Isopérimétrie en 5e
Parmi tous les rectangles du plan de périmètre donné,
lequel a une aire maximale ? Parmi tous les rectangles du plan d'aire donnée,
lequel a un périmètre minimal ? Parmi toutes les positions
possible d'un quadrilatère flexible, laquelle entoure une aire maximale
? Et si on remplace le quadrilatère flexible par une courbe fermée
quelconque ? On peut se poser le même problème dans une géométrie
exotique, celle de la ville de New York où on ne peut se déplacer
que le long des rues et avenues, de carrefour en carrefour.
La classe de 5e2 de Claudie Asselain-Missenard, au collège Alain-Fournier
à Orsay a accepté de consacrer 6 heures de cours à travailler
sur ce thème. 6 séances où on va de l'expérimentation
à la démonstration. Il y a même place pour l'expérimentation
physique à l'aide de films de savon.
La 6ème séance (résolution du problème isopérimétrique
dans la géométrie new-yorkaise) a été filmée
par Paris-Sud Multimédia. Yves Missenard a composé un poster
en deux parties pour relater
cette aventure, à présenter lors de la journée des Projets
Scientifiques Parrainés le 13 mai 2003.
Faute de temps, je n'ai pas pu expliquer aux élèves la motivation
du problème isopérimétrique new-yorkais. La voici.
Un itinéraire à New-York dont le point de départ est
l'angle sud-est de l'Empire State Building est codé par un mot de
l'alphabet à 4 lettres N S E O. Par exemple, le mot NSNSNSNS... code
le trajet du vigile qui fait les cent pas devant le célèbre
building, le long de la 5e avenue. Le mot NOSE code la promenade du touriste
fait le tour du building dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Un mot est fermé, i.e. code un trajet qui revient à son
point de départ si et seulement si il comporte autant de N que de
S, autant de O que de E. Il y a ainsi 4 mots fermés de 2 lettres et
8 mots fermés de 4 lettres qui ne sont pas faits de deux mots fermés
de 2 lettres. C'est là que nous nous sommes arrêtés avec
les élèves de 5e2.
Considérons ces 12 petits mots comme des règles de réécriture.
Autrement dit, je joue au jeu suivant : quand dans un mot j'aperçois
la suite de 4 lettres ...NOSE...(ou un autre des 12 petits mots fermés),
j'ai le droit de l'enlever. J'ai aussi le droit de l'insérer où
je veux dans le mot. Alors un long mot est fermé si et seulement si
le jeu aboutit à rien, i.e. par réécritures successives,
on peut arriver au mot vide. Ce genre de jeu, appelé évaluation,
un ordinateur y joue chaque fois qu'il doit évaluer une expression,
par exemple, exécuter une instruction.
Un trajet qui revient à son point de départ possède
une longueur, c'est le nombre de trajets d'une tersection à
la suivante qu'il comporte, et une aire, c'est le nombre de blocs qu'il
entoure. Voici la traduction de ces grandeurs en termes linguistiques. La
longueur est le nombre de lettres du mot codant le trajet. L'aire coïncide
avec le nombre minimal d'appels à une règle de réécriture
à 4 lettres nécessaire pour réduire le mot à rien,
i.e., l'évaluer.
Le problème isopérimétrique new-yorkais (dont les élèves
de 5e2 ont trouvé la solution dans des tablettes de chocolat) est donc
relié à la complexité d'un système particulier
de règles de réécriture. Le texte destiné
aux classes de math spé va un peu plus loin, en ce qui concerne les
règles de réécriture associées à des groupes.