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Lundi 18 septembre 14:00-15:00 Amaury Lambert (UPMC et Collège de France)
Arbres ultramétriques et applications

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Lieu : Bât. 425, Petit Amphi

Résumé : Les arbres ultramétriques sont les arbres dont les feuilles se trouvent
toutes à la même distance de la racine. Ilssontutilisés pour modéliser
la généalogie d’une population de particules coexistant au même instant.
Nousmontrerons comment la frontière d’un arbre ultramétrique, comme
n’importe quel espace ultramétrique compact, peut être représentéede
façon simple via la métrique dite du peigne. Nous donnerons plusieurs
exemples de peignes aléatoires etexpliquerons de quelle manière ils
peuvent être utilisés dans les applications. En particulier, nous
examinerons certains résultatsconcernant la structure génétique de la
population en présence de mutations poissonniennes neutres sur le
squelette del’arbre.

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Lundi 19 juin 16:00-17:00 Stéphanie Allassonnière (Université Paris Descartes)
Mixed-effect model for the spatiotemporal analysis of longitudinal manifold-valued data
(exposé en français)

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Lieu : Bât. 425, Petit Amphi

Résumé : In this talk, I propose to present a generic hierarchical spatiotemporal model for longitudinal manifold-valued data, which consist in repeated measurements over time for a group of individuals. This model allows us to estimate a group-average trajectory of progression, considered as a geodesic of a given Riemannian manifold. Individual trajectories of progression are obtained as random variations, which consist in parallel shifting and time reparametrization, of the average trajectory. These spatiotemporal transformations allow us to characterize changes in the direction and in the pace at which trajectories are followed. We propose to estimate the parameters of the model using a stochastic version of the expectation-maximization (EM) algorithm, the Monte Carlo Markov Chain Stochastic Approximation EM (MCMC SAEM) algorithm.
This generic spatiotemporal model is used to analyze the temporal progression of a family of biomarkers. This progression model estimates a normative scenario of the progressive impairments of several cognitive functions, considered here as biomarkers, during the course of Alzheimer’s disease. The estimated average trajectory provides a normative scenario of disease progression. Random effects provide unique insights into the variations in the ordering and timing of the succession of cognitive impairments across different individuals.

Mixed-effect model for the spatiotemporal analysis of longitudinal manifold-valued data
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Lundi 3 avril 16:00-17:00 Bachir Bekka (Université de Rennes 1)
Actions de groupes par isométries affines et algèbres de von Neumann

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Lieu : Bât. 425, Petit Amphi

Résumé : Des classes importantes de groupes localement compacts peuvent être caractérisés par leur actions par isométries sur des espaces de Hilbert (groupes avec la propriété de Kazhdan, groupes a-T-menables ou groupes avec la propriété de Haagerup). Ces actions sont décrites par des groupes de cohomologie à valeurs dans des représentations unitaires du groupe en question.
Pour une représentation donnée, cet espace de cohomologie (réduite) possède une structure d’espace de Hilbert qui en fait un module sur une l’algèbre de von Neumann
appropriée, donnant ainsi lieu à une notion de dimension de von Neumann pour cet espace de cohomologie. Dans le cas de la représentation régulière, cette dimension est le 1er nombre de Betti L2 du groupe. Nous donnerons un aperçu de ces notions. En particulier, nous montrerons comment traduire en termes de dimension de von Neumann l’irréductibilité des actions d’un groupe par isométries affines.

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Lundi 20 mars 16:00-17:00 Sorin Popa (University of California, Los Angeles)
Structure and randomness in II_1 factors

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Lieu : Bât. 425, petit amphi

Résumé : II_1 factors are non-commutative versions of the function algebra L^\infty([0,1]),
the way matrix algebras M_{n\times n}(\mathbf C) are analogue to finite spaces. They arise as infinite tensor products and ultra products of matrix algebras, but also from groups \Gamma and their actions on probability spaces \Gamma \curvearrowright X. A key analysis tool to study II_1 factors in terms of their building data is \it deformation-rigidity theory. It fits within the fundamental dichotomy \it structure versus randomness, which appeared in many areas of mathematics in recent years. I will comment on this technique and present several classification results obtained this way, showing for instance that factors arising from Bernoulli actions of property (T) groups \Gamma \curvearrowright X ``remember’’ both the group and the action, and that free ergodic actions of the free groups \mathbf F_n remember the rank n.

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Lundi 27 février 16:00-17:00 Nikolay Tzvetkov (Université de Cergy-Pontoise)
Rigidité des lois de conservation pour l’équation de Schrödinger non linéaire

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Résumé : L’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (NLS) est un exemple important d’un système Hamiltonien de dimension infinie. Elle a été beaucoup étudiée dans les 50 dernières années. Il s’est avéré qu’un nombre important de domaines mathématiques se sont montrés utiles dans l’analyse de ses solutions : l’analyse de Fourier (en particulier la méthode du cercle de la théorie des nombres), l’analyse complexe (en particulier la théorie des surfaces de Riemann), la théorie spectrale directe et inverse, la théorie des probabilités, le calcul des variations, les systèmes dynamiques ... Il est impossible dans un exposé d’une heure de donner un aperçu sur l’ensemble de ces développements.
Nous allons donc plutôt donner une introduction élémentaire à un résultat récent en collaboration avec Benoit Pausader (Université de Brown, USA) mettant en évidence une propriété surprenante concernant les lois de conservation de cette equation.
La structure Hamitonienne de NLS donne une borne a priori sur les normes de Sobolev $H^1$ des solutions. Une autre invariance donne aussi une borne a priori sur la norme $L^2$ des solutions. La question alors est : a-t-on des bornes a priori sur les autres normes de Sobolev $H^s$ pour $s$ différent de $0$ et $1$ ? Cette question a été popularisée en particulier par J. Bourgain dans les années 1990 et semble liée au phénomène de « turbulence faible ».
En dimension $1$, il est connu depuis les travaux de Zakharov-Shabat que NLS peut s’écrire sous la forme de Lax. Par conséquent on obtient que les normes de Sobolev de chaque solution restent bornées.
Nous allons annoncer un résultat qui montre qu’en dimension trois nous pouvons bien construire des solutions de l’équation de Schrödinger non linéaire qui ne sont pas bornées dans $H^s$, pour $s>1$ et même pour certains $s\in (0,1)$. Cela montre une rigidité remarquable des lois de conservation pour NLS. Ces solutions sont périodiques par rapport à deux des variables et localisées par rapport à la troisième variable. Ce résultat est basé sur une combinaison subtile d’un phénomène de type diffusion d’Arnold et un résultat de diffusion modifiée à valeurs vectorielles.
Au début de l’exposé nous allons présenter quelques résultats basiques, élémentaires mais fondamentaux concernant l’équation de Schrödinger linéaire périodique et sur la droite. Ensuite, nous allons discuter le problème sans dispersion. Ensuite, nous allons présenter les conséquences du travail de Zakharov-Shabat. Dans la deuxième partie de l’exposé, nous allons d’abord montrer comment on peut se ramener à l’étude d’un problème simplifié prenant en compte uniquement la partie « résonnante » de la non linéarité. Finalement, nous allons montrer quelques aspects de l’étude de ce problème simplifié.

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Lundi 9 janvier 16:00-17:00 Francis Bach (INRIA)
Liens entre statistique et optimisation stochastique

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Résumé : Dans cet exposé, je présenterai comment les algorithmes d’optimisation stochastique permettent d’obtenir des bornes de généralisation statistique très simples tout en fournissant des algorithmes efficaces pour les problèmes d’apprentissage à grande échelle.

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Lundi 5 décembre 2016 16:00-17:00 Yves André (Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche)
De l’impossibilité de calculer algébriquement la position d’une planète à temps donné (Newton) à la structure générale des relations de périodes (Ayoub)

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Résumé : Le lemme XXVIII des Principia de Newton (1687) énonce l’impossibilité de calculer algébriquement l’aire d’une section d’ovale en termes des paramètres de la droite sécante. Ce lemme, dont la validité (ou son ingénieuse démonstration) a été débattue trois siècles durant, est à l’origine d’une vaste réflexion sur la transcendance des volumes de solides algébriquement définis, et plus généralement sur la nature des relations algébriques entre tels volumes.
Pour des solides dépendant algébriquement d’un paramètre, un théorème de structure général, d’énoncé simple, a finalement été trouvé par J. Ayoub (2015).

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Lundi 21 novembre 2016 16:00-17:00 Alice Guionnet (ENS de Lyon)
Probabilités libres, matrices aléatoires et fonctions de transport

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Résumé : Les probabilités libres ont été introduites par D. Voiculescu comme une théorie de probabilités pour des variables non-commutatives, où la notion d’indépendance est remplacée par la notion de liberté. Une question centrale en probabilités libres est de comprendre quand deux algèbres sont isomorphes, ce qui s’interprete comme l’existence de fonctions de transport entre deux probabilités non-commutatives. Nous montrerons comment étendre des idées classiques remontant à Monge et Ampere pour résoudre certaines de ces questions. Les probabilites libres sont aussi le cadre naturel pour étudier de grandes matrices aléatoires dans la limite où leur taille tend vers l’infini. Nous verrons comment pousser les idées précédentes pour construire des fonctions de transport dans ce cadre et en déduire l’universalité des fluctuations locales des valeurs propres de ces matrices aléatoires. Ce colloquium se veut accessible à tous, et est basé sur des travaux joints avec F. Bekerman, Y. Dabrowski, A. Figalli et D. Shlyakhtenko.

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