Cours de Magistère : Introduction à la analytique des nombres
Il s'agit d'un cours de niveau M1 qui constitue une introduction à l'étude des nombres premiers et de la théorie des nombres analytique élémentaire.
Le cours a lieu à partir de février 2010 au Bâtiment 460, Orsay, les vendredis de 14h à 17h en salle B14 au rez-de-chaussée.
Devoir à la maison à rendre pour le 7 mai 2010 :
Une fomulation équivalente de l'hypothèse de Riemann.
Examen le 9 juin 2010 de 13h30 à 17h30 en bâtiment 336 sous-sol.
Notions abordées:
- Théorème de Tchebycheff, postulat de Bertrand.
- Propriétés élémentaires de la fonction zéta, transformée de Mellin, formule sommatoire de Poisson, fonction théta
- Prolongement analytique de zéta, equation fonctionnelle, écriture de zéta en fonction de ses zéros.
- Théorème des nombres premiers.
- Caractères des groupes abliens finis et caractères de Dirichlet.
- Fonctions L de Dirichlet, hypothèse de Riemann généralisée.
- Théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
- Crible de Selberg, théorème de Brun sur les nombres premiers jumeaux.
- Loi de réciprocité quadratique, solutions entières des formes quadratiques.
- Sommes de Gauss et répartition des résidus quadratiques.
- L'inégalité du grand crible.
- Théorème de Linnik sur le plus petit non-résidu quadratique.