Guy MOEBS

Titre de la thèse :

Application de méthodes spectrales multi-niveaux à différents problèmes de la physique mathématique

Date de soutenance : 10 juillet 1998

Etablissement de soutenance : Université Paris-Sud, Centre d'Orsay

Laboratoire de soutenance : Laboratoire d'Analyse Numérique et Equations aux Dérivées Partielles

Directeur de thèse : Roger TEMAM

Résumé :
L'objet de ce travail est l'étude de certains aspects des méthodes spectrales multi-niveaux appliquées à differents problèmes de la physique mathématique.
Dans un premier temps, nous considérons l'équation de Schroedinger non linéaire faiblement amortie comme modèle de la transmission de signaux binaires dans une fibre optique. Nous employons la méthode Fourier-Collocation associée au schéma en temps Split-Step Agrawal. Une étude du spectre de Fourier nous permet de mettre en évidence le rôle prépondérant de l'opérateur linéaire dans l'équation régissant les hautes fréquences. La méthode qui en résulte est validée pour différents niveaux de séparation entre basses et hautes fréquences et démontre sa capacité à calculer ces dernières de manière plus économique.
Ensuite nous étudions le traitement de conditions limites non périodiques pour une méthode spectrale à deux niveaux : la méthode Tau-Legendre appliquée au problème d'électromagnétisme 2D de la cavité résonnante. Nous considérons différentes discrétisations temporelles conservatives, explicites ou implicites. La non-commutativité des opérateurs spectraux de dérivation spatiale et de projection orthogonale sur les basses et les hautes fréquences, entraine un couplage des équations projetées, qui est renforcé par le caractère global des conditions limites . Un algorithme itératif de type Gauss-Seidel par blocs, sous-relaxé, nous permet de résoudre ce système. Nous menons alors une étude comparative des différents schémas.
Enfin, nous présentons des résultats obtenus avec l'équation de Burgers stochastique prise comme modèle de turbulence. Pour des conditions limites périodiques nous étudions l'évolution en temps des quantités moyennées issues des projections sur les grandes et les petites structures. Pour des conditions limites de non glissement, nous comparons les résultats obtenus par discrétisation spatiale spectrale avec ceux obtenus à l'aide d'une discrétisation par différences finies.

Abstract :
This work deals with some aspects of multilevel spectral methods applied to several problems of the mathematical physics.
In a first part, we consider the weakly damped nonlinear Schrödinger equation as a propagation model for solitons through optical fibers. We use the pseudospectral Fourier method associated to the Split-Step Agrawal temporal scheme. A study of the Fourier spectrum allows us to underline the main part of the linear operator in the high frequencies equation. This method is performed for several splitting levels in frequencies; moreover it turns out that the method saves computing time when computing high frequencies.
Next, we study the treatment of nonperiodic boundary conditions for a two level spectral method, that is the Tau-Legendre method applied to a 2D electromagnetic problem : the resonant cavity. We consider several conservative discretizations in time, either explicit or implicit. The non-commutativity of the derivative operators with the orthogonal projectors onto the low and the high frequencies spaces, provides a coupling system for the projected equations, which is enforced by the global nature of the boundary conditions. An underrelaxed iterative algorithm of Gauss-Seidel type allows us to solve this system. Then we carry out a comparative study of the different schemes.
At least, we present results obtained with the stochastic Burgers equation as a turbulence model. For periodic boundary conditions we study the time evolution of the averaged quantities from the projections on the large and the small scales. For non-slip boundary conditions we compare results obtained by a spectral spatial discretization with those obtained by a finite differences method.

Membres du jury : Christine BERNARDI (Présidente), Jacques LIANDRAT (Rapporteur), Jie Shen (Rapporteur), François JAUBERTEAU, Gérard LABROSSE, Roger TEMAM, Joseph ZYSS (Invité)

Mots-Clefs : méthodes spectrales; méthodes multi-niveaux; séparation des échelles; équation de Schroedinger; équation de Maxwell; équation de Burgers; projections orthogonales

Keywords : spectral methods; multilevel methods; scales splitting; Schrödinger equation; Maxwell equation; Burgers' equation; orthogonal projections

Classification MSC : 65M70; 65N35; 65P05

Article : Fichier Postscript (Compressé)

Contact : Guy.Moebs@math.u-psud.fr