Cohomologie L^p : invariance sous quasiisométries

P. Pansu
Version du 25 octobre 1995

Résumé

On donne une définition de la cohomologie L^p d'un espace métrique, on prouve son invariance sous quasiisométries. On la relie à la cohomologie L^p au sens de de Rham pour une variété riemannienne, sous une hypothèse faible sur l'homologie de la variété. On obtient en particulier une notion de cohomologie L^p pour un groupe discret de type fini.

Abstract

L^p cohomology is defined for a metric space, and shown to be a quasiisometry invariant. This boils down to usual de Rham L^p cohomology of manifolds. This yields L^p cohomology of discrete finitely generated groups too.

Soit M une variété riemannienne de dimension n, k un entier compris entre 0 et n, p un réel supérieur à 1. L'espace de cohomologie L^pH^k(M) est l'espace des classes de k-formes fermées L^p a sur M modulo les différentielles de (k-1)-formes L^p dont la différentielle est L^p. Par définition, la cohomologie L^p est conservée par les difféomorphismes bilipschitziens~: s'il existe un difféomorphisme f : M -> N dont la différentielle ainsi que son inverse est uniformément bornée, alors L^pH^k(M) est isomorphe à L^pH^k(N) pour tous p et k. Par exemple, si V est une variété compacte de revêtement universel V, alors les espaces L^pH^k(V) sont des invariants différentiables de V.

Dans [Dodziuk1], J. Dodziuk montre que la cohomologie L² du revêtement universel est un invariant homotopique des variétés compactes. Ce résultat a été étendu à L^p, p différent de 2, par V. Gol'dshtein, V. Kuz'minov et I. Shvedov, [GKS]. On est conduit à se demander si la cohomologie L^p ne dépendrait pas seulement du groupe fondamental. C'est vrai en degré un, [Pansu], pas exactement en degré supérieur (la formule de Künneth et la suite de Mayer-Vietoris, valables en cohomologie L^p, montrent les limites de ce que l'on peut attendre comme invariance). Pourtant, il y a une cohomologie L^p simpliciale pour tout groupe G dont le K(G,1) est fini en chaque dimension, et d'après [Dodziuk1], celle-ci ne dépend que du groupe.

Suivant une voie indiquée par M. Gromov, [Gromov], nous plaçons cette question dans un contexte plus vaste : le groupe fondamental de V est un espace métrique discret, quasiisométrique au revêtement universel V. Peut-on parler de cohomologie pour un espace métrique, et montrer son invariance sous quasiisométrie ? Nous nous proposons

de définir une cohomologie L^p ``asymptotique'' pour un espace métrique muni d'une mesure, qui soit invariante par quasiisométrie ;

dans le cas d'un groupe G, de la relier à la cohomologie L^p d'un complexe simplicial ayant G pour groupe fondamental ;

dans le cas d'une variété riemannienne à géométrie bornée, de la relier à la cohomologie L^p ordinaire, sous les hypothèses les plus faibles possibles.

Définitions

Soit M un espace métrique muni d'une mesure dx. Fixons un exposant p dans l'intervalle [1,+oo] et un rayon t>0.

Définissons un complexe simplicial X_t dont les sommets sont les points de M, et les k-simplexes les k+1-uplet de points de M de diamètre strictement inférieur à t.

On a une mesure sur l'espace des k-simplexes S:

dS=dx₀... dx_k.

On appelle complexe d'Alexander-Spanier de taille t sur M le complexe des cochaînes simpliciales réelles de X_t.

On définit la norme L^p d'une k-cochaîne :

| c |_p^p=\int { _{k+1-uplets S de diamètre
<t}} | c(S)|^p dS.

Lorsque p=+oo, la norme | c |_oo est simplement la borne supérieure des valeurs de c sur les simplexes de diamètre < t. Pn note L^pAS_t^k(M) l'espace de Banach des k-cochaînes d'Alexander-Spanier sur M, de taille t, muni de la norme L^p. La différentielle simpliciale est un opérateur borné sur L^pAS_t^*(M). Sa cohomologie, notée L^pH_t^*(M), s'appelle la cohomologie L^p de taille t.

La restriction des cochaînes de taille t' aux simplexes de diamètre t<t' induit un opérateur borné

L^pASt'^k(M)-> L^pAS_t^k(M)

et la limite inverse

L^pAS_lim^k(M)=lim_<- L^pAS_t^k(M)

s'appelle le complexe L^p asymptotique . C'est un espace de Fréchet. Sa cohomologie s'appelle cohomologie L^p asymptotique et est notée L^pH_lim^*(M).

Soit G un groupe discret de type fini. Chaque choix d'un système générateur fini de G détermine une distance invariante à gauche d_S sur G. On utilise, pour définir les normes L^p, la mesure de comptage évidente.

Définition

La cohomologie L^p d'un groupe discret G de type fini est par définition la cohomologie L^p asymptotique de l'espace métrique (D,d_S), i.e.,

L^pH^*(G):=L^pH_lim^*(G,d_S).

Un autre choix de système générateur produit une distance quasiisométrique à la première. La proposition suivante montre que la définition est sans ambiguïté.

Résultats Une quasiisométrie entre des espaces métriques M et N est la donnée de deux applications f:M-> N et g:N-> M telles que

pour toute boule B de M, f(B) et f^-1(B) sont contenues dans des boules dont le rayon ne dépend que de celui de B ;

g°f et f°g sont à distance bornée de l'identité.

La cohomologie L^oo asymptotique est par construction même un invariant de quasiisométrie. Pour p fini, p>= 1, c'est vrai moyennant une hypothèse sur la mesure dx.

Proposition 1

La cohomologie L^p asymptotique est un invariant de quasiisométrie pour la classe des espaces métriques M munis d'une mesure telle que pour chaque r>0 assez grand, le volume des boules de rayon r soit borné uniformément dans les deux sens.

Il reste à relier L^pH^*(G) à la cohomologie L^p du revêtement universel d'une variété ou d'un complexe simplicial dont G est le groupe fondamental. Il y a une application tautologique L^pH^*-> H^* de la cohomologie L^p vers la cohomologie ordinaire ; on appelle cohomologie exacte et on note EL^pH^*(M) le noyau de cette application. Remarquer que la cohomologie asymptotique ne donne accès, au mieux, qu'à ce noyau. En effet, un cocycle c de taille t, restreint à la boule B(x,t) est automatiquement exact : si on pose c'(x₁,...,x_k)=c(x,x₁,...,x_k), alors c=dc'. Inversement, on peut comparer cohomologie L^p asymptotique et cohomologie L^p en degré k lorsque la cohomologie ordinaire de M s'annule en tous degrés jusqu'à k. On dit que H^k(M,R)=0 uniformément si, pour toute boule B, il existe une boule concentrique B', dont le rayon ne dépend que de celui de B, telle que la restriction H^k(B',R)-> H^k(B,R) s'annule. Par exemple, si M est un revêtement d'un espace compact, cette condition est vérifiée dès que H^k(M,R)=0.

Théorème A

Soit p dans [1,+oo].

(i) Soit G un groupe discret de présentation finie. Soit K un complexe simplicial fini dont le groupe fondamental est G. Si Hⁱi(K)=0 for i=2,...,k, alors la cohomologie L^p exacte du revêtement universel K - définie simplicialement - coïncide avec la cohomologie L^p de G jusqu'en degré k+1. En particulier, sans conditions sur K, les espaces L^pH¹(K) et EL^pH²(K) ne dépendent que de G.

(ii) Soit M une variété riemannienne connexe à géométrie bornée. On suppose que, pour 0< j <= k, H^j(M,R)=0 uniformément. Alors

L^pH_lim^k+1(M)~ EL^pH^k+1(M).

Précisions

On obtient en réalité un résultat plus précis. Par exemple, si M est une variété riemannienne qui satisfait aux hypothèses du théorème A, on montre que, pour tout t>t'>0, la restriction des grandes cochaînes aux petits simplexes induit une équivalence d'homotopie entre les complexes d'Alexander-Spanier L^pAS_t^* et L^pAS_t'^* au sens suivant : il existe des opérateurs bornés f:L^pAS_t^*-> L^pAS_t'^*, g:L^pAS^*-> L^pAS_t^* commutant avec les différentielles, B:L^pAS_t^*-> L^pAS_t^*-1 B':L^pAS_t'^*-> L^pAS_t'^*-1 tels que

g°f=dB+Bd et f°g=dB'+B'd.

De même, pour t petit, le complexe L^pAS_t^*(M) est homotope au complexe de de Rham (resp. simplicial) et enfin, une quasiisométrie M-> M' induit une équivalence d'homotopie entre les complexes L^pAS_t^*(M) et L^pAS_t^*(M') pour t assez grand. En particulier, la cohomologie L^p avec sa semi-norme quotient est invariante. Il y a donc des isomorphismes induits sur la cohomologie et sur la cohomologie réduite (définie au moyen de l'adhérence de l'image de d).

On peut aller plus loin. La classe d'équivalence de la presque cohomologie (near-cohomology) au sens de M. Gromov et M. Shubin est un invariant de quasiisométrie, voir [Gromov-Shubin]. La presque cohomologie d'un complexe d:E-> E est la famille de cônes C_l={c dans Im d ; |c|< l|d^-1c|} où l>0 et on a noté abusivement |d^-1c| la borne inférieure des normes des c' tels que c=dc'.

Lorsque p=2, la cohomologie L² et la presque cohomologie sont directement reliées au Laplacien L². Le théorème A se traduit par

Corollaire

Sous les hypothèses du théorème A (ii),

le noyau du Laplacien sur les k+1-formes L² exactes,

la présence d'un trou dans le spectre du Laplacien sur dL² (i.e. d'un intervalle ouvert ]0,l[ disjoint du spectre),

sont des quantités ou propriétés conservées par quasiisométrie.

Avertissement

Lorsque p=+oo, on risque de confondre la cohomologie L^oo et la cohomologie grossière (coarse cohomology) de J. Roe, [Roe]. Notons AS_t,c^k(M) l'espace des k-cochaînes d'Alexander-Spanier de taille t à support relativement compact comme fonctions sur M^k+1. Le complexe de J. Roe est la limite inverse des AS_t,c^*(M) lorsque t tend vers +oo. Il est aussi invariant sous quasiisométries.

La cohomologie bornée d'un groupe discret G est définie à partir des cochaînes L^oo et G-invariantes du complexe simplicial complet (sans restriction de diamètre) dont les sommets sont les éléments de G, voir [GromovVBC]. Je ne sais pas s'il est invariant sous quasiisométries.

Organisation du texte

La section 2 contient la preuve de la proposition 1.

Dans la section 3, on montre que la cohomologie L^p d'une variété riemannienne à géométrie bornée peut se calculer indifféremment au moyen de formes différentielles, d'une triangulation, d'un recouvrement ouvert, ou de cochaînes d'Alexander-Spanier de petite taille. Il s'agit de contrôler des normes L^p dans le théorème de de Rham. Comme corollaire immédiat, on obtient le fait que les applications uniformément continues agissent sur la cohomologie L^p, et, par conséquent, l'invariance homotopique de la cohomologie L^p des revêtements, [Dodziuk1], [Dodziuk2], [GKS] ainsi que des invariants de Novikov-Shubin [Novikov-Shubin], prouvée dans [Efremov], [Gromov-Shubin].

Le point essentiel dans le théorème A est le fait que l'espace de cohomologie à la Alexander-Spanier L^pH_t^k(M) est indépendant de t. Il s'agit d'étendre une petite cochaîne aux grands simplexes. Nous proposons deux procédés. Le premier, qui s'applique aux variétés d'Hadamard (i.e., simplement connexes à courbure négative ou nulle) consiste à subdiviser les simplexes. En effet, dans une variété d'Hadamard, le diamètre diminue lors d'une subdivision. C'est l'objet de la section 5. On trouve des considérations voisines dans [Hausmann], [Roe].

Sous les hypothèses plus faibles du théorème A, on doit utiliser un autre procédé. Il s'agit de montrer que le complexe simplicial X_t a même cohomologie que M. Une approximation de X_t est obtenue en considérant le nerf N_T du recouvrements de M par les boules de rayon T>t centrées sur les points d'un l-réseau de M. Si N_T était acyclique, on aurait immédiatement H^*(M)=H^*(N_T). L'hypothèse du théorème A donne seulement que N_T est acyclique dans N_T' pour un T' ne dépendant que de T. Néanmoins, cela suffit à conclure dans la section 6.

Enfin, on a rassemblé quelques exemples dans la section 7.

Cohomologie Lp : invariance sous quasiisométries