Groupe de Travail "Algèbre et Géométrie" automne 2010
Ce groupe de travail a pour thème principal l'arithmétique des systèmes dynamiques. Notre référence principale sera le livre [1]. Il s'agit d'un sujet de recherche en géométrie arithmétique actuellement en plein essor. Ce sera pour nous l'occasion d'introduire un certain nombre d'outils utiles à toute personne souhaitant faire de la géométrie arithmétique (indépendamment du thème dynamique). Notamment nous verrons une construction des corps p-adiques (complétés du corps des rationnels pour la valeur absolue p-adique), ainsi que du complété C_p de leur clôture algébrique (analogue du corps des complexes pour les réels). Une propriété remarquable de C_p est qu'il s'agit d'un corps algébriquement clos.

Après un exposé sur la dynamique sur la droite projective complexe, via la formule de Riemann-Hurwitz sur P^1, nous aborderons l'étude de la dynamique sur les corps p-adiques ; par exemple la dynamique de l'application (z^2-z)/p sur le corps C_p.

Pour aller plus avant dans l'étude il nous faudra introduire un autre outil fondamental : la notion de hauteur d'un nombre algébrique (qui mesure en un certain sens la complexité arithmétique dudit nombre). Nous ferons alors une petite excursion dans le monde de l'approximation diophantienne, via un problème de minoration de hauteur très lié à cette thématique : le problème de Lehmer.

Enfin nous tâcherons d'aborder la question de dynamique en dimension supérieure : dynamique d'automorphismes affines, et nous nous intéresserons également à un objet théorique qui semble mieux adapté que C_p pour les questions de dynamiques non-archimédiennes : le disque et la droite de Berkovitch. Là encore l'objectif sera d'effleurer un sujet de recherche en pleine expansion.


Référence principale : [1] Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer, GTM 241.
Autres références   :

Sur les nombres p-adiques :
[2] notes de cours de P. Colmez, nombres-p-adiques.pdf
[3] p-adic Numbers de F. Q. Gouvea, Universitext, Springer
[4] p-adic Numbers, p-adic Analysis and zeta functions de N. Koblitz, GTM 58, Springer
[5] Cours d'Arithmétique de J.-P. Serre, PUF
[6] A course in p-Adic analysis de A. Robert, GTM, Springer

Sur la droite de Berkovich :
[7] Potential Theory and Dynamics on the Berkovich Projective Line, with Robert Rumely, AMS Mathematical Surveys and Monographs 159 (2010), 428 pages.

Sur l'approximation diophantienne :
[8] Diophantine Geometry : an Introduction, de M. Hindry et J. Silverman, GTM 201, Springer
[9] Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups, de M. Waldschmidt, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 326, Springer
[10]

autre référence
[11] Rational periodic points of rational functions de P. Morton et J. Silverman Int Math Res Notices (1994) Vol. 1994 97-110


TITRE DES EXPOSES
  1. Construction de Q_p (ref. : notes de Colmez)
  2. Lemme de Hensel et construction de C_p (ref. : notes de Colmez)
  3. Dynamique sur P^1(C), formule de Riemann-Hurwitz (ref. : chap. 1 de [1])
  4. Dynamique sur les corps locaux : bonne réduction (ref. : chap. 2 de [1] et éventuellement paragraphe 3 de [11])
  5. Dynamique de (z^2-z)/p dans C_p (ref. : chap. 5 de [1])
  6. Hauteurs, Northcott et Kronecker (ref. : chap 3 de [1])
  7. Hauteurs canonique (ref. : chap 3 de [1])
  8. Lemmes de Siegel (ref. :  [8] et  [10] ?)
  9. Problème de Lehmer, théorème de Dobrowolski (ref. : [9])
  10. Dynamique en dimension supérieure (ref. : [1] chap 7.1)
  11. Disque de  Berkovich (ref. : [1] et [7]) 
  12. Droite de Berkovich (ref. :  [1] et [7])