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Jeudi 4 avril 14:00-15:00 Sandrine Grellier  (Université d'Orléans)
Equation de Szego faiblement amortie

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : L’équation de Szego cubique, introduite il y a une dizaine d’années comme exemple d’équation d’évolution sans dispersion, présente des phénomènes de cascades vers les hautes et les basses fréquences. Ce phénomène, que l’on peut qualifier de turbulence, est particulièrement extraordinaire pour un système pour lequel on a établi la complète intégrabilité.
Précisément, on a montré que, pour une donnée initiale u_0 dans un ensemble dense de \mathcal C^\infty, les solutions de Szego correspondantes Z(t)u_0 sont telles que, dans tous les espaces de Sobolev H^s, s>1/2, pour tout M\in\mathbb{R},

\limsup_{t\to \infty} \frac{| Z(t)u_0|_{H^s}}{t^M}=+\infty,\ \liminf_{t\to \infty} | Z(t)u_0|<\infty.

Cependant, on sait que cet ensemble dense de données initiales est d’intérieur vide !
On poursuit notre étude en introduisant un terme d’amortissement dans l’équation de Szego portant sur la plus basse fréquence et on montre que cela favorise l’existence de solutions non bornées. On démontre notamment que, pour tout s>1/2, il existe un ouvert non vide de données initiales dans H^s qui mènent à des solutions dont la norme H^s tend vers l’infini à l’infini.
Il s’agit de travaux en collaboration avec Patrick Gérard.

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Jeudi 28 mars 14:00-15:00 Gael Raoul  (CNRS, CMAP)
Modèles d’EDP pour l’écologie : populations structurées et modèles de diffusion.

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Lieu : IMO, 3L8

Résumé : Le modèle de Kirkpatrick et Barton a été introduit en 1997 pour décrire la dynamique d’une population soumise à une sélection hétérogène en espace. Ce modèle, qui intègre de nombreux effets écologiques, est très utilisé par les biologistes théoriciens pour étudier par exemple l’effet du changement climatique. Pour élargir sont domaine d’application, il est important de le relier à d’autres modèles correspondants à des niveaux de modélisation différents (à l’échelle de l’individu ou du continent, par exemple).
Le modèle de Kirkpatrick et Barton se présente comme un système de deux équations de réaction-diffusion couplées, décrivant respectivement la taille de la population et son trait phénotypique moyen. Je décrirai dans son exposé comment il peut être relié à un modèle de population structurée se présentant sous la forme d’une équation cinétique avec un opérateur de diffusion en espace. Cette problématique est aussi une occasion de faire interagir limites macroscopiques de modèles et propriétés dynamiques (fronts de propagation, etc).

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Jeudi 21 mars 14:00-15:00 Emmanuel Trélat  (Sorbonne Université)
La propriété de turnpike

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : La propriété de turnpike a été découverte dans les années 50 par le prix Nobel Samuelson en économétrie. Elle stipule que la trajectoire optimale d’un problème de contrôle optimal en temps long reste essentiellement proche d’un état stationnaire, lui-même solution d’un problème de contrôle optimal statique associé.
Nous avons établi la propriété de turnpike dans un cadre très général en contrôle optimal non linéaire en dimension finie et infinie, montrant que la trajectoire optimale est, à part au début et à la fin de l’intervalle de temps, exponentiellement proche d’un état stationnaire (optimal), et que cette propriété est également vraie pour le contrôle et pour le vecteur adjoint obtenus par le principe du maximum de Pontryagin. Nous montrons que la propriété de turnpike exponentiel est due à un phénomène d’hyperbolicité qui est intrinsèque au caractère symplectique des équations extrémales. Nous en déduisons une méthode simple et efficace pour le calcul numérique des trajectoires optimales dans ce cadre, notamment une variante appropriée de la méthode de tir.
La propriété de turnpike s’avère être universelle et l’ensemble de turnpike peut être plus général qu’un simple état stationnaire, comme par exemple une trajectoire périodique. Nous montrons aussi la propriété de turnpike de forme pour des modèles EDP dans lesquels un sous-domaine évolue en temps selon un critère d’optimisation.
Ces travaux sont en collaboration avec Gontran Lance, Can Zhang et Enrique Zuazua.

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