Polytech Paris-Sud 2015–2016 / PeiPA 1, S1 Mathématiques (extranet de Polytech Paris-Sud)

Liens vers les archives (notamment les contrôles et leurs corrigés) des années 2013–2014 et 2014–2015.

Fiches d'exercices (TD):
fiche 1 – Fonctions | fiche 2 – Limites | fiche 3 – Continuité
Fin du programme du contrôle 1 (7 octobre 2015).
fiche 4 – Dérivabilité | fiche 5 – Dérivabilité d'ordre supérieur et DL | fiche 6 – Intégration | fiche 7 – Équations différentielles (1)
Fin du programme du contrôle 2 (25 novembre 2015).
fiche 8 – Nombres complexes | fiche 9 – Équations différentielles linéaires d'ordre 2 | fiche 10 – Courbes paramétrées | fiche 11 – Fonctions de 2 variables
Fin du programme du contrôle 3 (4 janvier 2015).

Fiches de test:
test 1 (septembre) – Fonctions, limites | test 2 (octobre) – Dérivabilité, DL
test 3 (novembre) – Intégration, équations différentielles | test 4 (décembre) – Tout le reste

Contrôles:
contrôle 1 (octobre) et son corrigé | contrôle 2 (novembre) et son corrigé | contrôle 3 (janvier) et son corrigé
contrôle de rattrapage (mars) et son corrigé

Compléments divers:
tables de dérivées, de développements limités et de primitives classiques | Rappel: preuve par récurrence
polys: Base du raisonnements, ensembles et applications (P. Pansu, S. Lelièvre) et Mathématiques (F. Santambrogio)
(Les polys sont là à titre de compléments. Nombreux changements – plus ou moins mineurs – de programme depuis.)

Programme indicatif. Les dates en gritalic sont des prévisions (probablement optimistes !).

7/9	Fonctions N, Z, Q, R, C, intervalles réels finis et infinis. Quelques fonctions usuelles ln, sin, cos, tan, x^n. Fonctions, graphes. Parité, monotonie. Restrictions, prolongements. Opérations usuelles sur les fonctions: addition, multiplication, division. Image directe d'un ensemble. Composition de fonctions.
8/9	Image réciproque. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Fonctions réciproques. Exemples et applications des notions.
15/9	Limites Définition de limite finie en un point. Unicité. Théorème des gendarmes. Fonctions de référence. Quelques méthodes.
16/9	Comportement local. Opérations usuelles. Limites infinies et/ou en l'infini. Comparaison et opérations usuelles. Continuité Continuité en un point. Fonction continue.
22/9	Propriétés et opérations usuelles. Prolongement par continuité. Comportement local. Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Conséquences du TVI (annulation, surjectivité, image d'un intervalle).
23/9	Extrema. Fonctions minorées, majorées. Théorème de Weierstrass. Fonctions réciproques. Fonctions arcsin, arccos, arctan. Exercice limite et continuité détaillé.
29/9	Dérivabilité Dérivabilité en un point. Interprétation géométrique. Fonctions dérivées. Dérivabilité des fonctions prolongées par continuité. Opérations usuelles. Compositions.
30/9	Dérivée des fonctions réciproques. Dérivées usuelles. Extrema et points critiques. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Exemple d'utilisation (des inégalités des A.F.) Monotonie et signe de la dérivée.
6/10	Tableau de variations. Fonctions hyperboliques. Dérivabilité d'ordre supérieur But et applications. Dérivées d'ordre supérieur. Développements limités.
13/10	Formule de Taylor-Young. Interprétation géométrique. Formule de Taylor-Lagrange.
14/10	Opérations sur les DL. Exemples. Applications des DL (limites, signes, position).
20/10	Intégration Motivation. Définition de l'intégrale (fonctions monotones ou continues). Propriétés de l'intégrale. Intégrale, primitive et dérivée. Théorème fondamental du calcul intégral.
3/11	Intégration par parties. Changement de variables. DL et intégration.
4/11	Fractions rationnelles (uniquement sur des exemples). Polynômes en cosinus et sinus. Équations différentielles (1) Équation différentielle à variables séparables. Exemple.
5/11	Équation différentielle linéaire d'ordre 1 (EDL1) réelle. Résolution. Structure de l'espace des solutions. Unicité des solutions du problème de Cauchy (cas des EDL1). Variation de la constante. Équation non résolue. Exemple détaillé récapitulatif (EDL1 non résolue).
9/11	(culture) Théorème de Cauchy-Lipschitz y'=f(t,y), avec f C¹. Nombres complexes Définition. Dictionnaire euclidien vs polaire. Interprétation géométrique. Propriétés principales.
10/11	Similitudes (directes) du plan. Formule de Moivre. Formules de trigonométrie. Polynômes de degré 2 à coefficients réels.
17/11	Fonctions complexes, généralités. Exponentielle complexe. Fonctions définies sur un intervalle de réel, à valeurs complexes. Équation différentielle z'=az.
24/11	Équations différentielles linéaires d'ordre 2 Présentation et exemples. Structure de l'espace des solutions. Principe de superposition. Solutions de l'équation homogène.
1/12	Recherche d'une solution particulière : second membre du type P(t).exp(st), s complexe. Application aux seconds membres du type cos, sin, cos², etc. Solutions satisfaisant une condition initiale. Exemples. (culture) Des EDL2 aux systèmes différentiels d'ordre 1.
8/12	Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Vitesse, longueur, abscisse curviligne, tangente.
9/12	Fonctions de 2 (et 3) variables Fonctions de 2 variables: limites, continuité, différentiabilité. Différentielle et gradient. Dérivées partielles et formule de Taylor à l'ordre 1. Plan tangent.
15/12	Dérivée le long d'une courbe. Travail d'une force dérivant d'un potentiel. Courbes de niveau f(x,y)=c. Liens avec le graphe de f. Tangente orthogonale au gradient.
16/12	Extrema et points critiques. Fonctions de 3 variables : un survol.