Prochainement

Mardi 15 mai 14:00-15:00 Louis Ioos (IMJ-PRG)
Asymptotiques des états isotropes en quantification holomorphe

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : Une quantification est un procédé qui à partir d’un système classique, ici une variété symplectique, fournit les espaces d’états quantiques correspondants. En quantification géométrique réelle, les états quantiques sont représentés par certaines sous-variétés isotropes, tandis qu’en quantification holomorphe d’une variété kählérienne, les états quantiques sont les sections holomorphes d’un fibré en droites positif. Dans cet exposé, je ferai le lien entre ces deux contextes en donnant une définition naturelle pour ces états isotropes comme sections holomorphes via le noyau de Bergman, et étudierai leur comportement semi-classique, lorsque la puissance tensorielle du fibré en droite tend vers l’infini.

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Mardi 22 mai 14:00-15:00 Ilaria Mondello (LAMA (Créteil))
Bornes de courbure de Ricci synthétiques : nouveaux exemples géométriques

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : Des variétés singulières apparaissent naturellement en géométrie quand on considère des quotients de variétés lisses, leurs limites de Gromov-Hausdorff ou des flots géométriques. Un question importante dans l’étude de ces variétés singulières consiste à définir des notions de courbure, et de bornes de courbure, pertinentes. Les travaux de Lott-Sturm-Villani et Ambrosio-Gigli-Savaré ont montré qu’on peut définir une condition de courbure-dimension sur des espaces métriques mesurés, qui correspond à une borne inférieure sur le tenseur de Ricci dans le cas des variétés lisses. Si certaines constructions sur les variétés (quotients, cônes, suspensions sphériques…) donnent des exemples d’espaces qui satisfont cette condition de courbure-dimension, il n’existe pas de critère pour établir si une variété avec des singularités très simples possède une borne synthétique sur la courbure de Ricci. Dans cet exposé nous présentons un critère géométrique pour établir si un espace stratifié satisfait le condition de courbure-dimension : cela donne une ample classe de nouveaux exemples, qui inclut entre autres les variétés à singularités coniques.
Cet exposé se base sur un travail en commun avec C. Ketterer, J. Bertrand et T. Richard.

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Passés

Mardi 17 avril 14:00-15:00 Aline Bonami  (Université d'Orléans)
Spectre de certaines discrétisations aléatoires d’une matrice de Fourier

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : Nous nous intéresserons aux matrices n\times n dont les coefficients sont \exp(2i\pi m X_jY_k), où X_j et Y_k, j,k=1,\cdots, n, sont i.i.d de loi uniforme sur [-1/2, +1/2]. Ces matrices ont été proposées comme modèle approché dans l’étude de certains réseaux de télécommunication sans fil. Nous montrerons que, lorsque m et n sont grands et m\ll n, la suite des valeurs singulières d’une telle matrice est proche de la suite des valeurs singulières de la transformée de Fourier finie, de noyau \exp (2i\pi m xy) sur (-1/2, +1/2), ceci avec une grande probabilité. Nous serons amenés à préciser les propriétés du spectre de l’opérateur de noyau \frac{\sin m\pi (x-y)}{\pi (x-y)} sur L^2(-1/2, +1/2), ainsi que les théorèmes qui permettent de comparer le spectre des matrices de Gram de coefficients \kappa(Y_j, Y_k) avec l’opérateur ayant pour noyau la fonction définie positive \kappa (x, y).

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Mardi 10 avril 14:00 Thomas Letendre  (Institut Camille Jordan et ENS Lyon)
Volume de sous-variétés algébriques réelles aléatoires

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : Dans cet exposé, on s’intéressera à un modèle de sous-variétés algébriques réelles aléatoires dans une variété projective. Dans le cas où l’espace ambiant est la sphère, ces sous-variétés sont obtenues comme lieux d’annulation de polynômes aléatoires homogènes de degré d. Quand d augmente, ces objets deviennent de plus en plus complexes géométriquement. Je présenterai deux résultats qui donnent les asymptotiques de l’espérance et de la variance du volume de ces sous-variétés lorsque d tend vers l’infini. On discutera également de la répartition de ce volume dans l’espace ambiant. De façon surprenante, dans le cas général ces résultats découlent d’estimations sur les noyaux de Bergman de certains fibrés vectoriels. Les idées essentielles seront présentées dans le cas des zéros de polynômes sur la sphère. Il s’agit d’un travail en commun avec Martin Puchol.

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Mardi 3 avril 14:00-15:00 Andras Vasy  (Stanford)
Boundary rigidity and the local inverse problem for the geodesic X-ray transform on tensors

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Résumé : In this talk, based on joint work with Plamen Stefanov and Gunther Uhlmann, I discuss the boundary rigidity problem on manifolds with boundary (for instance, a domain in Euclidean space with a perturbed metric), i.e. determining a Riemannian metric from the restriction of its distance function to the boundary. This corresponds to travel time tomography, i.e. finding the Riemannian metric from the time it takes for solutions of the corresponding wave equation to travel between boundary points.
This non-linear problem in turn builds on the geodesic X-ray transform on such a Riemannian manifold with boundary. The geodesic X-ray transform on functions associates to a function its integral along geodesic curves, so for instance in domains in Euclidean space along straight lines. The X-ray transform on symmetric tensors is similar, but one integrates the tensor contracted with the tangent vector of the geodesics. I will explain how, under a convexity assumption on the boundary, one can invert the local geodesic X-ray transform on functions, i.e. determine the function from its X-ray transform, in a stable manner. I will also explain how the analogous result can be achieved on one forms and 2-tensors up to the natural obstacle, namely potential tensors (forms which are differentials of functions vanishing at the boundary, respectively tensors which are symmetric gradients of one-forms vanishing at the boundary).
Here the local transform means that one would like to recover a function (or tensor) in a suitable neighborhood of a point on the boundary of the manifold given its integral along geodesic segments that stay in this neighborhood (i.e. with both endpoints on the boundary of the manifold). Our method relies on microlocal analysis, in a form that was introduced by Melrose.

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Mardi 27 mars 15:30-16:30 Yehuda Pinchover  (Technion (Haifa))
Optimal Hardy-type inequalities on manifolds and graphs

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Résumé : The talk is devoted to the study of sharp Hardy-type inequalities with ’as large as possible’ weights for general subcritical Schrödinger-type operators defined either on noncompact manifolds or on weighted graphs. Our approach is based on the theory of positive solutions, and the constructed Hardy-weights are given by an explicit simple formula involving two positive solutions of the corresponding homogeneous equation.

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Mardi 27 mars 14:00-15:00 Michael Goldman  (Laboratoire J.-L. Lions)
Un modèle de type Ginzburg-Landau couplant vortex ponctuels et lignes de discontinuités

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : Je présenterai un résultat obtenu en collaboration avec B. Merlet et V. Millot sur le comportement asymptotique des minimiseurs d’une fonctionnelle mêlant certains aspects des fonctionnelles de Ginzburg-Landau et de Mumford-Shah. Je montrerais comment dans le régime de faible énergie, des défauts de type vortex fractionnaires reliés par des lignes de discontinuités apparaissent. Nous verrons que ces dernières sont les solutions d’un problème de type Steiner.

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Mardi 20 mars 14:00-15:00 Andrei Moroianu  (LMO)
Métriques conformes à holonomie spéciale

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : Dans cet exposé j’expliquerai la classification (à revêtement fini près) des variétés riemanniennes compactes (M^n,g) à holonomie spéciale (c’est-à-dire dont le groupe restreint d’holonomie est strictement contenu dans SO_n), qui admettent une deuxième métrique à holonomie spéciale dans la classe conforme de g qui n’est pas homothétique à g. La classification fait intervenir des résultats antérieurs sur les métriques ambikähler, les variétés localement conformément kählériennes et les formes de Killing conformes que j’ai obtenus en collaboration avec U. Semmelmann, F. Belgun, M. Pilca et F. Madani.

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Mardi 13 mars 14:00-15:00 Jean-François Babadjian  (LMO)
Sur la validité de la loi d’écoulement en plasticité parfaite

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : Le modèle de plasticité parfaite est un modèle de mécanique du solide sous contrainte convexe. D’un point de vue variationnel, il engendre la minimisation d’une fonctionnelle intégrale à croissance linéaire par rapport au tenseur des déformations linéarisées. Le problème est alors formulé dans l’espace BD des champs de vecteurs intégrables dont le gradient symétrisé est une mesure. Ce cadre énergétique relativement faible rend alors délicate la formulation de la loi d’écoulement, correspondant à la condition d’optimalité d’ordre 1 associée à la contrainte convexe. Dans cet exposé, je présenterai plusieurs façons de donner un sens à cette loi d’écoulement (bilan d’énergie, formulation au sens de la théorie de la mesure, ou formulation ponctuelle à l’aide d’arguments capacitaires).

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