Groupe de travail sur les travaux de Agol et Wise


Organisateurs : Nicolas Bergeron ( page web ) et Frédéric Haglund ( page web ) .


En mars 2012 Ian Agol a annoncé la solution de la conjecture virtuellement Haken pour les variétés hyperboliques compactes sans bord de dimension 3. Son argument consiste à démontrer une conjecture proposée par Dani Wise dans son travail sur les groupes agissant sur les complexes cubiques CAT(0). Nous voulons comprendre les arguments d'Agol et les résultats de Wise qu'il utilise.

Lien vers les prépublications d'Agol et Wise :


Ian Agol : The virtual Haken conjecture (version du 12 avril 2012). Appendice écrit avec D. Groves et J. Manning.

Dani Wise : The structure of groups with a quasi-convex hierarchy  (version du 29 février 2012).

Dani Wise : Lecture Notes , expliquant le texte ci-dessus (version de juillet 2012).

Bibliographie :


[Bergeron-Haglund-Wise] N. Bergeron, F. Haglund et D. Wise. Hyperplane sections in arithmetic hyperbolic manifolds. J. London Math. Soc. (2011) 83 (2): 431-448.

[Bergeron-Wise] N. Bergeron et D. Wise. A boundary criterion for cubulation. http://arxiv.org/abs/0908.3609

[Chatterji-Niblo]  I. Chatterji et G. Niblo. From wall spaces to CAT(0) cube complexes, International Journal of Algebra and Computation, 15, (5-6), 875-885.

[Chepoi] Victor Chepoi. Graphs of some CAT(0) complexes. Adv. Appl. Math., 24 :125-179, 2000.

[Davis] Mike Davis. The Geometry and Topology of Coxeter Groups.  www.math.osu.edu/~davis.12/davisbook.pdf

[Giralt] Anne Giralt. Cubulation de variétés arithmétiques. Le pdf est ici .

[Gromov] Misha Gromov. Hyperbolic groups, Essays in Group Theory, S. Gersten ed., MSRI Publications 8 (1987), 75-265 Springer.

[Haglund-Paulin] Simplicité de groupes d'automorphismes d'espaces à courbure négative. Geom. Topol. Monogr. 1 (1998), 181-248.

[Haglund-Wise1] F. Haglund et D. Wise. Special cube complexes. Geom. Funct. Anal., 17 :1551-1620, 2007.

[Haglund-Wise2] F. Haglund et D. Wise. A combination theorem for special cube complexes, à paraître. Le pdf est ici .

[Hruska-Wise] Finiteness properties of cubulated groups. http://arxiv.org/abs/1209.1074

[Hsu-Wise] Cubulating malnormal amalgams. Preprint disponible ici .

[Nica]  Bogdan Nica. Cubulating spaces with walls, Algebraic and Geometric Topology 4 (2004), 297-309.

[Sageev1]  Michah Sageev. Ends of Group Pairs and Non-Positively Curved Cube Complexes, Proc. London Math. Soc. (1995) s3-71 (3): 585-617.

[Sageev2]  Michah Sageev. Codimension 1 subgroups and splittings of groups. Journal of Algebra, 189 : 377-389, 1997.

[Wise1] Daniel T. Wise. The residual finiteness of negatively curved polygons of finite groups. Inventiones Mathematicae (2002) vol. 149, issue 3, pp. 579-617.

[Wise2] Daniel T. Wise. Subgroup separability of the figure 8 knot group. Topology (2006)  45 (3) 421–463.

[Wise3] Daniel T. Wise. Cubulating small cancellation groups. Geometric And Functional Analysis (2004) Volume 14, Number 1, Pages 150-214.


Documents :

Dans sa thèse Guillaume Dufour explique comment cubuler une 3-variété hyperbolique close fibrée sur le cercle. Il commence par donner un critère général de cubulation d'une variété hyperbolique, qui est équivalent à celui de [BergeronWise], mais l'argument est indépendant de [Sageev2]. Autrement dit le texte de Guillaume contient un argument complet; ce texte est disponible à  http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00690334/ .

Dans son mémoire de M2 Anne Giralt explique pourquoi les réseaux uniformes arithmétiques des espaces hyperboliques réels sont cubiques virtuellement spéciaux ([Bergeron-Haglund-Wise]). Voir ci-dessus.


Exposés de la première séance :

L'exposé 1 est à peu près couvert par le mémoire d'Anne Giralt.

Notes sur l'exposé 2 : ici .

Notes sur l'exposé 3 : voir ci-dessous.


Exposés de la deuxième séance :

Notes sur l'exposé 1 (suite de l'exposé 3 de la 1ère séance) : ici .

Notes sur l'exposé 2 : bientôt ici .


Exposés de la troisième séance :

Notes sur l'exposé 1 (suite de l'exposé 2 de la 2ère séance) : en attente. Voici déjà un dessin résumant l'argument pour construire des revêtements finis, et voilà un autre dessin évoquant la construction de la complétion/rétraction canonique par opération de couper/croiser.


Exposés de la cinquième séance :

Notes sur l'exposé de Peter Haïssinski : ici .


Exposés des cinquième et sixième séance :

Notes sur les exposés de Vincent Guirardel : ici .

Exposés de la septième et dernière séance :

Notes sur les exposés de  Nicolas Bergeron : ici .

Organisation :


Le groupe de travail se réunit le vendredi toutes les 3 semaines (environ). Il a lieu de 11h00 à 15h00.

Programme :

Séance 1, vendredi 5 Octobre :

11h00-12h00 : Anne Giralt (Jussieu) présente les complexes cubiques CAT(0) et spéciaux. Elle explique les grandes lignes de la cubulation des variétés hyperboliques de dimension 3 (en admettant Kahn-Markovic).

12h00-12h30 : Frédéric Haglund explique quelques applications des complexes cubiques spéciaux aux 3-variétés et aux groupes hyperboliques.

12h30-13h30 : Repas.

13h30-15h00 : Nicolas Bergeron présente certains résultats importants de Wise et, en admettant ceux-ci, esquisse la démonstration par Agol de "virtuellement Haken".

Séance 2, vendredi 26 Octobre :

11h00-12h30 : Nicolas Bergeron explique l'argument de Agol pour démontrer "virtuellement Haken cubique", en admettant les résultats qu'il a déjà présentés à la dernière séance.

12h30-13h30 : Repas.

13h30-15h00 : Frédéric Haglund explique comment compléter "canoniquement" une isométrie locale en un revêtement muni d'une rétraction (dans le contexte cubique spécial). Puis comment utiliser cette complétion/rétraction canonique pour construire des revêtements de graphes d'espaces.

Séance 3, vendredi 30 Novembre :

11h00-12h30 : Frédéric Haglund finit enfin son exposé de la dernière fois, en admettant Trivial Wall Projection.

12h30-13h30 : Repas.

13h30-15h00 : Alexandre Martin explique la cubulation des groupes à petite simplification par Dani Wise.

Séance 4, vendredi 14 Décembre :

11h00-13h00 : Frédéric Haglund explique Trivial Wall Projection.

13h00-... : Repas et discussions.

Séance 5, vendredi 18 Janvier :

11h00-12h30 : Vincent Guirardel explique la petite simplification géométrique : comment l'hypothèse de relateurs quasi-convexes et malnormaux dans un groupe hyperbolique permet de contrôler la géométrie du quotient.

12h30-13h30 : Repas.

13h30-15h00 : Peter Haissinski explique comment le résultat d'Agol peut être utilisé pour aborder la conjecture de Cannon (dans le contexte cubique).

Séance 6, vendredi 22 Février :

Vincent Guirardel montre comment la petite simplification permet de construire des murs au quotient, tout en contrôlant leur géométrie. Il en déduit que les quotients par des relateurs d'indices finis assez grands dans les relateurs de départ ont une hiérarchie quasi-convexe malnormale, terminant sur des groupes libres. Ceci prouve MSQT.

Séance 7, vendredi 22 Mars :

11h00-12h30 : Anne Giralt présente la cubulation des amalgames hyperboliques, quasi-convexes et malnormaux (d'après Hsu et Wise).

12h30-13h30 : Repas.

13h30-15h00 : Nicolas Bergeron explique la preuve du théorème d'Agol-Groves-Manning : tout sous-groupe quasi-convexe virtuellement spécial d'un groupe hyperbolique est faiblement séparable.  C'était le point de départ de l'argument d'Agol, et le dernier résultat utilisé pour virtuellement Hakenpas encore abordé dans ce groupe de travail.