Prochainement

Mercredi 20 février 17:32-18:32 Henri Guenancia (Toulouse)
Principe de Bochner sur des variétés singulières

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : J’expliquerai un résultat issu d’un travail en commun avec D. Greb et S. Kebekus, qui peut s’énoncer ainsi. Soit X une variété projective à singularitiés klt telle que KX est numériquement trivial. Alors tout tenseur holomorphe sur le lieu régulier de X est parallèle par rapport à n’importe quelle métrique Ricci-plate singulière.

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Mercredi 13 mars 14:00-17:30 Yang Li (Imperial College (Londres))
Collapsing Calabi-Yau metrics on Lefschetz K3 fibred 3-folds

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : I will discuss the problem of describing the collapsing CY metrics on a CY 3-fold with a Lefschetz K3 fibration, from both the gluing perspective and the a priori estimate perspective. Collapsing CY metrics is a well studied subject, but most of the previous works concentrate on the behaviour away from the singular fibres, and the full description of the metric was only available in a very small number of cases, mostly relying on very favourable gluing ansatz.
From the nonlinear perspective, the essential realisation is that by restricting the type of singularities, and under some conjecture in pluripotential theory, then a small neighbourhood of the singular fibre has a local noncollapsing bound, which enables us to understand the pointed Gromov-Hausdorff limit of the singular fibre in the scale where the fibre volume is 1.
From the gluing perspective, the main geometric insight is that there should be a much finer scale near the nodal points in the fibration, where the scaled limit is a CY metric on C^3 with maximal volume growth and singular tangent cone at infinity. This model metric was previously constructed by the author in a separate work. The difficulty of the gluing lies in the coarse nature of the gluing ansatz, and the fact that the metric has many types of characteristic behaviours at different scales. We overcome this by developing a sharp linear theory, using some earlier ideas of Gabor Szeklyhidi.

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Mercredi 20 mars 14:00-17:00 Hans-Joachim Hein (Fordham University (NY))
The renormalized volume of a 4-dimensional Ricci-flat ALE space

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : We introduce a natural definition of the renormalized volume of a 4-dimensional Ricci-flat ALE space. We then prove that the renormalized volume is always less or equal than zero, with equality if and only if the ALE space is isometric to its asymptotic cone. Currently the only known examples of 4-dimensional Ricci-flat ALE spaces are Kronheimer’s gravitational instantons and their quotients, which are also known to be the only possible examples of special holonomy. We calculate the renormalized volume of these spaces in terms of Kronheimer’s period map. This is joint work with Olivier Biquard.

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Passés

Mercredi 13 février 14:00-17:00 Olivier Schiffmann  (Orsay)
Nombres de Betti et cohomologie des espaces de modules de fibrés de Higgs semistables sur une courbe

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Les espaces de modules de fibrés de Higgs (semi)stables sur une courbe forment une famille de systèmes intégrables importants en géométrie algébrique, mais aussi en théorie des nombres, voire en théorie des représentations. Hausel et Rodriguez-Villegas ont proposé une formule conjecturale pour les nombres de Betti de ces espaces de modules. Nous expliquerons dans un premier temps la démonstration de cette conjecture (dont une partie est due à A. Mellit), et le lien avec le comptage de fibrés vectoriels indécomposables sur les courbes définies sur des corps finis. La structure de l’anneau de cohomologie de ces espaces reste encore très mystérieuse. Nous proposerons dans un second temps une approche à ce problème dans le cas (plus simple) des espaces de modules de fibrés vectoriels (sans champs de Higgs) sur une courbe, basée sur la notion d’algèbre de Hall \textitcohomologique.

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Mercredi 6 février 12:00-17:00 Hugues Auvray  (Orsay)
Métriques extrémales complètes et stabilité de paires sur surfaces de Hirzebruch

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Je parlerai dans cet exposé de l’existence de métriques complètes sur le complémentaire de diviseurs à croisements normaux dans des variétés (kählériennes) toriques compactes,
et de stabilité de paires (variété, diviseur).
En utilisant les constructions de Legendre et d’Apostolov-Calderbank-Gauduchon,
on caractérise à cet égard complètement les différents cas pour les surfaces de Hirzebruch.
En particulier, le résultat que j’exposerai montre que l’existence de métriques extrémales de type Poincaré (à singularité cusp)
et la « K-stabilité relative » de la paire sous-jacente ne coïncident pas nécessairement.
On verra toutefois, sur ces exemples, que la stabilité équivaut bien à l’existence de métriques extrémales complètes hors de diviseurs ;
c’est la condition de Poincaré qui est en défaut en général.
Il s’agit d’un travail en commun avec Vestislav Apostolov et Lars Sektnan.

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Mercredi 30 janvier 14:00-17:00 Gang Tian  (Université de Pékin)
Progress on the Analytic Minimal Program

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : The analytic Minimal Model Program was proposed a decade ago and provided a method to classifying projective manifolds birationally through Rico flow. If successful , the method can be also used to classify Kahler manifolds which are more general than projective manifolds. In the first part of this talk, I will give an overview of the Analytic Minimal Model Program and discuss some basic results. In the second part, I will discuss some recent progress. If time allows, I will also discuss some open problems.

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Mercredi 23 janvier 14:00-17:00 Gabriele Rembado  (ETH Zürich )
Quantification d’espaces de modules de connexions

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Les espaces de modules de connexions plates au-dessus de surfaces de Riemann constituent les espaces des champs de plusieurs théories de jauge classiques, telles que la théorie de Chern-Simons compacte (connexions unitaires) ou complexe (connexions à groupe de jauge complexe réductif). Leur quantification géométrique amènerait alors à des constructions mathématiquement rigoureuses de théories quantiques des champs qui admettent ces importantes théories de jauge comme limites semiclassiques.
Ce programme a été achevé par Hitchin & Axelrod-Della Pietra-Witten pour la théorie de Chern-Simons compacte, avec la construction de la connexion de Hitchin. L’analogue de cette construction dans le cas d’un groupe de jauge complexe reste en pleine généralité une question ouverte.
Un deuxième formalisme pour la quantification de la théorie de Chern-Simons est le modèle de Wess-Zumino-Witten en théorie conforme des champs, ce qui est mathématiquement équivalent à la quantification d’espaces de modules de connexions méromorphes à pole simples. Plus récemment ceci a été généralisé avec l’introduction d’espaces de blocs conformes irréguliers, a priori liés à la quantification d’espaces de modules de connexions méromorphes à singularités irrégulières. La construction explicite d’une telle quantification reste une question ouverte.
Dans la première partie de cet exposé on rappellera les étapes principales de cette histoire.
Dans la seconde partie on décrira deux extensions dans les directions des deux questions ouvertes mentionnées ci-dessus :
1) la construction explicite de la connexion de Hitchin pour la quantification géométrique d’un espace de module de connexion holomorphes sur le tore ;
2) la quantification par déformation d’une connexion d’isomonodromie pour connexions méromorphes à singularités irrégulières sur la sphère.

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Mercredi 16 janvier 14:00-17:00 Philip Boalch  (Orsay)
Variétés symplectiques de caractères sauvages tordus et théorie topologique des champs

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : A la fin des années 1970, on a décrit l’espace des connexions méromorphes sur une surface de Riemann de plusieurs manières par des méthodes topologiques (après l’approche de Birkhoff en 1913 pour les connexions génériques). Dans cet exposé je vais décrire une approche dans l’esprit de la théorie topologique des champs des structures symplectiques sur les espaces de modules de ces données, les variétés de caractères sauvages.
Cette approche (algébrique) étend l’approche q-Hamiltonienne d’Alekseev et al au cas moderé. Une nouveauté clé dans le cas sauvage est que le bord peut être « éclaté » en plusieurs composantes le long d’une singularité irrégulière ce qui donne une nouvelle opération de « fission »). La dernière étape (le cas tordu) résulte d’un travail en commun avec D. Yamakawa (arXiv:1512.08091). Ces variétés généralisent les variétés usuelles de caractères (espaces de modules de systèmes locaux, ou représentations du pi_1), et en partagent certaines propriétés, comme les actions algébriques symplectiques de groupes de tresse. En particulier je vais expliquer le lien entre l’approche de Deligne-Malgrange (filtrations de Stokes), et le notion de système local de Stokes (plus proche de l’approche de Stokes et Birkhoff, et du pi_1 sauvage de Ramis). Les deux approches sont intrinsèques, mais je préfère cette dernière approche (même s’il faut ajouter des « ponctions tangentielles ») parce qu’elle donne facilement une présentation explicite de la variété de caractères sauvages.

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Mercredi 9 janvier 14:00-17:00 Joël Merker  (Orsay)
Degrés de Green-Griffiths et de Kobayashi pour les sous-variétés de l’espace projectif

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Résumé : La première partie de l’exposé sera consacrée
à dresser un panorama élagué et accessible
des multiples techniques actuelles
qui ont récemment permis d’établir
l’hyperbolicité forte ou faible, au sens de Kobayashi,
des hypersurfaces n-dimensionnelles génériques
de l’espace projectif complexe.
La seconde période aura pour objet la présentation
d’un calcul d’intersection qui fait baisser
de n puissance 2n à constante puissance n
la meilleure borne existante sur leurs degrés.

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