Résumé :
Pour des systèmes hyperboliques en mesure finie, les propriétés asymptotiques
des sommes de Birkhoff sont bien comprises ; on dispose, suivant les systèmes
étudiés, du théorème de Birkhoff, de théorèmes centraux limites, et d'une
palette de résultats plus forts. Pour des systèmes récurrents nuls, la
situation est nettement moins bien connue, et un grand nombre de cas
pathologiques sont possibles. J'exposerai l'équivalent du théorème central
limite pour une certaine classe de systèmes dynamiques, ceux qui induisent une
transformation Gibbs-Markov. Cette classe de systèmes symboliques est assez
restrictive, mais recouvre un certain nombre de situations intéressantes,
telles que des transformations non-uniformément hyperboliques
(Pomeau-Manneville), mais aussi divers types de "marches aléatoires", sur
lesquelles j'insisterai.
Résumé:
(Ce travail est en commun avec Sergio Fenley)
Les flots d'Anosov
alignables en dimension 3 (R-covered Anosov flows en anglais) sont des
flots d'Anosov tels que l'espace des feuilles de leurs feuilletages faibles
sont homéomorphe à la droite réelle. Les flots géodésiques de métrique à
courbure strictement négative vérifient cette condition, mais il y a une
multitude d'autres exemples et sur des variétés bien différentes, y compris
des variétés hyperboliques.
Sergio Fenley prouva que, lorsque la variété est atoroidale, chaque orbite
périodique de ces flots d'Anosov est librement homotope à une infinité
d'autres. Ces orbites forment donc une famille de noeuds dans une 3-variété
et nous avons étudié la question de savoir si, et quand, ces noeuds
pouvaient être différents.
Je présenterai les flots d'Anosov alignables et leur structure d'un point
de vue topologique, afin de comprendre quelles orbites peuvent être homotopes
ou isotopes. Lorsque la variété est atoroidale, on obtient aussi un résultat
un peu plus fin (quand peut-on avoir un cylindre plongé entre deux orbites
isotopes ?), grace à un autre flot (pseudo-Anosov) provenant de la géométrie
du feuilletage faible.
Résumé :
Après une introduction sur le thème des attracteurs et des
ensembles attractifs, nous verrons un cadre conceptuellement simple pour
obtenir des ensembles attractifs non-algébriques. En ajoutant une condition
de dimension, ces ensembles supportent un courant positif fermé à
potentiel borné (ce qui répond à une question de T.C. Dinh). Ils sont
donc non pluripolaires. Nous finirons avec une classe d'exemples de
P2 qui rentrent dans ce cadre.
Abstract:
Let D- and D+ be properly immersed closed convex
subsets of a Riemannian manifold with pinched negative sectional
curvature. Using mixing properties of Gibbs measures, we give an
asymptotic formula as $t\ra+\infty$ for the number of common
perpendiculars of length at most t from D- to D+,
counted
with multiplicities and weights, and we prove the equidistribution
in the outer and inner unit normal bundles of D- and
D+ of the
tangent vectors at the endpoints of the common perpendiculars. When
the manifold is compact with exponential decay of correlations or
arithmetic with finite volume, we give an error term for the
asymptotic. We give an asymptotic formula for the number of
connected components of the domain of discontinuity of Kleinian
groups as their diameter goes to 0. This is joint work with Frédéric
Paulin.
Résumé :
Morbidelli et Giorgilli ont montré un résultat de stabilité
en temps superexponentiellement long si l'on considère
un système hamiltonien possédant un tore invariant non résonant avec
une torsion de signe définie (ce qui correspond à de
la convexité). Plus précisément, les solutions du système varient peu
sur des temps superexponentiels longs par rapport à
l'inverse de la distance au tore invariant.
On montre ici qu'une telle propriété de stabilité superexponentielle est génériquement vérifiée au voisinage d'un point fixe elliptique dans un système hamiltonien.
Suivant la stratégie de Morbidelli Giorgilli dans le cas convexe, la preuve comporte deux étapes : la construction d'une forme normale de Birkhoff à un degré élevé puis l'application de la théorie de Nekhoroshev.
Bounemoura a montré que la deuxième étape de cette construction reste possible si la forme normale de Birkhoff associée au tore invariant appartient à un ensemble générique parmi les séries formelles. Ceci ne suffit pas pour démontrer ce type de résultat de stabilité superexponentielle dans un cadre général. Il faut aussi établir que la plupart des points fixes elliptiques non résonants admettent une forme normale de Birkhoff dans l'ensemble introduit par Bounemoura. On montre ici que cette propriété est vérifié génériquement au sens de la mesure (prévalence) grâce à des méthodes similaires à celles développées dans des articles de Kaloshin-Hunt et Kaloshin-Gorodetski.
Résumé :
Nous cherchons les métriques sur le tore T2 qui sont de
"complexité minimale". Dans cet exposé, nous nous intéressons à la
complexité "dynamique" des métriques, c'est-à-dire l'entropie (dans un
sens convenable) du flot géodésique qui leur est associé.
Nous montrons d'abord que l'entropie usuelle (topologique) peut
s'annuler pour des systèmes géodésiques de complexités a priori non
équivalentes sur T2 : par exemple les tores plats et les tores de
révolution.
Nous utilisons donc un outil plus fin - l'entropie polynomiale - pour
détecter les métriques de complexité minimale. Nous conjecturons que
celles-ci sont exactement les métriques plates. Dans ce sens, nous
montrerons qu'elles minimisent l'entropie polynomiale puis que, parmi
les systèmes géodésiques sur T2 qui sont Bott-intégrables avec
une condition de cohérence dynamique supplémentaire, les métriques
plates sont des minimums stricts locaux de l'entropie polynomiale.
Résumé:
On introduit le spectre de Lagrange d'un lieu fermé et
SL(2,R)-invariant d'une strate de surfaces de translation, ce qui
généralise le spectre de Lagrange classique. D'autres généralisations du
spectre classique existent dans la littérature, liées aux flots
géodésiques en courbure négative et satisfaisant certaines propriétés
de base : l'existence d'un Rayon de Hall, la clôture du spectre et la
densité des valeurs correspondant aux géodésiques fermées. On
s'intéresse à ces propriétés pour le flot de Teichmüller et on prouve
deux formules qui donnent les valeurs du spectre en terme de deux
processus de fraction continue. Le premier est la fraction continue
pour les surfaces à petits carreaux, qui permet de donner des
estimations pour le rayon de Hall, le deuxième est l'induction de
Rauzy-Veech, qui s'applique aux strates de surfaces de translation, et
dans une certaine mesure aussi aux autres lieux invariants. Travail en
commun avec Corinna Ulcigrai et Pascal Hubert.
Résumé :
Intuitivement, le processus de Poisson sur un espace
(X,µ) (où µ est une mesure infinie) est l'objet probabiliste auquel on
aboutit quand on essaye de construire un système de particules
réparties uniformément selon µ dans l'espace X et indépendantes entre
elles. Notons l'espace (X*,µ*) de probabilité
associé. Supposons maintenant que T soit une transformation de X
préservant µ, alors la transformation T* du processus de
Poisson qui consiste à déplacer chaque particule selon T préserve la
loi µ* du processus. Avec une telle transformation, le
système prend le nom de suspension de Poisson ayant pour base le
système (X,µ,T). Ainsi cette construction associe de manière
"canonique" un système en mesure infinie (X,µ,T), à un système
probabiliste, (X*,µ*,T*), c'est une
manière de plonger la théorie ergodique en mesure infinie dans la
théorie ergodique en mesure finie. L'objet de ces deux exposés sera
d'illustrer ce phénomène mais aussi de montrer la variété des
comportements ergodiques que peuvent exhiber les suspensions de
Poisson.
Résumé :
Nous considérons un difféomorphisme partiellement hyperbolique f sur
une variété compacte, c'est-à-dire que l'espace tangent se décompose
en trois sous-espaces invariants non triviaux, les espaces stable,
instable et central, tels que les vecteurs dans la direction stable
sont contractés par df, les vecteurs dans la direction instable sont
dilatés et les vecteurs dans la direction centrale sont contractés
et/ou dilatés de manière plus faible. Sous l'hypothèse de feuilletage
invariant uniformément compact tangent au sous-espace central, on peut
considérer l'espace quotient de ce feuilletage (en identifiant les
points de la même feuille) et la dynamique induite par f sur cet
espace. On récupère certaines propriétés hyperboliques telles que le
lemme de pistage (Shadowing Lemma) et la densité des points
périodiques dans l'ensemble non errant. Sous certaines conditions, la
dynamique est même conjuguée à un automorphisme hyperbolique du
tore. Mais nous soulignons également les possibles différences
pathologiques.
Résumé :
Nous étudions les bornes inférieures et supérieures de la
dimension de Hausdorff de continua (dans des espaces euclidiens) qui sont
ondulés à des échelles de densité positive. L'ingrédient technique important
est une construction de type corona d'une mesure de probabilité avec une
décroissance superlinéaire. La théorie des continua ondulés en moyenne
conduit à de nouvelles estimations géométriques de la dimension de Hausdorff
des ensembles compacts. Nous allons également discuter des applications de
la théorie dans la dynamique complexe.
Travail commun avec Jacek Graczyk et Peter Jones.
Résumé :
Nous construisons un difféomorphisme lisse, ergodique et
non-Loosely Bernoulli sur l'anneau [0,1] x T. Pour cela, nous
modifions une construction de Feldman (1976) et appliquons une version
modifiée de la méthode d'Anosov-Katok (1969). Cette construction était
annoncée par Katok depuis 1977.
Résumé :
Au cours de se séminaire, nous essaierons d'apporter des pistes de réponse
à la question (certes vague) suivante : peut-on lire la dynamique d'un
homéomorphisme conservatif sur des simulations numériques ? La première partie du
séminaire sera consacrée à la définition d'un cadre d'étude qui nous a
semblé raisonnable pour aborder la question : la discrétisation est une
projection sur une grille, on regarde les discrétisations d'homéomorphismes
conservatifs génériques. Au cours de l'étude des propriétés de telles
discrétisations, on se basera principalement sur le théorème de Lax, qui
permet d'approcher tout homéomorphisme conservatif par une permutation. La fin de
l'exposé sera agrémentée de quelques simulations numériques (travail sous
la direction de François Béguin).
Abstract:
We consider free semigroup actions on an interval.
It is known that, if those two maps are sufficiently C2-close to the
identity,
then there is a restriction on the shape of the (forward) minimal set.
Namely, it must be the whole interval.
(This statement is not accurate. I will give the precise statement in
my talk.)
In this talk, I will explain that similar argument fails under
C1-topology.
Abstract:
Let O={non-degenerate, indefinite, real quadratic forms in
3-variables}. For every quadratic form Q in the set O, we define
the Markov infimum m(Q)=inf{|Q(v)|^3/|det Q|: v is a non-zero
integral vector in R^3}. The set M={m(Q): Q is in O} is called
the 3-dimensional Markov spectrum. An early result of
Cassels-Swinnerton-Dyer combined with Margulis' proof of the Oppenheim
conjecture asserts that, $M \intersect (a, \infty)$ is a finite set
for every a>0. In this talk we will show that when a>0 is
sufficiently small, the cardinality of the set $M \intersect (a,
\infty)$ is bounded above by a^{-26}. This is a joint work with
Prof. Margulis. Our method involves homogeneous dynamics, the geometry
of numbers and automorphic representations.
Abstract:
We will consider partially hyperbolic diffeomorphisms with
one dimensional center that are isotopic to Anosov. If the isotopy is
through a path of partially hyperbolic diffeos we prove that there
exists a unique measure of maximal entropy.
Abstract:
Let S be a mixing shift of finite type and let Wn(S) be its set of
words of length n. Define a random subset E of Wn(S) by choosing
words from Wn(S) (independently, with some probability alpha).
Let T be the SFT built from the set E. As n tends to infinity, what can be
said about the likely properties of T as a function of alpha?
We can give answers with regard to the emptiness and entropy of T.Also,
for alpha near 1, the likelihood that T has a unique irreducible component
of positive entropy converges exponentially to 1 as n tends to infinity.
Résumé :
Je vais raconter l'algorithme de Thurston reliant ces deux problèmes,
quelques résultats classiques ainsi que des problèmes ouverts. L'exposé
devrait être accessible à tous.
Résumé:
C'est un fait classique que pour un espace métrique X de dimension
d, le plus petit n qui garantisse le plongement dans [0,1]^n est
n=2d+1. Un problème analogue pour la catégorie des systèmes
dynamiques, est de trouver les conditions on peut garantir qu'un
système dynamique topologique métrique (X,T) se plonge dans
([0,1]^n)^{Z,shift}. Le plongement est induit par n
fonctions réelles continues sur X. On peut penser à cette
question comme un analogue dynamique topologique du Théorème du
Générateur de Krieger. Un théorème de Jaworski dit que si
(X,T) est apériodique et si X est de dimension finie alors n=1
suffit.
Je discuterai de quelques généralisations de ce théorème au cas de la dimension infinie et j'expliquerai le lien avec le Théorème de la Tour Topologique de Bonatti-Crovisier.
Résumé :
Shishikura a montré que la frontière de Mandelbrot est de dimension de
Hausdorff 2. Tan Lei a généralisé ce résultat entre autres au lieu
de bifurcation de la famille Rat_d de toutes les fractions
rationnelles de degré d en montrant que sa dimension de Hausdorff est
maximale, i.e. 2(2d+1). Dans Rat_d, il existe un courant dont le
support est le siège de bifurcations "maximales". Nous montrons que le
support de ce courant est de dimension de Hausdorff totale. On en
déduit que l'adhérence de l'ensemble des fractions rationnelles de
degré d possédant 2d-2 cycles neutres distincts est aussi de
dimension de Hausdorff totale.
Résumé :
Je présenterai un travail en collaboration avec Francois Maucourant.
Si Gamma est un sous-groupe de type fini de SL(2,R),
j'expliquerai comment un résultat d'équidistribution du flot
horocyclique sur Gamma \ SL(2,R) permet de comprendre le
comportement asymptotique des orbites de agissant linéairement sur le
plan R2.
Résumé :
Cet exposé introductif aura pour objet un théorème de Giordano, Matui,
Putnam et Skau qui classifie (du point de vue de l'équivalence orbitale
topologique) les actions libres et minimales de groupes commutatifs
finiment engendrés sur des Cantor.
La démonstration de ce théorème repose en partie sur le calcul de la
K-théorie de certaines C*-algèbres associées à des groupoïdes étales
(actions de groupes sur des Cantor, groupoïdes AF).
Des notes de cours de Ian Putman sur le sujet : [Orbit equivalence of Cantor minimal systems]
Abstract:
A diffeomorphism is non-wandering if the non-wandering
set coincides with the ambient manifold. We show that any
3-dimensional, non-wandering, partially hyperbolic diffeomorphism with
1-D center direction has a
critical element, i.e. the diffeomorphism has either a periodic point,
or a compact periodic center leaf. A similar result holds for higher
dimensional diffeomorphism providing the unique integration of the
center bundle.
Résumé :
Il est possible d'associer à un groupe, une action de groupe ou, plus
généralement, à un groupoide, diverses algèbres d'opérateurs (C*-algèbres
ou algèbres de von Neumann). Le but de cet exposé introductif est de
donner la définition et quelques propriétés de ces algèbres.
14 h : Jérôme Los (Marseille)
Entropie volumique des groupes de surfaces.
15h30 : Sylvie Ruette
Dynamique en dimension 1 - Transformations de l'intervalle, ensemble de rotation de graphes topologiques.
Soutenance d'habilitation.
Je vais présenter quelques résultats obtenus en collaboration avec Krzysztof Fraczek sur la propriété de Ratner (découverte par M. Ratner dans le cas de flots horocycliques) de certains flots spéciaux au dessus d'une rotation (sur T ou T2).
Résumé :
La "Dimension Moyenne" est un invariant qui permet de distinguer entre
des systèmes dynamiques topologiques d'entropie infinie. En étendant
en partie le travail de Lindenstrauss, nous montrons que si (X,Z^k)
a un facteur zéro-dimensionnel apériodique, il peut
être plongé dans le shift cubique (([0,1]^d)^{Z^k},Z^k)$, où
d = [C(k) mdim (X)] + 1 pour une certaine
constante universelle C(k). Une des applications de ce théorème est
liée à la "Structure d'Entropie" de Downarowicz, un invariant
principal de la théorie de l'entropie, qui capte l'émergence de
l'entropie à des échelles différentes. En effet, nous généralisons cet
invariant et prouvons le théorème d'entropie d'extension symbolique de
Boyle-Downarowicz dans pour le cas des actions par Z^k. Ce
théorème décrit quelles entropies sont réalisables pour les extensions
symboliques. Nous discuterons également la relation entre la
"propriété des petites frontières" et la dimension moyenne et donnons une
nouvelle caractérisation de cette propriété.
Papier
On s'intéresse aux systèmes semilinéaires, i.e. du type Xt+1=A(ut)·Xt, où l'état Xt+1 au temps t+1 est déterminé par l'état Xt au temps t et par un contrôle ut, et où A : U -> GLd(R) est une application de classe C1.
La régularité de ces systèmes - de manière informelle, la possiblité d'atteindre un état final par un choix approprié des contrôles - a été étudiée par Wirth et Sontag. Nous montrons qu'il y a un ouvert Cr-dense d'applications A pour lesquels le système a cette régularité. Parmi les conséquences de ce résultat, la description des exposants de Lyapunov des cocyles linéaires génériques.
Résumé :
On considère une classe de flots qui préservent l'aire dans une surface de
genre g. Dans une série de travaux nous avons étudié les propriétés
ergodiques, en particulier le mélange, qui sont typiques pour ces flots. Nous
allons présenter une vue d'ensemble des résultats et donner des idées des
démonstrations et techniques utilisées.
Abstract:
The Yakubovich frequency theorem is a basic result from
the study of linear time-periodic optimal control problems which has
further applications in absolute stability theory, the analysis of
systems which are dissipative in the sense of Willems, etc. We will
discuss how the Yakubovich result can be formulated, proved, and
applied in the context of linear nonautonomous control systems with
bounded coefficient matrices.
Résumé :
En partant d'un problème très concret de dynamique impliquant
des isométries par morceaux, nous sommes amenés à des questions
élémentaires de théorie des nombres impliquant les points visibles
de réseaux. Ceci conduit à de surprenantes conséquences dynamiques.
Résumé :
Nous construisons des triplets spectraux pour un espace compact
métrique (X,d). Ceci permet de définir une nouvelle métrique ds
sur X (la distance de Connes). Lorsque X est un sous-shift, ou un espace
de pavage, et que d satisfait certaines bornes, nous montrons que
l'équivalence Lipschitz entre d et ds est une caractérisation
de grand ordre. Dans le cas sturmien d et ds sont Lipschitz
équivalentes ssi le sous-shift est linéairement récurrent. Dans le cas
épisturmien, ceci est équivalent à la propriété de répulsion
(power freeness).
Travail en collaboration avec J. Kellendonk.
Aucune connaissance en algèbre d'opérateur ou en dynamique des sous-shifts
n'est requise pour suivre l'exposé.
Résumé :
Je traite de la somme des chiffres dans l'anneau de Gauss Z[i]. Grabner
et Liardet ont montré que la somme des chiffres est équirépartie dans
les progressions arithmétiques en utilisant la théorie ergodique.
Je présente leur travail ainsi qu'un de mes résultats sur
la répartition de la somme des chiffres des nombres premiers dans
Z[i]. La démonstration repose sur le traitement de la transformée
de Fourier de la somme des chiffres et sur des estimations des
sommes d'exponentielles.
Exceptionnellement, 2ème exposé à 15h30, salle 121-123
Radu Saghin (CRM, Barcelone)
Integrability of invariant distributions.
Résumé :
L'alternative de Tits affirme que tout groupe linéaire de type fini non
virtuellement résoluble contient un groupe libre non abélien. Soit G un tel
groupe. Une question naturelle est de voir si cette propriété est générique
dans le sens ou deux éléments pris "au hasard" dans G engendrent ou non un
groupe libre. Nous répondons à cette question en montrant que presque
sûrement deux marches aléatoires Sn et S'n sur G finissent pas engendrer
un groupe libre. Nous montrons en fait, à l'aide de la théorie des produits
de matrices aléatoires, que la probabilité que Sn et S'n
n'engendrent pas
un groupe libre décroît exponentiellement vite.
Papier sur arXiv
Résumé :
Je vais présenter brièvement ce que l'on peut faire avec des cônes complexes, notamment quelques résultats récents obtenus avec H.H. Rugh. Ensuite, je montrerai comment on peut utiliser ces cônes pour prouver des théorèmes limites (par ex. un 'quenched central limit theorem') pour des produits aléatoires d'opérateurs.
Résumé :
On rencontre les problèmes de détermination finie dans de nombreux domaines des mathématiques. Dans l'étude des systèmes dynamiques, la théorie de formes normales vise à ramener un système perturbé au système original (Poincaré, Siegel, Birkhoff, Kolmogorov-Arnold-Moser) ; en physique mathématique, elle constitue la base des calculs perturbatifs (Born-Jordan, Feynman-Schwinger) ; en géométrie algébrique où l'on montre que certains espaces analytiques sont isomorphes à l'analytisation de schémas algébriques (Hironaka, Tyurina) ; en géométrie différentielle où l'on cherche à ramener une fonction à un polynôme par un changement de variable (Mather-Tougeron).
Dans cet exposé, je donnerai un théorème de détermination finie général dans les espaces vectoriels échelonnés, tentant ainsi d'unifier un certain nombre de ces résultats. Si le temps le permet, je donnerai une application aux systèmes hamiltoniens et à la mécanique quantique : je montrerai que, sous des conditions diophantiennes, le flot hamiltonien est linéarisable sur la variété invariante. La quantification de ce résultat montre la convergence Gevrey des séries perturbatives de l'état fondamental.
Résumé :
A la suite de la mise en évidence dans [1] de l'existence d'un réseau
carré aléatoirement orienté sur lequel la marche aléatoire simple devient
transiente, nous introduisons dans [2] une famille de réseaux
dynamiquement orientés ainsi qu'un critère de transience pour cette
marche. Cette description permet de traiter de nombreux exemples courants
et pour certains d'entre eux nous décrivons également un théorème limite
fonctionnel de convergence de cette marche simple, normalisée de manière
non conventionnelle en n3/4, vers un processus dont la composante
horizontale est autosimilaire, non Gaussienne et déja introduite dans [3]
dans le cadre de marches aléatoires en scènes aléatoires.
[1] M. Campanino, D. Pétritis. Random walks on randomly oriented lattices.
Mark. Proc. Relat. Fields, 9:391--412, 2003.
[2] N. Guillotin-Plantard, A. Le Ny. Transient random walks on 2d-oriented
lattices. Prépublication 2006-003 du laboratoire de mathématiques de
l'Université de Paris-Sud, 2006.
[3] H. Kesten, F. Spitzer. A limit theorem related to a new class of self
similar processes. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50:5--25, 1979.
Abstract:
This is a joined work with Lluís Alsedà from Universitat Autònoma de
Barcelona (Spain). We work with two-dimensional skew-products defined on
the cylinder $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$ of the form
$(\theta_{n+1},x_{n+1))=(R(\theta_n),f(x_n)g(\theta_n)$ where R is a
continuous degree-one circle map, and f satisfies some properties of
concavity and monotonicity. We prove that when R has no periodic points,
there exists finitely many attracting sets. In contrast when the rotation
interval of any of the lifts of R is non-degenerate, we prove the
existence of uncountably many attracting sets, each of them related with
an irrational rotation number.
9h45 : François Ledrappier (Paris 6),
Régularité de l'entropie pour certaines marches aléatoires.
Résumé : On considère des marches aléatoires à support fini sur un groupe libre de type fini. On fait varier la loi en gardant le support fixe. On montre alors que l'entropie de la marche et la vitesse de fuite dépendent analytiquement de la loi de probabilité.
11h15 : François Berteloot (Toulouse 3),
Exposant de Lyapunov et bifurcations en dynamique des fractions
rationnelles
Résumé : Dans une famille holomorphe de fractions rationnelles la nature des bifurcations est bien connue et leur lieu est le support d'un courant positif
fermé que l'on appelle courant de bifurcation. L'exposant de Lyapunov de la mesure d'entropie maximale est un potentiel de ce courant. Nous passerons en revue plusieurs résultats où cette relation est exploitée pour étudier la géométrie du lieu de bifurcation.
14h : Mark Pollicott (Warwick), Zeta functions for Anosov flows.
15h15 : Christophe Dupont (Orsay), Aspects géométriques et stochastiques en dynamique holomorphe sur CP(k) (habilitation à diriger des recherches).
Abstract: I will recall my joint results with Martin Rypdal on estimates for the entropy of piece-wise affine maps via expansion rate and Buzzi-Tsuji multiplicity. It was expected that for some classes of dynamical systems the estimate is not sharp and in the talk I explain that it really simplifies for expanding and, more generally, maps with U-property (hyperbolic cones). This is a current collaboration with Tomas Persson. Some physical applications will be discussed too.
Résumé : Il s'agit d'un travail en commun avec H. Bruin (Surrey) faisant suite à un autre travail avec A. Baraviera et A.O. Lopes (Porto Alegre). La motivation est (d'essayer) de comprendre les relations entre le formalisme thermodynamique dans le shift plein à 2 symboles (c'est à dire l'ensemble {0,1}\N muni du décalage), la renormalisation pour les potentiels, la renormalisation pour les dynamiques (telles les transformations type Feigenbaum en dynamique complexe) et les substitutions. Dans une première partie, je redéfinirai quelques notions sur le formalisme thermodynamique (état d'équilibre, transition de phase), puis je présenterai la renormalisation des potentiels et montrerai comment pour une substitution particulière, cette renormalisation est liée au potential d'Hofbauer, bien connu comme étant un potentiel à transition de phase. Dans une seconde partie, je présenterai les résultats obtenus avec H. Bruin, lorsqu'on étudie une autre substitution, celle dont le point fixe est la suite de Thue-Morse. Cette suite est liée à l'orbite du point critique pour une application unimodale de paramètre la constante de Feigenbaum, application qui peut aussi se voir dans le plan complexe.