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\def\ques#1{\vskip 0.15truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}


\vskip-0.5cm
\noindent{Universit\'e de Paris-Sud}\hfill  2002\par
\noindent{S2MIAS, option Arithm\'etique et Histoire des
Nombres}\par\hfill {\Large A}
  \vskip 0.8truecm
\centerline{\smc Test}
\centerline{Lundi 25 mars 2002, dur\'ee 1h}

\vskip.4truecm

\ques{1.}{\sl Soit $a$ un entier tel que $3a\equiv 3~(199)$, et
$b$ un entier tel que $4b\equiv 4~(202)$.

Peut-on
affirmer que $a\equiv 1~(199)$ ?} 

\vskip 1.5cm

{\sl Que $b\equiv 1~(202)$ ?} NON. Par exemple, $b=102$ satisfait
$4b\equiv 4~(202)$ mais n'est pas congru \`a 1 modulo 202.

\vskip 1.5cm

\ques{2.}{\sl Artem Kazatchok, le plus vieux centenaire de
l'Ouzbekistan occidental, a v\'ecu 1 000 104 heures. Cela
repr\'esente-t'il un nombre entier de semaines ? On justifiera la
r\'eponse, sans poser de division, par des arguments de
congruences.} \par

\vskip3cm

\ques{3.}{\sl Montrer que si $n$ est un entier naturel impair, alors
$10^{n}+1$ est divisible par $11$. En d\'eduire que le nombre
1 343 113 431 est divisible par 121.}
\par

\vskip2cm

{\sl Montrer que si $n$ est un entier naturel impair, alors
$10^{3n}+1$ est divisible par $13$. En d\'eduire que le nombre
169 169 000 169 169 est divisible par $13^{4}$.}
\par

\vskip2cm

\ques{4.}{\sl D\'eterminer tous les points $(x,y)$ du plan dont
les deux coordonn\'ees sont des entiers, qui sont sur la
droite affine d'\'equation
$y={{20}\over{9}}x+{1\over{3}}$. }
\par


\end{document}
