Le premier chapitre de ce mémoire traite de divers problèmes de la
mécanique des fluides, et est divisé en deux sous--parties, concernant
respectivement les équations d'Euler et de Navier--Stokes pour la
première, et quelques problèmes perturbatifs pour la seconde. Dans la
première partie, on s'intéresse donc aux équations fondamentales de la
mécanique des fluides, qui sont les équations d'Euler et de
Navier--Stokes. On commence par considérer l'équation d'Euler bidimensionnelle,
pour laquelle on étudie les propriétés de convergence d'un schéma numérique.
Les autres sections de cette partie traitent des équations de Navier--Stokes
tridimensionnelles: on cherche notamment à résoudre ces équations en présence
de symétries (données bidimensionnelles ou encore axisymétriques). On
démontre également des résultats de type fort--faible dans le cas de
ces configurations particulières, mais aussi pour les équations tridimensionnelles
traditionnelles; la méthode employée permet aussi de démontrer de nouveaux
résultats d'existence globale pour les équations bidimensionnelles.
Ensuite, en anticipant sur des modélisations qui apparaîtront dans la seconde
partie de ce chapitre, on étudie les équations de Navier--Stokes
tridimensionnelles quand la viscosité devient négligeable dans une direction.
Enfin une section est consacrée
à une étude plus qualitative des solutions des équations de Navier--Stokes
tridimensionnelles, en cherchant à faire apparaître des phénomènes de
concentrations (par des décompositions en profils). Dans la seconde partie,
on considère des problèmes de perturbations des équations d'Euler et de
Navier--Stokes. Ces perturbations, encore appellées pénalisations car elles
apparaissent dans les équations comme des termes a priori non bornés,
mo\-délisent dans une certaine approximation des phénomènes physiques du type
compres\-sibilité, ou influence de la rotation de la Terre sur le mouvement des
océans ou de l'atmosphère. On commence par considérer le cas de conditions
aux limites périodiques, et l'on analyse le comportement asymptotique des
solutions d'équations successivement hyperboliques, paraboliques, et de
type mixte hyperbolique--parabolique, pénalisées par un opérateur antisymétrique.
Des phénomènes de fortes oscillations en temps sont mis en évidence, dont il
s'agit de comprendre l'influence sur le système. On montre ainsi que les solutions
de ces équations, une fois convenablement ``filtrées'', convergent vers un système
limite couplé: dans le cas des fluides tournants tridimensionnels par exemple,
on obtient à la limite les équations de Navier--Stokes bidimensionnelles couplées
avec une équation portant sur un champ ``oscillant''.
On considère ensuite le cas où les équations sont posées dans l'espace
entier, en se limitant pour cette étude aux fluides tournants
visqueux, tridimensionnels. Les oscillations qui étaient présentes
dans le cas périodique disparaissent, remplacées par de la
dispersion. Le système limite se trouve alors être plus simple que
dans le cas périodique, puisqu'il ne reste plus à la limite que les équations
de Navier--Stokes bidimensionnelles.
Le second chapitre de ce mémoire est dévolu à trois études concernant
l'équation des ondes. La première partie de ce chapitre est dédiée à
l'équation des ondes semi linéaire critique à l'extérieur d'un
domaine strictement convexe de l'espace. On montre des résultats de
décompositions en profils pour des suites de solutions de cette
équation; ces résultats ont d'ailleurs inspiré l'étude évoquée plus
haut sur des décompositions en profils pour les équations de
Navier--Stokes tridimensionnelles. Dans la seconde partie, on
s'intéresse à l'équation des ondes cubique en trois dimensions
d'espace: en appliquant une méthode utilisée précédemment pour
démontrer des résultats d'unicité fort--faible pour les équations de
Navier--Stokes, on cherche à obtenir des solutions globales pour cette
équation, associées à des données initiales dans un espace de
régularité aussi proche possible que celui donné par l'échelle de
l'équation. Enfin dans la dernière partie, on considère une équation
des ondes semi linéaire posée sur le groupe de Heisenberg. La plus
grande partie du travail concerne la construction d'un paraproduit sur
ce groupe; ce paraproduit, associé à des estimations de Strichartz
déjà connues, permet d'obtenir des résultats sur les équations d'ondes
semi linéaires.
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