classical differentials. In this talk, I will report a recent progress that the spectral functions that define the action of inner automorphisms are sums of hypergeometric functions and their multivariable generalization.

Hypergeometric function and modular curvature  Version PDF

Mercredi 10 janvier 2018 14:00-17:00 Ksenia Fedosova (Freiburg)
Variational formulas for the Selberg zeta function and applications to curvature asymptotics

Plus d'infos...

iCal

Lieu : IMO Salle 0A3

Résumé : In the first part of this talk, we will introduce the Selberg zeta function and its relatives. We will recall the celebrated Selberg trace formula, and the geometric setting of our work, the Teichmüller space of Riemann surfaces of genus, g. As shown by Zograf and Takhtajan, the Selberg trace formula connects the Ricci curvature of the Hodge bundle $H^0 (K^m)$ over Teichmüller space together with the second variation of the Selberg zeta function at integer points. We will conclude the first part of this talk by explaining this connection and the role of the Selberg trace formula in its derivation.
In the second part of the talk, we will investigate the behavior of the Selberg zeta function, $Z(s)$, as a function on Teichmüller space. We will deduce an explicit formula for the second variation of $\log( Z(s) )$ via a certain infinite sum involving lengths of closed geodesics of the underlying surface and their variations. We will then utilize this formula to study the asymptotics of the second variation of $\log( Z(s) )$ as $s \to \infty$. We shall see that the most prominent role is played by the systole geodesics. Moreover, the dimension of the kernel of the first variation of the latter appears in the signature of the Hessian of $\log Z(s)$ for large $s$. In conclusion, we will show how our variational formula and its asymptotics have interesting implications for the curvature of the Hodge bundle and its relationship to the Quillen curvature.
The talk is aimed at a general audience with some familiarity in analysis, differential and complex geometry, and would be suitable for both doctoral students as well as more senior researchers.

Variational formulas for the Selberg zeta function and applications to curvature asymptotics  Version PDF

Passés

Mercredi 29 novembre 14:00-17:00 Marc Olive  (ENS Cachan)
Le tenseur d’Elasticité et les invariants de formes binaires

Plus d'infos...

Lieu : Salle 113-115

Résumé : L’espace des tenseurs d’élasticité, qui intervient en mécanique des milieux continus, hérite d’une action naturelle du groupe SO(3,R) des rotations de l’espace. Une famille génératrice des invariants polynomiaux de cet espace permet de caractériser les matériaux élastiques, car les paramètres élastiques ne sont définis que modulo une rotation de l’espace.
Pour obtenir une famille génératrice explicite d’une telle algèbre d’invariants, on passe par une complexification du problème, ce qui fait intervenir le revêtement universel SL(2,C) du groupe SO(3,C). Les représentations du groupe SL(2,C) nous amène à considérer des algèbres d’invariants de formes binaires (polynômes homogènes en deux variables complexes). Une fois revisité un algorithme de Gordan sur les formes binaires, nous obtenons finalement une famille génératrice minimale de 297 invariants pour l’espace des tenseurs d’élasticité.

Le tenseur d’Elasticité et les invariants de formes binaires  Version PDF

Mercredi 22 novembre 14:00-17:00 Joël Merker  (Orsay)
Connexions de Cartan effectives

Plus d'infos...

Lieu : Salle 113-115

Résumé : La première partie de l’exposé présentera la théorie des connexions de Cartan,
mise en perspective avec la théorie générale du problème d’équivalence pour les structures géométriques locales
qui peuvent être traduites en termes de systèmes différentiels extérieurs.
La deuxième partie de l’exposé présentera un formalisme invariant d’algèbre différentielle non commutative
qui place les calculs d’absorption de torsion et de normalisation des variables de groupe
à un niveau intermédiaire entre l’algèbre linéaire, laquelle n’apporte que des informations restrictives
sur les structures géométriques terminales, et l’algèbre complète, qui se heurte à une prolifération
exponentielle du nombre de monômes différentiels.
La troisième partie de l’exposé présentera des formules explicites pour les tenseurs de Hachtroudi-Chern
en termes d’une équation définissante implicite quelconque, locale ou globale, d’une hypersurface
Levi non-dégénérée de C^n avec n > 2. Ces formules, beaucoup plus simples que ce que l’on aurait pu attendre,
peuvent alors être appliquées à la détermination des lieux CR-ombilics d’ellipsoïdes réels dans C^n
étudiés par Webster. Elles apparaissent dans le mémoire doctoral de Wei-Guo Foo à Orsay.

Connexions de Cartan effectives  Version PDF

Mercredi 15 novembre 14:00-17:00 Luis Garcia  (IHES)
Superconnections and special cycles on Shimura varieties and generalizations

Plus d'infos...

Lieu : Salle 113-115

Résumé : Shimura varieties are of central importance to number theory and their geometry and arithmetic is a topic of intensive research. They come with a very rich collection of subvarieties known as special cycles. In the 1980’s Kudla and Millson gave very general theorems describing the span of these special cycles in cohomology in terms of automorphic forms. Their proofs involve producing explicit differential forms that are Poincare dual to the special cycles. I will describe a different approach to defining these differential forms that uses the formalism of superconnections and takes advantage of theorems proved by Bismut, Gillet and Soule. This allows for simplified proofs of several of the main theorems of Kudla-Millson and also to extend this construction to arithmetic quotients of period domains. I will also discuss work in progress on other applications of this construction, such as constructing Green forms for these special subvarieties (joint work with S. Sankaran) or extending Kudla-Millson modularity theorems to certain variations of Hodge structure not parametrized by Shimura varieties.
The talk will start with a general introduction to special cycles and no number theory background will be assumed.

Superconnections and special cycles on Shimura varieties and generalizations  Version PDF