Polytech Paris-Sud 2016–2017 / PeiPA 1, S1 Mathématiques (extranet de Polytech Paris-Sud)

Liens vers les archives (notamment les contrôles et leurs corrigés) des années 2013–2014, 2014–2015 et 2015–2016.

Fiches d'exercices (TD):
fiche 1 – Fonctions | fiche 2 – Limites | fiche 3 – Continuité
Fin du programme du contrôle 1 (5 octobre 2016).
fiche 4 – Dérivabilité | fiche 5 – Dérivabilité d'ordre supérieur et DL
Fin du programme du contrôle 2 (10 novembre 2016).
fiche 6 – Intégration | fiche 7 – Équations différentielles (1)
fiche 8 – Nombres complexes | fiche 9 – Équations différentielles linéaires d'ordre 2
fiche 10 – Courbes paramétrées | fiche 11 – Fonctions de 2 variables
Fin du programme du contrôle 3 (15 décembre 2016).

Fiches de test:
test 1 – Fonctions, limites | test 2 – Dérivabilité, DL
test 3 – Intégration, équations différentielles | test 4 – Tout le reste

Contrôles:
contrôle 1 (octobre) et son corrigé | contrôle 2 (novembre) et son corrigé | contrôle 3 (décembre) et son corrigé
contrôle de rattrapage (février)

Compléments divers:
tables de dérivées, de développements limités et de primitives classiques | Rappel: preuve par récurrence
polys: Base du raisonnements, ensembles et applications (P. Pansu, S. Lelièvre) et Mathématiques (F. Santambrogio)
(Les polys sont là à titre de compléments. Nombreux changements – plus ou moins mineurs – de programme depuis.)

Programme indicatif. Les dates en gritalic sont des prévisions (probablement optimistes !).

5/9	Fonctions N, Z, Q, R, C, intervalles réels finis et infinis. Quelques fonctions usuelles ln, sin, cos, tan, x^n. Fonctions, graphes. Parité, monotonie. Restrictions, prolongements. Opérations usuelles sur les fonctions: addition, multiplication, division.
6/9	Images directe et réciproque d'un ensemble. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Composition de fonctions et fonctions réciproques.
13/9	Exemples et applications des notions. Notion de contraposée. Limites Définitions de voisinage (ouvert), de points intérieur et adhérent. Définition de limite finie en un point adhérent. Unicité de la limite.
14/9	Théorème des gendarmes. Fonctions de référence. Quelques méthodes. Comportement local. Opérations usuelles. Limites infinies et/ou en l'infini.
20/9	Comparaison et opérations usuelles. Continuité Continuité en un point. Fonction continue. Propriétés et opérations usuelles. Prolongement par continuité. Comportement local. Théorème des valeurs intermédiaires (admis).
21/9	Conséquences du TVI (annulation, surjectivité, image d'un intervalle). Extrema. Fonctions minorées, majorées. Théorème de Weierstrass. Fonctions réciproques. Fonctions arcsin, arccos, arctan.
27/9	Exemple d'utilisation du TVI, de Weierstrass. Dérivabilité Dérivabilité en un point. Interprétation géométrique. Fonctions dérivées. Dérivabilité des fonctions prolongées par continuité.
28/9	Opérations usuelles. Compositions. Dérivée des fonctions réciproques. Dérivées usuelles. Extrema et points critiques. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.
4/10	Utilisation des inégalités des A.F. Monotonie et signe de la dérivée. Tableau de variations. Exemples: Fonctions hyperboliques. Dérivabilité d'ordre supérieur But et applications. Dérivées d'ordre supérieur.
11/10	Développements limités. Formule de Taylor-Young. Interprétation géométrique. Formule de Taylor-Lagrange.
12/10	Opérations sur les DL. Exemples. Applications des DL (limites, signes, position).
18/10	Intégration Motivation. Définition de l'intégrale (fonctions monotones ou continues). Propriétés de l'intégrale. Intégrale, primitive et dérivée. Théorème fondamental du calcul intégral.
25/10	Intégration par parties. DL et intégration. Changement de variables: formule usuelle.
26/10	Changement de variables: reconnaître la dérivée d'une composition. Fractions rationnelles (uniquement sur des exemples). Polynômes en cosinus et sinus.
3/11	Équations différentielles (1) Équation différentielle linéaire d'ordre 1 (EDL1) réelle. Résolution. Structure de l'espace des solutions. Unicité des solutions du problème de Cauchy (cas des EDL1). Variation de la constante. Équation non résolue. Exemple détaillé récapitulatif (EDL1 non résolue).
8/11	(culture) Théorème de Cauchy-Lipschitz y'=f(t,y), avec f C¹. Équation différentielle à variables séparables. Exemple. Nombres complexes Définition. Dictionnaire euclidien vs polaire. Interprétation géométrique. Propriétés principales.
15/11	Similitudes (directes) du plan. Formule de Moivre. Formules de trigonométrie.
22/11	Polynômes de degré 2 à coefficients réels. Fonctions complexes, généralités. Exponentielle complexe. Fonctions trigonométriques (et hyperboliques) complexes. Fonctions définies sur un intervalle réel, à valeurs complexes. Équation différentielle z'=az.
23/11	Équations différentielles linéaires d'ordre 2 Présentation et exemples. Structure de l'espace des solutions. Principe de superposition. Solutions de l'équation homogène.
29/11	Recherche d'une solution particulière : second membre du type P(t).exp(st), s complexe. Application aux seconds membres du type cos, sin, cos², etc. Solutions satisfaisant une condition initiale. Exemples. (culture) Des EDL2 aux systèmes différentiels d'ordre 1.
6/12	Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Vitesse, longueur, abscisse curviligne, tangente.
7/12	Fonctions de 2 (et 3) variables Fonctions de 2 variables: limites, continuité, différentiabilité. Différentielle et gradient. Dérivées partielles et formule de Taylor à l'ordre 1.
13/12	Plan tangent. Dérivée le long d'une courbe. Travail d'une force dérivant d'un potentiel. Courbes de niveau f(x,y)=c. Liens avec le graphe de f.
14/12	Tangente orthogonale au gradient. Extrema et points critiques. Fonctions de 3 variables : un survol.