Polytech Paris-Sud 2017–2018 / PeiPA 1, S1 Mathématiques (extranet de Polytech Paris-Sud)

Liens vers les archives (notamment les contrôles et leurs corrigés) des années précédentes :
2013–2014, 2014–2015, 2015–2016 et 2016–2017.

Fiches d'exercices (TD):
fiche 1 – Fonctions | fiche 2 – Limites | fiche 3 – Continuité
Fin du programme du contrôle 1 (4 octobre 2017).
fiche 4 – Dérivabilité | fiche 5 – Dérivabilité d'ordre supérieur et DL | fiche 6 – Intégration
Fin du programme du contrôle 2 (22 novembre 2017).
fiche 7 – Équations différentielles (1) | fiche 8 – Nombres complexes | fiche 9 – Équations différentielles linéaires d'ordre 2
fiche 10 – Courbes paramétrées | fiche 11 – Fonctions de 2 variables
Fin du programme du contrôle 3 (18 décembre 2017).

Fiches de test:
test 1 – Fonctions, limites (prévu le 25/9 : TD6 pour les groupes 1-3 et TD7, exceptionnellement, pour le groupe 4)
test 2 – Dérivabilité, DL (prévu au TD15 pour tous les groupes, entre le 6 et le 8 novembre selon les groupes)
test 3 – Intégration, équations différentielles (prévu au TD22 pour tous les groupes, le 24/11 groupe 4, le 30/11 groupe 3, le 1/12 groupes 1 et 2)
test 4 – Tout le reste... (prévu au TD28 pour tous les groupes, entre le 11 et 14 décembre selon les groupes).

Contrôles:
contrôle 1 (octobre) et son corrigé | contrôle 2 (novembre) et son corrigé | contrôle 3 (décembre)
contrôle de rattrapage (février) et son corrigé

Compléments divers:
tables de dérivées, de développements limités et de primitives classiques | Rappel: preuve par récurrence
polys: Base du raisonnements, ensembles et applications (P. Pansu, S. Lelièvre) et Mathématiques (F. Santambrogio)
(Les polys sont là à titre de compléments. Nombreux changements – plus ou moins mineurs – de programme depuis.)

Programme indicatif. Les dates en gritalic sont des prévisions (probablement optimistes !).

6/9	Fonctions N, Z, Q, R, C, intervalles réels finis et infinis, produits cartésiens. Fonctions, graphes. Parité, monotonie. Restrictions, prolongements. Opérations usuelles sur les fonctions: addition, multiplication, division. Images directe et réciproque d'un ensemble.
7/9	Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Composition de fonctions et fonctions réciproques. Notions de réciproque et de contraposée d'une proposition.
11/9	Limites Définitions de voisinage (ouvert), de points intérieurs et points adhérents. Définition de limite finie en un point adhérent. Unicité de la limite. Théorème des gendarmes.
19/9	Fonctions de référence. Quelques méthodes. Comportement local. Opérations usuelles. Limites infinies et/ou en l'infini. Comparaison et opérations usuelles.
20/9	Continuité Continuité en un point. Fonction continue. Propriétés et opérations usuelles. Prolongement par continuité. Comportement local. Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Conséquences du TVI: annulation, surjectivité, image d'un intervalle.
26/9	Extrema. Fonctions minorées, majorées. Théorème de Weierstrass. Corollaire: minoration des fonctions continues tendant vers + l'infini en ± l'infini. Continuité des fonctions réciproques (des bijections continues). Exemple des fonctions trigonométriques inverses. Exemple d'utilisation du TVI, de Weierstrass.
27/9	Dérivabilité Dérivabilité en un point. Interprétation géométrique. DL d'ordre 1. Fonctions dérivées. Dérivabilité des fonctions prolongées par continuité ("Théorème de prolongement C¹"). Opérations usuelles.
2/10	Compositions. Dérivée des fonctions réciproques. Dérivées usuelles. Extrema et points critiques. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Utilisation des inégalités des A.F.
3/10	Monotonie et signe de la dérivée. Tableau de variations. Exemples: Fonctions hyperboliques. Dérivabilité d'ordre supérieur But et applications. Dérivées d'ordre supérieur.
10/10	Développements limités: définition et unicité. Formule de Taylor-Young. Formule de Taylor-Lagrange. Opérations sur les DL.
11/10	Exemples et applications des DL (limites, signes, position). Interprétation géométrique. Position par rapport à une asymptote (sur un exemple). Intégration Motivation.
17/10	Définition de l'intégrale d'une fonction continue (ou monotone). Propriétés de l'intégrale. Intégrale, primitive et dérivée. Théorème fondamental du calcul intégral.
18/10	Intégration par parties. Changement de variables: formule usuelle ; reconnaître la dérivée d'une composition. DL et intégration. Polynômes en cosinus et sinus.
24/10	Fractions rationnelles (uniquement sur des exemples). Équations différentielles (1) Équation différentielle linéaire d'ordre 1 (EDL1) réelle, définitions liminaires.
7/11	Résolution. Structure de l'espace des solutions. Unicité des solutions du problème de Cauchy (cas des EDL1). Variation de la constante. Équation non résolue. Exemple détaillé récapitulatif (EDL1 non résolue).
8/11	(culture) Théorème de Cauchy-Lipschitz y'=f(t,y), avec f C¹. Équation différentielle à variables séparables. Exemple. Nombres complexes Définition. Dictionnaire euclidien vs polaire. Interprétation géométrique. Propriétés principales.
9/11	Similitudes (directes) du plan. Formules de trigonométrie. Formule de Moivre.
13/11	Polynômes de degré 2 à coefficients réels. Fonctions complexes, injectivité, surjectivité, bijectivité. Retour sur les similitudes directes. Symétries axiales. Exponentielle complexe. Fonctions trigonométriques (et hyperboliques) complexes. Fonctions définies sur un intervalle réel, à valeurs complexes. Équation différentielle z'=az.
14/11	Équations différentielles linéaires d'ordre 2 Présentation et exemples. Structure de l'espace des solutions. Principe de superposition. Solutions de l'équation homogène.
21/11	Recherche d'une solution particulière : second membre du type P(t).exp(st), s complexe. EDL2 avec coefficients constants réels et terme inhomogène complexe. Exemples : cosh (via principe de superposition), oscillateur forcé (via Re et Im). Application aux seconds membres du type cosh, sinh, cos, sin, cos², sin², etc.
27/11	Solutions satisfaisant une condition initiale. Exemples. (culture) Des EDL2 aux systèmes différentiels d'ordre 1. Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Vecteur vitesse et vitesse instantanés, points singuliers. Longueur, abscisse curviligne, tangente. Étude type (domaine, symétrie, périodicité, tableaux de variations, points particuliers).
28/11	Exemples. Tracés, tangentes, position par rapport aux tangentes. Fonctions de 2 (et 3) variables Points adhérents et intérieurs d'un sous-ensemble de R². Fonctions de 2 variables, graphe. Limites, continuité. Opérations usuelles. Prolongement par continuité.
5/12	Différentiabilité. Différentielle et gradient. Produit scalaire dans R². Relation avec les nombres complexes et avec l'orthogonalité. Dérivées partielles et formule de Taylor à l'ordre 1. Plan tangent au graphe. Dérivée le long d'une courbe.
6/12	Travail d'une force dérivant d'un potentiel. Une telle force est conservative. Courbes de niveau f(x,y)=c. Liens avec le graphe de f. Tangente orthogonale au gradient. Extrema et points critiques. Existence d'extrema globaux pour f continue sur fermé borné. Les extrema intérieurs sont atteints en des points critiques pour f C¹. Exemple détaillé de détermination des extrema. Fonctions de 3 variables : un survol.