Prépublication d'Orsay numéro 3 (28/1/1999)

PARAPRODUIT SUR LE GROUPE DE HEISENBERG ET APPLICATIONS.
BAHOURI, Hajer - Faculté des Sciences de Tunis, 1060 Tunis, Tunisie.
GALLAGHER, Isabelle - Analyse Numérique et E.D.P., Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex

En adaptant au cas inhomogène le décomposition de Littlewood-Paley homogène sur le groupe de Heisenberg introduite par H.Bahouri, P.Gérard et C.-J.Xu dans [3], on construit des opérateurs de paraproduit analogues à ceux définis par J.-M.Bony dans [4]; malgré le fait que l'on ne dispose pas de formule simple pour la transformée de Fourier d'un produit, des propriétés de localisation spectrale du cas classique sont préservées sur le groupe de Heisenberg après passage au produit. A partir du découpage dyadique et du paraproduit, on démontre l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg sur le groupe de Heisenberg, et l'on étudie la régularité des solutions de systèmes sous-elliptiques semi-linéaires, ainsi que des équations d'ondes semi-linéaires.

We adapt the homogeneous Littlewood-Paley decomposition on the Heisenberg group constructed by H.Bahouri, P.Gérard and C.-J.Xu in [3] to the homogeneous case, which enables us to build paraproduct operators, similar to those defined by J.-M.Bony in [4]; althought there is no simple formula for the Fourier transform of the product of two functions, some spectral localization properties of the classical case are preserved on the Heisenberg group after the product has been taken. Using the dyadic decomposition and the paraproduct algorithm, we prove the Gagliardo-Nirenberg inequality on the Heisenberg group; the smoothness of solutions of subelliptic, semi-linear systems is also studied, as well as semi-linear wave equations.