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\def\finducours#1{
\vskip.5cm
\hbox{{\vrule height 2pt width \finwidth} Fin du cours n$^0$#1}
\vskip.5cm\par}

\title{Calcul Intégral}
\author{P. Pansu}

\newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lemme]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lemme]{D{\'e}finition}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\newtheorem{ex}[lemme]{Exemple}
\newtheorem{exo}[lemme]{Exercice}
\newtheorem{rappel}[lemme]{Rappel}
\newtheorem{nota}[lemme]{Notation}
\newtheorem{ques}[lemme]{Question}
\newenvironment{pf}{\begin{trivlist}\item[]{\bf Preuve}}
{\mbox{}\hfill\rule{.08in}{.08in}\end{trivlist}}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\div{\hskip-2pt\setminus\hskip-2pt}
\def\eps{\epsilon}
\def\d{\displaystyle}
\def\n#1{|\hskip-1pt |#1|\hskip-1pt|}


\begin{document}
\maketitle

\section*{Conventions}

En \textcolor{blue}{bleu}, les paragraphes qui n'ont pas été traités, ou alors de façon évasive. En \textcolor{red}{rouge}, les démonstrations que tout étudiant doit être capable de refaire. La plupart font l'objet d'un exercice de TD. Elles sont susceptibles d'être exigées aux contrôles.

\section{Dénombrabilité}

\subsection{Définition}

\begin{defi}
Deux ensembles $E$ et $F$ ont même cardinal s'il existe une bijection de $E$ sur $F$. Un ensemble est dénombrable s'il a même cardinal que $\N$.
\end{defi}

\begin{ex}
$\Z$ est dénombrable.
\end{ex}
Poser $f(n)=2n$ si $n\geq 0$ et $f(n)=-2n-1$ si $n<0$. Dessin.

\begin{prop}
Tout sous-ensemble infini de $\N$ est dénombrable. Tout sous-ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable.
\end{prop}
Numéroter par ordre croissant.

\begin{ex}
L'ensemble des nombres premiers est dénombrable.
\end{ex}

\subsection{Résultats}

\begin{prop}
$\N\times\N$ est dénombrable.
\end{prop}
Soit $p_n$ le $n$-ème nombre premier. Envoyer $(n,m)$ sur $(p_n)^m$.

\begin{cor}[Hotel de Hilbert]
Un ensemble qui est réunion disjointe d'une suite d'ensembles dénombrable est dénombrable.
\end{cor}

\begin{ex}
$\Q$ est dénombrable.
\end{ex}

\begin{theo}
\label{Cantor}
$\R$ n'est pas dénombrable.
\end{theo}

\begin{pf}
On montre par l'absurde que le sous-ensemble $E$ des réels possédant un développement décimal commençant par $0$ et ne comportant que des $0$ et des $1$ n'est pas dénombrable. Sinon, $E$ est une suite $x_n$, $n\geq 1$. On construit un nombre réel $y$ comme suit. Son premier chiffre après la virgule n'est pas celui de $x_1$. Son second chiffre après la virgule n'est pas celui de $x_2$, etc.... De la sorte, $y$ diffère de tous les $x_n$, donc n'appartient pas à $E$, contradiction. 
\end{pf}

\subsection{Propriétés de $\R$}

$\R$ est bien différent de $\N$, on ne peut pas raisonner sur les réels de la même façon. Ce qui remplace le plus petit élément d'un ensemble d'entier, c'est la borne inférieure d'un ensemble de réels.

\begin{defi}
Soit $E\subset \R$ un sous-ensemble majoré. La {\em borne supérieure} $b$ de $E$ est le plus petit des majorants. I.e.
\begin{eqnarray*}
\forall x\in E,~x\leq b,\quad\textrm{et}\quad\forall\eps>0,~\exists x\in E \textrm{ tel que }b-\eps <x\leq b.
\end{eqnarray*}
Si $E$ n'est pas majoré, on pose $\sup E =+\infty$. Idem borne inférieure.
\end{defi}

Si $u_n$ est une suite majorée d'entiers, il y a une valeur $\ell$ qui est prise une infinité de fois. Voici l'analogue pour les suites de réels.
\begin{defi}
Soit $(u_n)$ une suite majorée de réels. Sa {\em limite supérieure} est la borne inférieure de l'ensemble des réels $M$ tels que seul un nombre fini de termes de la suite sont $\geq M$. Par convention, si $(u_n)$ est une suite non majorée de réels, sa limite supérieure vaut $+\infty$.
\end{defi}

\begin{prop}
Soit $(u_n)$ une suite de réels. Alors
\begin{eqnarray*}
\limsup u_n =\lim_{n\to\infty}\sup\{u_{k}\,;\,k\geq n\}.
\end{eqnarray*}
\end{prop}

\begin{pf}
\textcolor{red}{Voir en TD}.
\end{pf}

\section{L'intégrale de Riemann}

Idée (dessin) : si $f\geq 0$ sur $[a,b]$, $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$ est l'aire du domaine plan $\{(x,y)\in\R^2 \,;\, a\leq x\leq b,\,0\leq y\leq f(x)\}$. On approxime ce domaine par une réunion de rectangles. Cela revient à approximer $f$ par une fonction en escalier.

\subsection{Historique}

Calcul de l'aire sous la parabole par Archimède. Truc pour calculer la somme des puissances $k$-èmes des premiers entiers.

\subsection{Fonctions en escalier}

\begin{defi}
\label{defesc}
Une {\em subdivision} de l'intervalle $[a,b]$, c'est une suite finie $S$ de la forme
\begin{eqnarray*}
a=s_0 < s_1 <\cdots<s_n =b.
\end{eqnarray*}
Le {\em pas} de la subdivision $S$ est $|S|=\max_i |s_{i+1}-s_{i}|$.

%On dit qu'une subdivision $T$ est {\em plus fine} que $S$ si $S\subset T$.

Une fonction $f:[a,b]\to\R$ est {\em en escalier}, s'il existe une subdivision
$a=s_0 < s_1 <\cdots<s_n =b$ telle que $f$ est constante sur chaque intervalle ouvert $]s_{i},s_{i+1}[$.

L'{\em intégrale} d'une fonction en escalier est
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=0}^{n-1}(s_{i+1}-s_{i})f_i ,
\end{eqnarray*}
où $f_i$ est la valeur de $f$ sur l'intervalle $]s_{i},s_{i+1}[$.
\end{defi}

Analogie pour une fonction bornée quelconque (dessin).

\begin{defi}
Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction bornée. Soit $S$ une subdivision de $[a,b]$. On note 
\begin{eqnarray*}
m_i =\inf_{]s_{i},s_{i+1}[}f,\quad M_i =\inf_{]s_{i},s_{i+1}[}f.
\end{eqnarray*}
On appelle {\em sommes de Darboux} de $f$ sur la subdivision $S$ les nombres
\begin{eqnarray*}
\sigma(S,f)=\sum_{i=0}^{n-1}(s_{i+1}-s_{i})m_i , \quad\Sigma(S,f)=\sum_{i=0}^{n-1}(s_{i+1}-s_{i})M_i .
\end{eqnarray*}
\end{defi}

Lorsqu'on remplace $S$ par une subdivision plus fine (i.e. qui la contient), $\sigma(S,f)$ augmente, $\Sigma(S,f)$ diminue mais on a toujours $\sigma(S,f)\leq \Sigma(S,f)$. Cela fait penser aux suites adjacentes. Pour qu'il y ait une limite, il suffit que la différence tende vers $0$.

\subsection{Fonctions Riemann-intégrables}

\begin{defi}
On dit qu'une fonction bornée $f:[a,b]\to\R$ est {\em Riemann-intégrable} si, quand le pas $|S|$ tend vers $0$, la différence $\Sigma(S,f)-\sigma(S,f)$ tend aussi vers $0$. Sa limite est l'{\em intégrale} de $f$, notée $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$.
\end{defi}

\begin{prop}[Admise]
Une fonction bornée $f:[a,b]\to\R$ est Riemann-intégrable si et seulement si
\begin{eqnarray*}
\sup_S \sigma(S,f) = \inf_S \Sigma(S,f).
\end{eqnarray*}
La valeur commune de ces deux nombres est l'intégrale de $f$
\end{prop}

\begin{ex}
Pour une fonction en escalier, les deux définitions coïncident.
\end{ex}
\textcolor{blue}{En effet, $m_i$ ne diffère de $M_i$ que pour les intervalles de la subdivision $S$ qui contiennent une discontinuïté de $f$. Leur nombre est borné, donc la somme de leurs longueurs tend vers $0$ avec le pas $|S|$. Les différences $M_i -m_i$ sont bornées, donc $\Sigma(S,f)-\sigma(S,f)$ tend vers $0$ avec $|S|$.}

\subsection{Exemples de fonctions Riemann-intégrables}

\begin{prop}
Une fonction bornée et monotone sur $[a,b]$ est Riemann-intégrable.
\end{prop}
Dessin.

\begin{prop}
\label{contRint}
Une fonction continue sur $[a,b]$ est Riemann-intégrable.
\end{prop}

\begin{pf}
Par uniforme continuïté (théorème de Heine-Cantor), pour tout $\eps>0$ il existe $\delta>0$ tel que si $x$, $y\in[a,b]$ et $|x-y|<\delta$, alors $|f(x)-f(y)|<\eps$. Soit $S$ une subdivision de $[a,b]$ de pas $<\delta$. Si $x$ et $y$ appartiennent au même intervalle de la subdivision, $|x-y|\leq |S|<\delta$, donc $|f(x)-f(y)|<\eps$. Cela entraîne que $M_i -m_i <\eps$, et donc que 
\begin{eqnarray*}
\Sigma(S,f)-\sigma(S,f)=\sum_{i}(M_i -m_i)(s_{i+1}-s_i)<\eps\sum_{i}(s_{i+1}-s_i)=\eps(b-a).
\end{eqnarray*}
On conclut que $\Sigma(S,f)-\sigma(S,f)$ tend vers $0$ avec $|S|$.
\end{pf}

\finducours1

\subsection{Intégrales et suites}

On ne revient pas sur les propriétés usuelles de l'intégrale. On se concentre sur les questions de convergence. On admettra deux conséquences de la Riemann-intégrabilité. Les preuves sont simples mais un peu longues.

1. On peut voir l'intégrale comme une limite.
\begin{prop}[Admis]
Soit $n\geq 1$ un entier. On choisit un point $t_i \in[a+i\frac{b-a}{n},a+(i+1)\frac{b-a}{n}]$. On appelle {\em sommes de Riemann} de $f$ les nombres
\begin{eqnarray*}
\Sigma_n (f)=\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i) .
\end{eqnarray*}
Si $f$ est Riemann-intégrable, alors la suite $\Sigma_n (f)$ converge
et alors
\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\lim_{n\to\infty}\Sigma_n (f).
\end{eqnarray*}
\end{prop}

Cela sert surtout à prouver la convergence de suites et à en donner la limite, voir TD.

\medskip

2. On peut voir la Riemann-intégrabilité comme une propriété d'approximation par des fonctions en escalier.

\begin{prop}[Admis]
\label{rint}
Une fonction bornée $f:[a,b]\to\R$ est Riemann-intégrable si et seulement si $\forall\eps>0$, il existe des fonctions en escalier $g$ et $h$ telles que $g\leq f \leq h$ et $\int_{a}^{b}(h-g)(t)\,dt<\eps$.
\end{prop}

Remarquer que c'est une intégrale qui sert à mesurer l'écart entre $g$ et $h$.

\subsection{Convergence uniforme}

\begin{theo}
\label{cu=>Rint}
Si $(f_n)$ est une suite de fonctions Riemann-intégrables sur $[a,b]$ qui converge uniformément vers une fonction $f$, alors $f$ est Riemann-intégrable.
\end{theo}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire, voir en TD).\\
1. $f$ est bornée.\\
2. Soit $\eps_n =\sup |f-f_n|$. Comme $f_n$ converge uniformément vers $f$, $\eps_n$ tend vers $0$.\\
Sur toute subdivision, on a pour tout $i$, $m_i (f_n)-\eps_n\leq m_i (f)$ et $M_i (f)\leq M_i (f_n)+\eps_n$. D'où
\begin{eqnarray*}
\sigma(S,f_n)-\eps_n (b-a)\leq \sigma(S,f) \leq \Sigma(S,f) \leq \Sigma(S,f_n)+\eps_n (b-a).
\end{eqnarray*}
Comme $f_n$ est Riemann-intégrable, pour tout $n$,
\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{b}f_n (s)\,ds-\eps_n (b-a)\leq \sup_S \sigma(S,f) \leq \inf_S \Sigma(S,f) \leq \int_{a}^{b}f_n (s)\,ds+\eps_n (b-a).
\end{eqnarray*}
En faisant tendre $n$ vers l'infini, il vient
\begin{eqnarray*}
\sup_S \sigma(S,f) = \inf_S \Sigma(S,f),
\end{eqnarray*}
donc $f$ est Riemann-intégrable.}
\end{pf}

\begin{ex}
Toute fonction continue par morceaux est limite uniforme de fonctions en escalier.
\end{ex}
Utiliser la continuïté uniforme, comme dans la preuve de la proposition \ref{contRint}.

\begin{defi}
On appelle {\em fonctions réglées} les limites uniformes de fonctions en escalier. 
\end{defi}
Un théorème (que nous ne démontrerons pas) affirme qu'une fonction $f:[a,b]\to\R$ est réglée si et seulement si elle admet en chaque point une limite à droite et une limite à gauche. On verra en TD qu'une fonction réglée est bornée et est continue sauf en un nombre fini ou dénombrable de points. 

\begin{ex}[Fonction réglée avec une infinité de discontinuïtés]
Soit $f$ la fonction qui vaut $1/n$ sur $]\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ et $0$ en $0$. Alors $f$ est réglée sur $[0,1]$.
\end{ex}
On pose $f_n =f$ sur $]\frac{1}{n},1]$ et $0$ ailleurs. Alors $f_n$ est en escalier et $\sup|f-f_n|\leq\frac{1}{n}$.

\begin{ex}[Fonction réglée discontinue sur un ensemble dense]
Soit $f$ la fonction qui vaut $1/q$ sur les rationnels de $[0,1]$ de dénominateur $q$ et $0$ ailleurs. Alors $f$ est réglée.
\end{ex}
$f$ est continue en tous les irrationnels. Soit $f_n$ la fonction qui vaut $1/q$ sur les rationnels de $[0,1]$ de dénominateur $q\leq n$ et $0$ ailleurs. Alors $f$ est en escalier et $\sup|f-f_n|\leq\frac{1}{n}$.

\subsection{Exemple de fonction qui n'est pas Riemann-intégrable}

\begin{ex}
\label{chiq}
Soit $f$ la fonction qui vaut $1$ sur $\Q\cap[0,1]$ et $0$ ailleurs. Alors $f$ n'est pas Riemann-intégrable.
\end{ex}
En effet, sur tout intervalle de toute subdivision, $m_i =0$ et $M_i =1$ donc $\sigma(S,f)=0$, $\Sigma(S,f)=1$, la différence ne tend pas vers $0$.

\subsection{Exemple de fonction Riemann-intégrable qui n'est pas réglée}

Soit $E_0 =[0,1]$. Soit $E_1 \subset E_0$ le complémentaire de l'intervalle central $]\frac{1}{3},\frac{2}{3}[$. Soit $E_2 \subset E_1$ l'ensemble obtenu en retirant à $E_1$ les deux intervalles centraux $]\frac{1}{9},\frac{2}{9}[$ et $]\frac{7}{9},\frac{8}{9}[$. On continue : $E_n$ est la réunion de $2^n$ intervalles de longueur $3^{-n}$. On obtient $E_{n+1}$ en retirant à chacun de ces intervalles son intervalle central. Ce procédé donne une suite décroissante d'ensembles. Soit
\begin{eqnarray*}
E=\bigcap_{n\in\N}E_n .
\end{eqnarray*}
Soit $f=\chi_E$ sa fonction caractéristique. La fonction $f_n =\chi_{E_n}$ est en escalier et son intégrale vaut $\frac{2^n}{3^n}$. Comme $0\leq f\leq f_n$, cela prouve que $f$ est Riemann-intégrable. 

\textcolor{blue}{\begin{prop}
$f$ est discontinue en tout point de $E$.
\end{prop}  
\begin{pf}
Soit $x_0 \in E$. Soit $\eps>0$. Si $3^n >/\eps$, l'intervalle $]x_0 -\eps,x_0 +\eps[$ est plus long que les intervalles qui constituent $E_n$, donc il n'est pas contenu dans $E_n$. Il existe donc $x\in]x_0 -\eps,x_0 +\eps[$ tel que $f(x)=0$, alors que $f(x_0)=1$. Par conséquent, $f$ n'est pas continue en $x_0$.
\end{pf}}

\begin{prop}
$E$ n'est pas dénombrable.
\end{prop}  
\begin{pf}
Les points de $E$ sont exactement les réels qui possèdent un développement en base $3$ commençant par $0,...$ et ne comportant aucun chiffre $1$. Soit $F$ l'ensemble des suites infinies de $0$ et de $1$. On a prouvé (Théorème \ref{Cantor}) que $F$ n'est pas dénombrable. Soit $G\subset F$ le sous-ensemble des suites qui se terminent par une infinité de $0$ ou une infinité de $2$. Alors $G$ est dénombrable, donc $F\setminus G$ est non dénombrable. L'application qui à une suite de $F\setminus G$ associe le réel dont c'est le développement en base $3$ est injective. Son image est $E$ privé des nombres rationnels dont le dénominateur est une puissance de $3$. Cet ensemble est donc non dénombrable, et $E$ l'est aussi. 
\end{pf}

\textcolor{blue}{\begin{cor}
$f$ n'est pas réglée.
\end{cor}
En effet, l'ensemble des points de discontinuïté d'une fonction réglée est dénombrable (TD n$^0$1).}

\section{Le théorème de convergence dominée}

C'est un théorème qui permet, comme le Théorème \ref{cu=>Rint}, d'intervertir limite et intégrale, mais il est bien meilleur car ses hypothèses sont faibles et simples à vérifier.

\subsection{Marche d'approche}

Le rêve : si une suite de fonctions converge simplement (pour chaque $x\in [a,b]$, $\lim_{k\to\infty}f_k (x)=f(x)$), alors $\int_{a}^{b}f_k (x)\,dx$ tend vers $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$.

C'est un rêve impossible, comme le montre l'exemple suivant.

\begin{ex}
Pour $k\geq 2$, soit $f_k$ la fonction continue sur $[0,1]$, affine par morceaux, qui vaut $0$ en $0$ et sur $[\frac{2}{k},1]$, et qui vaut $k$ en $\frac{1}{k}$. Alors la suite de fonctions $(f_k)$ converge simplement vers $0$, mais $\int_{0}^{1}f_k (x)\,dx=1$ pour tout $k\geq 2$.
\end{ex}

Il faut donc une hypothèse supplémentaire.

\subsection{Quelles fonctions intégrer ?}

Poursuivons le rêve fou. On voudrait pouvoir intégrer toutes les fonctions. Ce n'est pas possible, même pour des fonctions bornées sur un intervalle $[a,b]$ (difficile à expliquer). On voudrait au moins pouvoir intégrer toutes les fonctions qui sont des limites simples de fonctions en escalier. C'est une bonne idée, donnons un nom à ces fonctions.

\begin{defi}[Provisoire, on la modifiera ensuite]
On dit qu'une fonction $f:[a,b]\to\R$ est {\em borélienne} si c'est la limite simple d'une suite de fonctions en escalier sur $\R$. Une fonction $f:\R\to\R$ est borélienne si c'est la limite simple d'une suite de fonctions en escalier définies sur des intervalles de plus en plus grands.
\end{defi}

Mais il faut se méfier, il y a des limites de fonctions en escalier dont l'intégrale est infinie.

\begin{ex}
La fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(0)=0$ et $f(x)=\frac{1}{x}$ pour $x\in]0,1]$ est limite simple d'une suite de fonctions en escalier, elle est donc borélienne, mais son intégrale est infinie.
\end{ex}
En effet, utilisons la subdivision régulière en $2^k$ intervalles. Soit $f_k$ l'approximation inférieure d'Archimède, i.e. sur $[\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}[$, $f_k$ vaut $\frac{2^k}{i+1}$.

\medskip

Dans cet exemple, pour tout $x\in[0,1]$, la suite $(f_k (x))$ est croissante. On dit que $f$ est {\em limite croissante} des $f_k$. Et on constate que l'intégrale $\int_{0}^{1}f_k (x)\,dx=\sum_{i=1}^{2^k}\frac{1}{i}\sim k$ tend vers $+\infty$.

\medskip

C'est une bonne idée d'étudier les limites croissantes. Mais les fonctions en escalier majorées par une fonction donnée sont parfois trop peu nombreuses (difficile à expliquer). Voici l'analogue borélien des fonctions en escalier.
\begin{defi}
On dit qu'une fonction $f:\R\to\R$ est {\em étagée} si elle est borélienne et ne prend qu'un nombre fini de valeurs. 
\end{defi}

\begin{ex}
La fonction caractéristique $f$ de $\Q\cap[0,1]$ (exemple \ref{chiq}) est étagée. 
\end{ex}
En effet, soit $f_k$ la fonction qui vaut $1$ sur les rationnels de dénominateur $\leq k$, et $0$ ailleurs. La suite de fonctions $f_k$ converge simplement vers $f$, donc $f$ est borélienne. Comme elle ne prend que les valeurs $0$ et $1$, elles est étagée.

\subsection{Fonctions intégrables (provisoire)}

Admettons pour l'instant (on y reviendra) qu'on sache étendre à toutes les fonctions étagées positives l'intégrale des fonctions en escalier.

\begin{defi}
Une fonction positive $f:\R\to\R_+$ est {\em intégrable} si elle est borélienne et si les intégrales des fonctions étagées majorées par $f$ restent bornées. Son {\em intégrale} est la borne supérieure de ces intégrales. Autrement dit, si on note $\mathcal{E}^{+}$ l'ensemble des fonctions étagées positives,
\begin{eqnarray*}
\int_{\R}f(x)\,dx=\sup_{\{g\in\mathcal{E}^{+}\,;\,g\leq f\}}\int_{\R}g(x)\,dx.
\end{eqnarray*}
Une fonction de signe quelconque $f:\R\to\R$ est {\em intégrable} si elle est borélienne et si $|f|$ est intégrable.
\end{defi}

Cette définition est difficile à avaler. On y reviendra. 

\subsection{Recette pour vérifier qu'une fonction d'usage courant est intégrable}

Dans l'immédiat, il faut savoir qu'il est souvent assez facile de vérifier qu'une fonction est intégrable.

\begin{ex}
Une fonction en escalier sur $[a,b]$, prolongée par $0$ hors de $[a,b]$, est intégrable et son intégrale est donnée par la formule usuelle, celle de la définition \ref{defesc}.
\end{ex}

Plus généralement, si on sait étudier la convergence d'intégrales généralisées de fonctions positives, on sait décider si une fonction continue par morceaux sur $\R$ est intégrable ou non.

\begin{prop}
\label{asymptotes}
Soit $f:\R\to \R$ une fonction continue par morceaux \emph{avec asymptotes eventuelles}, i.e. continue sauf en un nombre fini de points $-\infty=t_0<\cdots <t_i <t_{i+1}<\cdots<t_{k}=+\infty$. $f$ est intégrable si et seulement si toutes les intégrales généralisées $\int_{t_i}^{t_{i+1}}|f(x)|\,dx$ sont convergentes (i.e. convergentes aux deux bornes). Dans ce cas, l'intégrale est donnée par la formule usuelle.
\begin{eqnarray*}
\int_{\R}f(x)\,dx=\sum_{i=0}^{k-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}f(x)\,dx.
\end{eqnarray*}
\end{prop}

\begin{ex}
$f(x)=\min\{1,\frac{1}{x^2}\}$ est intégrable sur $\R$.
\end{ex}
En effet, $f$ est continue et l'intégrale généralisée converge en $-\infty$ et en $+\infty$. On a
\begin{eqnarray*}
\int_{\R}f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x^2}+\int_{-1}^{1}\,dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^2}=4.
\end{eqnarray*}

\begin{ex}
$f(x)=\frac{1}{x^2}$ n'est pas intégrable sur $\R$.
\end{ex}
En effet, il y a une discontinuïté en $0$. L'intégrale généralisée converge en $-\infty$ et en $+\infty$ mais pas en $0-$ ni $0+$.

\subsection{Enoncé du théorème}

\begin{theo}[Théorème de convergence dominée, H. Lebesgue]
Soit $(f_k)$ une suite de fonctions intégrables sur $\R$ telle que
\begin{enumerate}
  \item {\em Convergence}. Pour tout $x\in\R$, la limite $\d f(x)=\lim_{k\to \infty}f_{k}(x)$ existe.
  \item {\em Domination}. Pour tout $k$, $\d\vert f_{k}\vert\leq g$ o\`u $g$ est une fonction positive {\em ind\'ependante de} $k$.
  \item {\em Intégrabilité}. $g$ est une fonction int\'egrable sur $\R$.
\end{enumerate}
Alors $f$ est intégrable sur $\R$, et
$$\lim_{k\to \infty}\int_{\R}f_{k}(x)\,dx=\int_{\R}(\lim_{k\to \infty}f_{k}(x))\,dx=\int_{\R}f(x)\,dx.$$
\end{theo}

\begin{ex}
Soit $f_k$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^k$ si $x\in[0,1]$, $0$ ailleurs. Alors la suite $(f_k)$ converge simplement vers la fonction $f$ qui vaut $1$ en $1$ et $0$ ailleurs. Par conséquent,
$$\lim_{k\to \infty}\int_{\R}f_{k}(x)\,dx=0.$$
\end{ex}
Remarquer que la suite de fonctions $(f_k)$ ne converge pas uniformément vers $f$.

\begin{ex}
Soit $f_k$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1$ si $x\in[k,k+1]$, $0$ ailleurs. Alors la suite $(f_k)$ converge simplement vers $0$. Pourtant
$$\lim_{k\to \infty}\int_{\R}f_{k}(x)\,dx=1.$$
\end{ex}
L'hypothèse de domination est satisfaite avec $g=1$ mais $g$ n'est pas intégrable sur $\R$ (intégrale généralisée divergente en $+\infty$). 

\finducours2

\subsection{Intégrales dépendant d'un paramètre}

Ce sont des conséquences du théorème de convergence dominée.

\begin{cor}
\label{cont}
\emph{Continuït\'e d'une int\'egrale dépendant d'un paramètre.}
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\R$, $s_0 \in I$. Soit $f:\R\times I\to\R$ une fonction \`a valeurs réelles. On suppose que 
pour tout $s$ fix\'e dans $I$, la fonction $x\mapsto f(x,s)$ est            
int\'egrable sur $\R$. Pour $s\in I$, on pose
$$F(s)=\int_{\R}f(x,s)\,dx.$$
On fait les hypothèses suivantes.
\begin{enumerate}
  \item {\em Continuité}. Pour tout $x\in\R$, $s\mapsto f(x,s)$ est continue en $s_0$ ;
  \item {\em Domination}. Pour tout $s \in I$ et tout $x\in\R$, $\d\vert f(x,s)\vert\leq g(x)$ o\`u $g$ est une fonction positive {\em ind\'ependante de} $s$.
  \item {\em Intégrabilité}. $g$ est une fonction int\'egrable sur $\R$.
\end{enumerate}
Alors, $s\mapsto F(s)$ est continue en $s_0$, i.e.
$${\lim_{s\to s_0}}\int_{\R}f(x,s)\,dx=\int_{\R}f(x,s_0)\,dx.$$
\end{cor}

\begin{pf}
Il suffit de vérifier que pout toute suite $s_k$ convergeant vers $s_0$, $F(s_k)$ tend vers $F(s_0)$. Or $F(s_k)=\int_{\R}f_k (x)\,dx$, où la suite de fonctions définie par $f_k (x)=f(x,s_k)$ satisfait aux hypothèses du théorème de convergence dominée.
\end{pf}

\begin{ex}
Pour $s\in\R$, soit
\begin{eqnarray*}
F(s)=\int_{\R}\frac{\cos(sx)}{1+x^2}\,dx.
\end{eqnarray*}
Alors $F$ est continue sur $\R$.
\end{ex}
En effet, pour tout $x$, $f(x,s)=\frac{\cos(sx)}{1+x^2}$ est une fonction continue de $x$, dominée par $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ qui est intégrable car continue sur $\R$ et d'intégrale généralisée est convergente en $+\infty$ et en $-\infty$.
                                                     
\begin{cor}
\label{derivable}
\emph{(D\'erivation d'une int\'egrale dépendant d'un paramètre).}
Soit $f(x,s)$ une fonction \`a valeurs complexes, d\'efinie 
pour $x\in\R$ et pour $s \in ]{s_0},{s_1}[ \subset \R$. On suppose que 
pour tout $s$ fix\'e dans $]{s_0},{s_1}[$, la fonction $f$ est 
int\'egrable sur $\R$. Pour $s \in ]{s_0},{s_1}[$, on pose 
$$F(s)=\int_{\R}f(x,s)\,dx.$$
On fait les hypothèses suivantes.
\begin{enumerate}
  \item {\em Dérivabilité}. Pour tout $x\in\R$, $f(x,s)$ est dérivable par rapport à $s$ ;
  \item {\em Domination}. Pour tout $s \in ]{s_0},{s_1}$ et tout $x\in\R$, $\d\vert \frac{\partial f}{\partial s}(x,s)\vert\leq g$ o\`u $g$ est une fonction positive {\em ind\'ependante de} $s$.
  \item {\em Intégrabilité}. $g$ est une fonction int\'egrable sur $\R$.
\end{enumerate}
Alors, $F$ est d\'erivable par rapport à $s$, de dérivée
$$F'(s)=\int_{\R}\frac{\partial f}{\partial s}(x,s)\,dx.$$
Autrement dit,
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{ds}\int_{\R}f(x,s)\,dx=\int_{\R}\frac{\partial f}{\partial s}(x,s)\,dx.
\end{eqnarray*}
\end{cor}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire, voir en TD).
Il suffit de vérifier que pour toute suite $s_k$ convergeant vers $s\in]s_0 ,s_1[$, $\frac{F(s_k)-F(s)}{s_k -s}$ tend vers $\int_{\R}\frac{\partial f}{\partial s}(x,s)\,dx$. Or $\frac{F(s_k)-F(s)}{s_k -s}=\int_{\R}g_k (x)\,dx$, où la suite de fonctions définie par $g_k (x)=\frac{f(x,s_k)-f(x,s)}{s_k -s}$ satisfait aux hypothèses du théorème de convergence dominée. La domination résulte de l'inégalité des accroissements finis,
\begin{eqnarray*}
|\frac{f(x,s_k)-f(x,s)}{s_k -s}|\leq\sup_{u\in[s,s_k]}|\frac{\partial f}{\partial s}(x,u)|\leq g(x).
\end{eqnarray*}}
\end{pf}

\begin{ex}
Pour $s\in\R$, soit
\begin{eqnarray*}
H(s)=\int_{\R}\frac{\cos(sx)}{1+x^4}\,dx.
\end{eqnarray*}
Alors $H$ est dérivable sur $\R$.
\end{ex}
En effet, pour tout $x$, $h(x,s)=\frac{\cos(sx)}{1+x^4}$ est une fonction dérivable de $s$, sa dérivée $\frac{\partial g}{\partial s}=\frac{-x\sin(sx)}{1+x^4}$ est dominée par $k(x)=\frac{|x|}{1+x^4}$ qui est intégrable car continue sur $\R$ et d'intégrale généralisée convergente en $+\infty$ et en $-\infty$. En revanche, le théorème ne s'applique pas directement à $F(s)=\int_{\R}\frac{\cos(sx)}{1+x^2}\,dx$, car $\frac{|x|}{1+x^2}$ n'est pas intégrable. On peut calculer indirectement $F(s)=e^{-|s|}$ et constater qu'elle n'est pas dérivable en $0$.

\section{Théorie de la mesure}

On a vu que les fonctions étagées doivent remplacer les fonctions en escalier. Les fonctions étagées les plus simples sont les fonctions caractéristiques d'ensembles. On appelle {\em mesure} d'un ensemble l'intégrale de sa fonction caractéristique. Cela généralise la longueur d'un intervalle (qui est bien l'intégrale de sa fonction caractéristique). Inversement, on peut partir de la mesure des ensembles pour construire l'intégrale des fonctions.

Lettre au Père Noël : on fait une liste des propriétés qu'on attend
\begin{itemize}
  \item de la famille $\mathcal{T}$ d'ensembles pour lesquels la mesure est définie (on les appelle ensembles {\em mesurables});
  \item de la fonction $\mu$ qui à un ensemble associe sa mesure.
\end{itemize}

\subsection{Propriétés de la famille des ensembles mesurables}
\begin{enumerate}
  \item Si $A$ est mesurable, son complémentaire l'est aussi.
  \item Si $A$ et $B$ sont mesurables, leur réunion $A\cup B$ l'est aussi.
  \item Si $(A_k)$ est une suite d'ensembles mesurables, alors la réunion
  $\bigcup_{k\in\N}A_k$ est mesurable.
  \item L'ensemble vide est mesurable.
\end{enumerate}
La seconde propriété reflète le fait qu'on souhaite qu'une limite simple de fonctions boréliennes (ici, les fonctions caractéristiques des ensembles $B_n =\bigcup_{k=0}^{n}A_k$) soit borélienne.

\begin{defi}
Une {\em tribu} sur un ensemble $E$ est une famille de sous-ensembles de $E$ qui satisfait ces $4$ propriétés. 
\end{defi}

\begin{rem}
Une tribu est aussi stable par intersection finie ou dénombrable.
\end{rem}

\begin{defi}
La {\em tribu borélienne} de $\R$ est la plus petite tribu sur $\R$ contenant tous les intervalles. Elle contient tout ce qu'on peut obtenir à partir d'intervalles en faisant des réunions et intersections dénombrables, et des passages au complémentaire.
\end{defi}
On appelle ensemble {\em borélien} un élément de la tribu borélienne.

\begin{defi}
\label{borr2}
La {\em tribu borélienne} de $\R^2$ est la plus petite tribu sur $\R^2$ contenant tous les {\em rectangles}, i.e. les ensembles de la forme $I\times I'$, où $I$ et $I'$ sont des intervalles. Elle contient tout ce qu'on peut obtenir à partir de rectangles en faisant des réunions et intersections dénombrables, et des passages au complémentaire.
\end{defi}
Les réunions finies de rectangles sont boréliennes. Par ce moyen, on n'obtient que des polygones dont les côtés sont parallèles aux axes. En considérant des réunions dénombrables, on obtient beaucoup plus d'exemples (en fait, tous les ensembles qu'on peut imaginer sont boréliens).

\begin{ex}
Tout demi-plan ouvert de $\R^2$ appartient à la tribu borélienne.
\end{ex}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire, voir en TD). 
Montrons que le demi-plan ouvert $D=\{(x,y)\in\R^2 \,;\, y>x\}$ est borélien. Pour tout $t\in\R$, l'ensemble $R_t =]-\infty,t[\times]t,+\infty[$ est borélien par définition. $D$ est la réunion des $R_t$, mais cette famille est non dénombrable. Considérons la famille des $R_t$ pour $t\in\Q$. Celle-là est dénombrable. Montrons que $\displaystyle D=\bigcup_{t\in\Q}R_t$. Soit $D_n$ la réunion des $R_t$ pour les rationnels $t$ qui sont des multiples entiers de $1/n$. Alors $D_n$ est un polygone, lieu des points situés au-dessus de l'escalier posé sur la bissectrice $\{y=x\}$, dont les marches ont une hauteur et une largeur égales à $1/n$. Si $(x,y)\in D$, alors $y>x$. il existe un entier $n$ tel que $y>x+1/n$. Qu'on fasse un pas à droite (changer $(x,y)$ en $(x+\frac{1}{n},y)$) ou vers le bas (changer $(x,y)$ en $(x,y-\frac{1}{n})$), on reste dans $D$. Par conséquent, $(x,y)$ est au-dessus de l'escalier, donc $(x,y)\in D_n$. Cela prouve que $\displaystyle D=\bigcup_{n\in\N}D_n$, et donc que $\displaystyle D=\bigcup_{t\in\Q}R_t$. En particulier, $D$ est borélien.}
\end{pf}


%\begin{ex}
%Plus généralement, soient $E$, $E'$ des ensembles munis de tribus $\mathcal{T}$, $\mathcal{T}'$. La {\em tribu produit} est la plus petite tribu sur $E\times E'$ contenant tous les ensembles de la forme $A\times A'$ où $A\in\mathcal{T}$.
%\end{ex}



\subsection{Propriétés de la mesure}

\begin{enumerate}
  \item L'ensemble vide a une mesure nulle.
  \item {\em Additivité}. Si $A$ et $B$ sont mesurables et deux à deux disjoints, la mesure de $A\cup B$ est la somme des mesures de $A$ et de $B$.
  \item {\em $\sigma$-additivité}. Si $(A_k)$ est une suite d'ensembles mesurables et deux à deux disjoints, la mesure de $\bigcup_{k\in\N}A_k$ est la somme des mesures des $A_k$. 
\end{enumerate}
La troisième propriété reflète le fait qu'on espère pouvoir intervertir intégrale et limite simple.

\begin{defi}
Une {\em mesure} sur un ensemble $E$ muni d'une tribu $\mathcal{T}$ est une application $\mathcal{T}\to [0,+\infty]$ qui satisfait ces $3$ propriétés. 
\end{defi}
Remarquer que la valeur $+\infty$ est admise, avec la convention que $+\infty+x =+\infty$ pour tout $x\in[0,+\infty]$. Aussi, dans la propriété 3., si la série des mesures des $A_k$ est divergente, on convient que sa somme vaut $+\infty$.

\begin{ex}
Sur $\N$ et $\Z$, on utilise la tribu contenant tous les sous-ensembles (c'est évidemment une tribu) et la mesure de comptage : $\mu(A)$ est le nombre d'élements de $A$. 
\end{ex}

\begin{ex}
Sur $\R$ muni de la tribu borélienne, soit $\delta_a$ la mesure définie par
\begin{eqnarray*}
\delta_a (A)=\begin{cases}
1 & \text{ si }a\in A, \\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\end{eqnarray*}
On l'appelle la {\em mesure de Dirac} au point $a$.
\end{ex}

\begin{ex}
On peut faire des sommes pondérées de mesures. Par exemple, sur $\R$ muni de la tribu borélienne, soit $(a_n)$ une suite de points et $p_n$ une suite de nombres positifs. On note $\mu=\sum_{n=0}^{\infty}p_n \delta_{a_n}$ la mesure définie par $\mu(A)=\sum_{n=0}^{\infty}p_n \delta_{a_n}(A)$. Les mesures obtenues par cette construction sont appelées {\em atomiques}.
\end{ex}

Voici un exemple moins simple (réponse favorable du Père Noël à notre requête).
\begin{theo}[H. Lebesgue, admis]
\label{lebesgue}
Sur $\R$ muni de la tribu borélienne, il existe une unique mesure $\lambda$ telle que pour tout $a<b$, $\lambda(]a,b[)=b-a$.
\end{theo}

\begin{defi}
Cette mesure s'appelle la {\em mesure de Lebesgue} sur $\R$.
\end{defi}

\subsection{Propriétés générales des mesures positives}

\begin{prop}
Toute mesure $\mu$ possède automatiquement les propriétés suivantes.
\begin{enumerate}
  \item Si $A\subset B$, $\mu(A)\leq \mu(B)$. Si, de plus, $\mu(B)<+\infty$, alors $\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$.
  \item $\mu(A)+\mu(B)=\mu(A\cap B)+\mu(A\cup B)$.
  \item Si $A_k \in\mathcal{T}$ est une suite croissante d'ensembles mesurables ($A_{k}\subset A_{k+1}$), alors 
  \begin{eqnarray*}
\lim_{k\to\infty}\mu(A_k)=\mu(\bigcup_{k\in\N}A_k).
\end{eqnarray*}
\item Si $B_k \in\mathcal{T}$ est une suite décroissante d'ensembles mesurables ($B_{k}\supset B_{k+1}$), et si $\mu(B_0)<\infty)$, alors 
  \begin{eqnarray*}
\lim_{k\to\infty}\mu(B_k)=\mu(\bigcap_{k\in\N}B_k).
\end{eqnarray*}
\item Pour une suite quelconque d'ensembles mesurables $A_k$,
\begin{eqnarray*}
\mu(\bigcup_{k\in\N}A_k)\leq \sum_{k=0}^{\infty}\mu(A_k).
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire. Voir en TD). }

\textcolor{red}{3. Soit $A'_0 = A_0$ et, pour $k\geq 1$, $A'_k =A_k \setminus A'_{k-1}$ (faire un dessin). Alors les $A'_k$ sont mesurables, deux à deux disjoints, $A_n =\bigcup_{k=0}^{n} A'_k$, $\bigcup_{k=0}^{\infty} A_k=\bigcup_{k=0}^{\infty} A'_k$, donc quand $n$ tend vers l'infini, $\mu(A_n)=\sum_{k=0}^{n}\mu(A'_k)$ converge vers 
$$\sum_{k=0}^{\infty}\mu(A'_k)=\mu(\bigcup_{k=0}^{\infty} A'_k)=\mu(\bigcup_{k=0}^{\infty} A_k).$$}

\textcolor{red}{4. Soit $A_k =B_0 \setminus B_k$, c'est un ensemble mesurable (faire un dessin). La suite $A_k$ est croissante. $\bigcup_{k=0}^{\infty} A_k =B_0 \setminus \bigcap_{k=0}^{\infty} B_k$. D'après 1. et 3.,
\begin{eqnarray*}
\mu(B_0)-\mu(\bigcap_{k=0}^{\infty} B_k)
&=&\mu(\bigcup_{k=0}^{\infty} A_k)\\
&=&\lim_{k\to\infty}\mu(A_k)\\
&=&\lim_{k\to\infty}(\mu(B_0)-\mu(B_k))\\
&=&\mu(B_0)-\lim_{k\to\infty}\mu(B_k),
\end{eqnarray*}
donc $\mu(\bigcap_{k=0}^{\infty} B_k)=\lim_{k\to\infty}\mu(B_k)$.}

5. Soit $A'_0 =A_0$ et, pour $n\geq 1$, $A'_n =A_n \setminus \bigcup_{k=0}^{n-1}A_k$, ce sont des ensembles mesurables deux à deux disjoints, et $\bigcup_{k=0}^{\infty}A_k =\bigcup_{n=0}^{\infty}A'_n$. D'après 1., $\mu(A'_n)\leq \mu(A_n)$. Il vient
\begin{eqnarray*}
\mu(\bigcup_{k=0}^{\infty} A_k)=\mu(\bigcup_{n=0}^{\infty} A'_n)=\sum_{n=0}^{\infty} \mu(A'_n)\leq \sum_{n=0}^{\infty} \mu(A_n).
\end{eqnarray*}
\end{pf}

Dans la propriété 4, on a effectivement besoin de supposer que les ensembles $B_k$ sont de mesure finie.
\begin{ex}
Dans $E=\N$ muni de la tribu de tous les sous-ensembles de $\N$ et de la mesure de comptage, soit $B_k =\{n\in\N\,;\,n\geq k\}$. Alors $\displaystyle \bigcap_{k\in\N}B_k =\emptyset$ est de mesure nulle, alors que $\mu(B_k)=+\infty$ pour tout $k$.
\end{ex}

\finducours3

\subsection{Fonctions mesurables}

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$. Une fonction $f:E\to\R$ est {\em mesurable} si pour tout ensemble borélien $B\subset\R$, l'image réciproque $f^{-1}(B)=\{x\in E\,;\,f(x)\in B\}$ est mesurable, i.e. appartient à $\mathcal{T}$.
\end{defi}

\begin{prop}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$. Pour vérifier qu'une fonction $f:E\to\R$ est mesurable, il suffit de vérifier que les ensembles $f^{-1}(]-\infty,a[)$ sont mesurables.
\end{prop}
\textcolor{blue}{En effet, la famille des sous-ensembles $B\subset\R$ tels que $f^{-1}(B)$ est mesurable est une tribu. Si elle contient les demi-droites $]-\infty,a[$, elle contient automatiquement tous les intervalles, et, par définition, elle contient la tribu borélienne.}

\begin{ex}
Toute fonction continue sur $\R$ est mesurable.
\end{ex}
En effet, si $f$ est continue, $f^{-1}(]-\infty,a[)$ est un ouvert, donc une réunion dénombrable d'intervalles ouverts (voir le cours de Calcul Différentiel).

\begin{prop}
Si $f$ et $g$ sont des fonctions mesurables sur $(E,\mathcal{T})$, alors $f+g$, $fg$, $\min\{f,g\}$, $f^+ =\max\{f,0\}$, $|f|$ sont mesurables. 
\end{prop}

\begin{pf}
Pour $f^+$ et $|f|$, on remarque que $x\mapsto \max\{x,0\}$ et $x\mapsto |x|$ sont des fonctions continues donc mesurables sur $\R$. La composition $g\circ f$ de $f=E\to\R$ avec une fonction mesurable $g:\R\to\R$ est mesurable, donc $f^+$ et $|f|$ sont mesurables.

On munit $\R^2$ de sa tribu borélienne. On montre que l'addition $A:(x,y)\to x+y$, la multiplication $M:(x,y)\mapsto xy$ et le min $m:(x,y)\mapsto \min\{x,y\}$ sont mesurables. Par exemple, $A^{-1}(]-\infty,a[)=\{(x,y)\,;\,x+y< a\}$ est un demi-plan ouvert, qui est borélien (exemple \ref{borr2}).
\end{pf}


\begin{prop}
Soit $f_k$ une suite de fonctions mesurables sur $(E,\mathcal{T})$. Alors $\sup_k f_k$, $\inf_k f_k$, $\limsup_{k\to\infty}f_k$ et $\liminf_{k\to\infty}f_k$ sont mesurables. En particulier, si $f_k$ converge simplement vers $f$, alors $f$ est mesurable.
\end{prop}

\begin{pf}
Soit $g=\sup_k f_k$. Alors $g(x)>a \Leftrightarrow\exists k$ tel que $f_k (x)>a$. Par conséquent, $g^{-1}(]a,+\infty[)=\bigcup_{k\in\N}f_k^{-1}(]a,+\infty[)$ est une réunion dénombrable d'ensembles mesurables, donc est mesurable.

Comme $\liminf_{k\to\infty}f_k =\sup_{n\in\N}(\inf_{k\geq n}f_k)$, cette fonction est mesurable. Si la suite $(f_k)$ converge simplement vers $f$, alors $f=\liminf_{k\to\infty}f_k$ est mesurable.
\end{pf}

\subsection{Mesure image}

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$, soit $f:E\to\R$ une fonction mesurable. La {\em mesure image} de $\mu$ par $f$, notée $f_* \mu$, est la mesure sur $\R$ muni de la tribu borélienne définie sur un ensemble borélien $A$ de $\R$ par
\begin{eqnarray*}
f_* \mu (A)=\mu(f^{-1}(A)).
\end{eqnarray*}
\end{defi}
C'est bien une mesure. En effet, si les $A_k$ sont deux à deux disjoints, il en est de même des $f^{-1}(A_k)$ (dessin), et $\bigcup_{k\in\N}f^{-1}(A_k)=f^{-1}(\bigcup_{k\in\N}A_k)$.

\medskip

En probabilités, on modélise les variables aléatoires par des fonctions $X$ mesurables sur un ensemble $E$ muni d'une tribu et d'une mesure $\mu$. Ce qu'on cherche à calculer, c'est la probabilité d'évènements liés à $X$, comme $\mathbb{P}(a<X<b)=X_*\mu (]a,b[)$. Cette probabilité ne dépend que de la mesure image sur $\R$, que les probabilistes appellent {\em loi} ou {\em distribution} de $X$.

\section{Intégration par rapport à une mesure}

On va définir l'intégrale d'une fonction mesurable par rapport à une mesure quelconque. Il est utile de procéder dans une grande généralité, d'abord parce que la théorie des probabilités en a besoin, ensuite parce que cela rend les énoncés très concis. Mais on a toujours en tête l'exemple de la mesure de Lebesgue sur $\R$.

On peut manipuler sans danger des intégrales qui valent $+\infty$, tant qu'on ne fait que les ajouter, sans jamais les soustraire (le véritable ennemi, c'est $\infty-\infty$). Donc on commence par intégrer des fonctions positives, et on autorise qu'elles prennent la valeur $+\infty$.

\subsection{Intégrales des fonctions étagées}

On définit d'abord l'intégrale des fonctions étagées, puis celle des fonctions positives générales en maximisant sur les fonctions étagées qu'elles majorent.

\begin{nota}
On note $\chi_A$ la {\em fonction caractéristique} d'un sous-ensemble $A$, i.e. la fonction qui vaut $1$ sur $A$ et $0$ ailleurs.
\end{nota}

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Une fonction $f:E\to \R$ est {\em étagée} si elle est mesurable et ne prend qu'un nombre fini de valeurs $y_1 <y_2 <\cdots<y_k$. On pose alors $A_i =f^{-1}(y_i)$ (de sorte que $f=\sum_{i=1}^{k}y_i \chi_{A_i}$), et 
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\mu=\sum_{i=1}^{k}y_i \mu(A_i).
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{exo}
\label{exomeme}
\textcolor{blue}{Une autre écriture $f=\sum_{i=1}^{k'}y'_i \chi_{A'_i}$, avec des $A'_i$ deux à deux disjoints, donne la même intégrale,
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{k}y_i \mu(A_i)=\sum_{i=1}^{k'}y'_i \mu(A'_i).
\end{eqnarray*}}
\end{exo}

\textcolor{blue}{\begin{pf}
Chaque $A_i$ est la réunion disjointe des ensembles de la famille $\{A'_j \,;\, y'_j =y_i\}$, donc
\begin{eqnarray*}
\mu(A_i)=\sum_{\{j\,;\,y'_j =y_i\}}\mu(A'_j),
\end{eqnarray*}
d'où
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{k}y_i \mu(A_i)&=&\sum_{i=1}^{k}y_i (\sum_{\{j\,;\,y'_j =y_i\}}\mu(A'_j))\\
&=&\sum_{i=1}^{k}(\sum_{\{j\,;\,y'_j =y_i\}}y'_j \mu(A'_j))\\
&=&\sum_{j=1}^{k'}y'_j\mu(A'_j).
\end{eqnarray*}
\end{pf}}

\begin{prop}[Linéarité et croissance de l'espérance]
1. L'intégrale est une forme linéaire sur l'espace vectoriel $\mathcal{E}$ des fonctions étagées, i.e. si $f$, $g$ sont des fonctions étagées et $a$, $b\in\R$,
\begin{eqnarray*}
\int (af+bg)\,d\mu=a\int f\,d\mu+b\int g\,d\mu.
\end{eqnarray*}
2. L'intégrale est croissante, i.e. si $f$, $g$ sont des fonctions étagées et $f\leq g$, alors $\int f\,d\mu\leq\int g\,d\mu$.
\end{prop}

\begin{pf}
\textcolor{blue}{Soit $f=\sum_{i=1}^{k}y_i \chi_{A_i}$, $g=\sum_{i=1}^{k'}y'_i \chi_{A'_i}$.} 

\textcolor{blue}{1. On introduit les ensembles deux à deux disjoints $B_j=A_i \cap A'_{i'}$ et on écrit 
\begin{eqnarray*}
f=\sum_{j=1}^{\ell}z_j \chi_{B_j},\quad g=\sum_{j=1}^{\ell}z'_j \chi_{B_j},
\end{eqnarray*}
où il peut y avoir des répétitions dans les $z_j$ et $z'_j$. D'après l'exercice \ref{exomeme}, ça ne change pas l'expression de l'intégrale, et
\begin{eqnarray*}
\int (af+bg)\,d\mu
&=&\int (\sum_{j=1}^{\ell}(az_j +bz'_j)\chi_{B_j})\,d\mu\\
&=&\sum_{j=1}^{\ell}(az_j +bz'_j)\mu(B_j) \\
&=&a(\sum_{j=1}^{\ell}z_j \mu(B_j))+b(\sum_{j=1}^{\ell}z'_j \mu(B_j))\\
&=&a\int f\,d\mu+b\int g\,d\mu.
\end{eqnarray*}}

\textcolor{blue}{2. $g-f$ est une fonction étagée à valeurs positives, donc $\int (g-f)\,d\mu\geq 0$. D'après 1.,
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\mu=\int f\,d\mu+\int (g-f)\,d\mu\geq \int g\,d\mu.
\end{eqnarray*}}
\end{pf}

\subsection{Intégrales des fonctions positives}

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. On note $\mathcal{E}_+$ l'ensemble des fonctions étagées positives. Soit $f:E\to[0,+\infty]$ une fonction mesurable. On pose
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\mu =\sup_{\{g\in\mathcal{E}_+ \,;\,g\leq f\}}\int g\,d\mu.
\end{eqnarray*}
On note parfois $\int f\,d\mu=\int f(x)\,d\mu(x)$.
\end{defi}

\begin{ex}
Soit $E=\N$, $\mathcal{T}=$ tous les sous-ensembles de $\N$, $\mu=$ mesure de comptage. Pour toute fonction positive $f:\N\to\R$, $\int f\,d\mu=\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$.
\end{ex}

\begin{pf}
Les fonctions positives étagées intégrables sont les suites positives ayant seulement un nombre fini de termes non nuls. Si $g$ est une telle fonction, et $g\leq f$, alors $\int g\,d\mu=\sum_{n=0}^{\infty}g(n)\leq \sum_{n=0}^{\infty}f(n)$. En considérant la suite $g_N$ définie par
\begin{eqnarray*}
g_N (n)=\begin{cases}
f(n)      & \text{ si }n\leq N, \\
0    & \text{sinon},
\end{cases}
\end{eqnarray*}
on voit que le sup est exactement $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$.
\end{pf}

\begin{ex}
Soit $E=\R$, $\mathcal{T}=$ tribu borélienne, $\lambda=$ mesure de Lebesgue. Soit $f$ une fonction mesurable positive bornée par $M$ sur $\R$, nulle hors d'un intervalle borné $[a,b]$. Alors $\int f\,d\mu \leq M|b-a|$. 
\end{ex}

\begin{pf}
Supposons que $0\leq f\leq M$ et $f$ est nulle hors de $[a,b]$. Si $g$ est une fonction positive étagée sur $\R$ telle que $g\leq f$, alors $g=\sum_{i=0}^{k}y_i \chi_{A_i}$ avec $y_0 =0$ et les $A_i$ pour $i\geq 1$ sont 2 à 2 disjoints et contenus dans $[a,b]$. De plus, $0\leq y_i \leq M$. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
\int g\,d\lambda\leq M\sum_{i=1}^{k}\lambda(A_i)\leq M|b-a|.
\end{eqnarray*}
Cela prouve que le sup des intégrales des fonctions $g$ est $\leq M|b-a|$, donc $f$ est intégrable et $\int f\,d\mu \leq M|b-a|$. 
\end{pf}

\begin{rem}
Par construction, l'intégrale est croissante, elle est nulle lorsque $\mu(\{x\in E\,;\,f(x)>0\})=0$.
\end{rem}
\textcolor{blue}{En effet, si $g=\sum_{i=1}^{k}y_i \chi_{A_i}\in \mathcal{E}_+$ et $g\leq f$, alors $\mu(\{x\in E\,;\,g(x)>0\})=0$, donc seule la valeur $y_i =0$ donne un $A_i$ de mesure non nulle, donc $\int g\,d\mu=0$. D'où $\int f\,d\mu=0$. }

\begin{theo}[Théorème de convergence monotone]
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $(f_n)$ une suite croissante (i.e. $f_{n}\leq f_{n+1}$) de fonctions mesurables positives qui converge vers $f$. Alors
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to\infty}\int f_n \,d\mu=\int f\,d\mu=\int (\lim_{n\to\infty} f_n) \,d\mu.
\end{eqnarray*}
Autrement dit, si la suite de fonctions est positive croissante, on peut intervertir intégrale et limite.
\end{theo}
L'énoncé signifie que l'un des membres vaut $+\infty$ si et seulement si l'autre vaut aussi $+\infty$.

\begin{pf}
Par croissance de l'intégrale, $\lim_{k\to\infty}\int f_n \,d\mu\leq\int f\,d\mu$. Inversement, soit $g=\sum_{i=1}^{k}y_i \chi_{A_i}$ une fonction étagée quelconque majorée par $f$. Si $a<1$, les ensembles mesurables $E_n =\{x\in E\,;\,ag(x)\leq f_n (x)\}$ forment une suite croissante de sous-ensembles dont la réunion est $E$. Par conséquent, pour tout $i$, les $E_n \cap A_i$ forment une suite croissante de sous-ensembles dont la réunion est $A_i$, d'où
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to\infty}\mu(E_n \cap A_i)=\mu(A_i).
\end{eqnarray*}
Sur $E_n$, $f_n \geq ag$, donc, sur $E$ tout entier, on peut écrire $f_n \geq ag \chi_{E_n}$, d'où
\begin{eqnarray*}
\int f_n \,d\mu \geq \int (ag \chi_{E_n})\,d\mu=a\sum_{i=1}^{k}y_i \mu(E_n \cap A_i),
\end{eqnarray*}
et le membre de droite tend vers $a\sum_{i=1}^{k}y_i \mu(A_i)=a\int g\,d\mu$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to\infty}\int f_n \,d\mu\geq a \int g\,d\mu
\end{eqnarray*}
puis, en faisant tendre $a$ vers $1$, $\lim_{n\to\infty}\int f_n \,d\mu\geq \int g\,d\mu$. En prenant le sup sur $g$, $\lim_{n\to\infty}\int f_n \,d\mu\geq \int f\,d\mu$.
\end{pf}

\begin{cor}
Soit $f_n$ une suite quelconque de fonctions mesurables positives. Alors
\begin{eqnarray*}
\int(\sum_{n=0}^{\infty} f_n)\,d\mu =\sum_{n=0}^{\infty} \int f_n \,d\mu.
\end{eqnarray*}
Autrement dit, on peut toujours intervertir intégrale et somme et pour des séries de fonctions positives.
\end{cor}

\begin{cor}[Linéarité de l'intégrale des fonctions positives]
Si $a$, $b>0$, alors
\begin{eqnarray*}
\int (af+bg)\,d\mu=a\int f\,d\mu+b\int g\,d\mu.
\end{eqnarray*}
\end{cor}

\begin{pf}
\textcolor{blue}{Pour toute fonction mesurable positive $f$, on construit une suite croissante de fonctions étagées $f_n$ qui converge en croissant vers $f$ en posant
\begin{eqnarray*}
f_n (x)=\begin{cases}
2^n & \text{ si } f(x)\geq 2^n, \\
\frac{p}{2^n} & \text{ si } f(x)<2^n \text{ et } \frac{i}{2^{n}}\leq f(x)<\frac{i+1}{2^{n}}.
\end{cases}
\end{eqnarray*}
comme le faisait Archimède. Idem pour $g$. Alors $af+bg$ est limite croissante des fonctions étagées $af_n +bg_n$, donc
\begin{eqnarray*}
\int (af+bg)\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int(af_n +bg_n)\,d\mu=\lim_{n\to\infty}a\int f_n \,d\mu+b\int g_n\,d\mu=a\int f\,d\mu+b\int g\,d\mu.
\end{eqnarray*}
par convergence monotone. }
\end{pf}

\subsection{Lemme de Fatou}

\begin{theo}[Fatou]
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $(f_n)$ une suite quelconque de fonctions mesurables positives sur $E$. Alors
\begin{eqnarray*}
\int(\liminf f_n)\,d\mu \leq \liminf \int f_n \,d\mu.
\end{eqnarray*}
\end{theo}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A connaître, voir en TD). On utilise la caractérisation suivante de la $\liminf$ d'une suite $u_n\in[-\infty,+\infty]$ :
\begin{eqnarray*}
\liminf u_n=\lim_{k\to\infty}(\inf_{n\geq k}u_n).
\end{eqnarray*}
où la suite $v_k =\inf_{n\geq k}u_n$ est croissante. On applique le théorème de convergence monotone à la suite de fonctions $g_k =\inf_{n\geq k}f_n$, il vient
\begin{eqnarray*}
\int(\liminf f_n)\,d\mu =\lim_{k\to\infty}\int g_k \,d\mu.
\end{eqnarray*}
Pour tout $n\geq k$, $g_k \leq f_n$, donc $\int g_k \,d\mu \leq \int f_n \,d\mu$, et en prenant l'inf,
\begin{eqnarray*}
\int g_k \,d\mu \leq \inf_{n\geq k}\int f_n \,d\mu,
\end{eqnarray*}
puis en passant à la limite pour ces deux suite croissantes,
\begin{eqnarray*}
\int(\liminf f_n)\,d\mu \leq \lim_{k\to\infty}\inf_{n\geq k}\int f_n \,d\mu=\liminf \int f_n \,d\mu.
\end{eqnarray*}}
\end{pf}

\subsection{Mesure de densité $f$ par rapport à $\mu$}

Voici un nouvel exemple de mesure.

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $f:E\to[0,+\infty]$ une fonction mesurable positive. La {\em mesure de densité $f$ par rapport à $\mu$}, notée $\nu=f.\mu$, est définie, pour $a\in\mathcal{T}$, par
\begin{eqnarray*}
\nu(A)=\int \chi_A f\,d\mu.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire, voir en TD).
C'est bien une mesure. En effet, si $(A_n)$ est une suite de sous-ensembles mesurables deux à deux disjoints,
\begin{eqnarray*}
\nu(\bigcup_{n\in\N}A_n)=\int(\sum_{n\in\N}\chi_{A_n}f)\,d\mu=\sum_{n\in\N}\int \chi_{A_n}f\,d\mu=\sum_{n\in\N}\nu(A_n),
\end{eqnarray*}
car on peut intervertir intégrale et somme.}
\end{pf}

\begin{ex}
On appelle {\em mesure gaussienne} la mesure de densité
\begin{eqnarray*}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2 /2}
\end{eqnarray*}
par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\R$.
\end{ex}
La constante $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ est choisie de sorte que l'intégrale de $f$ vaille $1$, ce qui fait de $\nu=f.\lambda$ une mesure de probabilité.

\subsection{Propriétés vraies presque partout}

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. On dit qu'une propriété est vraie {\em presque partout} (noté p.p.), si elle est vraie en dehors d'une ensemble mesurable de mesure nulle.
\end{defi}

\begin{prop}[Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (ou de Chernov) et conséquences]
Soit $f$ une fonction mesurable positive.

1. Pour tout $a>0$,
\begin{eqnarray*}
\mu(\{x\in E\,;\,f(x)\geq a\})\leq \frac{1}{a}\int f\,d\mu.
\end{eqnarray*}

2. $\int f\,d\mu<+\infty\Rightarrow f<+\infty$ p.p.

3. $\int f\,d\mu=0 \Leftrightarrow f=0$ p.p.

4. $f=g$ p.p. $\Rightarrow \int f\,d\mu=\int g\,d\mu$.
\end{prop}

\begin{pf}
1. Soit $A=\{x\in E\,;\,f(x)\geq a\}$. Alors $\chi_A f \geq a \chi_A$, d'où
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\mu\geq\int \chi_A f\,d\mu\geq \int a\chi_A \,d\mu =a\mu(A).
\end{eqnarray*}

2. Poser $a=+\infty$.

3. Poser $a=1/n$. La suite d'ensembles mesurables $A_n=\{x\in E\,;\,f(x)\geq 1/n\}$ est croissante. Si $\int f\,d\mu=0$, tous ont une mesure nulle, donc leur réunion $\{x\in E\,;\,f(x)\not=0\}$ aussi.

\textcolor{blue}{4. Soit $A=\{x\in E\,;\,f(x)=g(x)\}$, $B=\{x\in E\,;\,f(x)\not= g(x)\}$, $h=\max\{f,g\}$. Par hypothèse, $\mu(B)=0$ donc $\chi_B (h-g)$ est nulle presque partout, son intégrale est nulle. D'autre part, sur $A$, $f=g$ donc $h=g$ et $\chi_A (h-g)$ est nulle presque partout aussi. Il vient
\begin{eqnarray*}
\int h\,d\mu&=&\int (g+\chi_A (h-g)+\chi_B (h-g))\,d\mu\\
&=&\int g\,d\mu+\int \chi_A (h-g)\,d\mu+\int \chi_B (h-g)\,d\mu\\
&=&\int g\,d\mu.
\end{eqnarray*}
De la même façon, $\int h\,d\mu=\int f\,d\mu$.}
\end{pf}


\subsection{Fonctions intégrables}

On passe aux fonctions de signe quelconque. L'idée est d'écrire $f=f^+ -f^-$ où $f^+ =\max\{0,f\}$ et $f^- =\max\{0,-f\}$ sont positives. Encore faut il que les intégrales de ces fonctions soient toutes les deux finies. C'est le cas si et seulement si $\int |f|\,d\mu<+\infty$, car $|f|=f^+ +f^-$.

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Une fonction $f:E\to\R$ de signe quelconque est {\em intégrable} si elle est mesurable et si 
\begin{eqnarray*}
\int |f|\,d\mu<+\infty.
\end{eqnarray*}
Dans ce cas, son {\em intégrale} est
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\mu =\int f^+ \,d\mu -\int f^- \,d\mu.
\end{eqnarray*}
On note $\mathcal{L}^1 (E,\mathcal{T},\mu)$ l'espace des fonctions intégrables.
\end{defi}

\finducours4

\begin{rem}
1. $\mathcal{L}^1 (E,\mathcal{T},\mu)$ est un espace vectoriel, l'intégrale est une forme linéaire. Elle est croissante, et 
\begin{eqnarray*}
|\int f\,d\mu|\leq \int |f|\,d\mu.
\end{eqnarray*}

2. Si $f$ et $g$ sont intégrables et égales presque partout, elles ont même intégrale. 
\end{rem}

\begin{defi}
Une fonction $f:E\to\C$ est {\em intégrable} si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont. Dans ce cas, on pose
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\mu =\int \Re e(f)\,d\mu +i\int \Im m(f)\,d\mu.
\end{eqnarray*}
\end{defi}
Remarquer que $\int |\Re e(f)|\,d\mu$ et $\int |\Im m(f)|\,d\mu<+\infty$ simultanément si et seulement si $\int |f|\,d\mu<+\infty$.

\begin{ex}
Soit $E=\N$, $\mathcal{T}=$ tous les sous-ensembles de $\N$, $\mu=$ mesure de comptage. Une fonction $f:\N\to\C$ est intégrable si et seulement si la série à termes positifs $\sum|f(n)|$ est convergente.
\end{ex}

\begin{ex}
Soit $E=\R$, $\mathcal{T}=$ la tribu borélienne de $\R$, $\lambda=$ mesure de Lebesgue. Une fonction $f:\R\to\C$ qui est mesurable bornée et nulle hors d'un intervalle borné est intégrable.
\end{ex}

\subsection{Convergence dominée}

\begin{theo}[Théorème de convergence dominée, H. Lebesgue]
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $(f_k)$ une suite de fonctions intégrables sur $E$ telle que
\begin{enumerate}
  \item {\em Convergence}. Pour presque tout $x\in E$, la limite $\d f(x)=\lim_{k\to \infty}f_{k}(x)$ existe.
  \item {\em Domination}. Pour tout $k$, pour presque tout $x\in E$, $\d\vert f_{k}(x)\vert\leq g(x)$ o\`u $g$ est une fonction positive {\em ind\'ependante de} $k$.
  \item {\em Intégrabilité}. $g$ est une fonction int\'egrable sur $E$.
\end{enumerate}
Alors $f$ est intégrable sur $E$, et
$$\lim_{k\to \infty}\int f_{k}\,d\mu=\int(\lim_{k\to \infty}f_{k})\,d\mu=\int f\,d\mu.$$
\end{theo}

\begin{pf}
Quitte à multiplier $f_k$ par la fonction caractéristique d'un ensemble dont le complémentaire est de mesure nulle, on peut supposer que la convergence et la domination ont lieu partout.

On applique le Lemme de Fatou à $g_k =2g-|f-f_k|$, qui est mesurable positive. Par hypothèse, $g_k$ converge simplement vers $2g$, donc
\begin{eqnarray*}
\int 2g\,d\mu \leq\liminf \int g_k \,d\mu=\int 2g\,d\mu -\limsup\int|f-f_k|\,d\mu.
\end{eqnarray*}
Ceci montre que $\limsup\int|f-f_k|\,d\mu=0$, et donc que $\lim_{k\to\infty}\int|f-f_k|\,d\mu=0$. Comme
\begin{eqnarray*}
|\int f_k\,d\mu - \int f\,d\mu|=|\int (f_k -f)\,d\mu|\leq\int|f-f_k|\,d\mu,
\end{eqnarray*}
$\int f_k\,d\mu$ tend vers $\int f\,d\mu$.
\end{pf}

\subsection{Intégrales dépendant d'un paramètre}

Presque rien à changer, seulement mettre des p.p. (en $x$) dans les hypothèses de continuïté et de domination.

\begin{cor}
\label{conti}
\emph{Continuit\'e d'une int\'egrale dépendant d'un paramètre.}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\R$, $s_0 \in I$. Soit $f:\R\times I\to\R$ une fonction \`a valeurs complexes. On suppose que 
pour tout $s$ fix\'e dans $I$, la fonction $x\mapsto f(x,s)$ est            
int\'egrable sur $E$. Pour $s\in I$, on pose
$$F(s)=\int f(x,s)\,d\mu(x).$$
On fait les hypothèses suivantes.
\begin{enumerate}
  \item {\em Continuité}. Pour presque tout $x\in E$, $s\mapsto f(x,s)$ est continue en $s_0$ ;
  \item {\em Domination}. Pour tout $s \in I$ et presque tout $x\in E$, $\d\vert f(x,s)\vert\leq g(x)$ o\`u $g$ est une fonction positive {\em ind\'ependante de} $s$.
  \item {\em Intégrabilité}. $g$ est une fonction int\'egrable sur $E$.
\end{enumerate}
Alors, $s\mapsto F(s)$ est continue en $s_0$, i.e.
$$\lim_{s\to s_0} \int f(x,s)\,d\mu(x)=\int f(x,s_0)\,d\mu(x).$$
\end{cor}


\begin{exo}
\label{repart}
Soit $\mu$ une mesure sur $\R$ muni de la tribu borélienne. On suppose que $\mu$ {\em n'a pas d'atomes}, i.e. pour tout $x\in\R$, $\mu(\{x\})=0$. Soit $f$ une fonction intégrable par rapport à $\mu$. Alors la fonction définie sur $\R$ par
\begin{eqnarray*}
F(s)=\int \chi_{]-\infty,s]}f\,d\mu
\end{eqnarray*}
est continue sur $\R$.
\end{exo}
En effet, appliquons le théorème de continuïté à la fonction $f(x,s)=\chi_{]-\infty,s]}(x)f(x)$ au voisinage de $s_0 \in\R$. Elle est dominée par $|f|$ qui est intégrable. A $x$ fixé, c'est une fonction de $s$ continue en $s_0$, sauf pour $x\in\{s_0\}$ qui est de mesure nulle. Donc le théorème s'applique.

\begin{cor}
\label{derivablei}
\emph{(D\'erivation d'une int\'egrale dépendant d'un paramètre).}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\R$. Soit $f:E\times]{s_0},{s_1}[ \to\C$ une fonction \`a valeurs complexes. On suppose que 
pour tout $s$ fix\'e dans $I$, la fonction $x\mapsto f(x,s)$ est 
int\'egrable sur $E$. Pour $s \in I$, on pose 
$$F(s)=\int f(x,s)\,d\mu(x).$$
On fait les hypothèses suivantes.
\begin{enumerate}
  \item {\em Dérivabilité}. Pour presque tout $x\in E$, $f(x,s)$ est dérivable par rapport à $s$ ;
  \item {\em Domination}. Pour tout $s \in I$ et presque tout $x\in E$, $\d\vert \frac{\partial f}{\partial s}(x,s)\vert\leq g(x)$ o\`u $g$ est une fonction positive {\em ind\'ependante de} $s$.
  \item {\em Intégrabilité}. $g$ est une fonction int\'egrable sur $E$.
\end{enumerate}
Alors, $F$ est d\'erivable par rapport à $s$, de dérivée
$$F'(s)=\int \frac{\partial f}{\partial s}(x,s)\,d\mu(x).$$
Autrement dit,
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{ds}\int f(x,s)\,d\mu(x)=\int \frac{\partial f}{\partial s}(x,s)\,d\mu(x).
\end{eqnarray*}
\end{cor}

En appliquant ces théorèmes à la mesure de comptage sur $\N$, on retrouve les propriétés des séries normalement convergentes.


\subsection{Les fonctions Riemann-intégrables sont intégrables}

\begin{prop}
Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction bornée Riemann intégrable. On prolonge $f$ à $\R$ par $0$. La fonction obtenue coïncide presque partout avec une fonction $\tilde{f}$ qui est intégrable, et
\begin{eqnarray*}
\int\tilde{f}\,d\lambda=\int_{a}^{b}f(t)\,dt.
\end{eqnarray*}
\end{prop}

\begin{pf}
Soient $g_n$ et $h_n$ les approximations inférieure et supérieure d'Archimède pour la subdivision régulière en $2^n$ segments, cf. Proposition \ref{rint}. Ce sont des fonctions en escalier, donc des fonctions étagées, nulles hors d'un intervalle de mesure finie, elles sont donc intégrables, et leur intégrale pour la mesure de Lebesgue est donnée par la formule usuelle. La suite $g_n$ croît et la suite $h_n$ décroît. Les fonctions définies par
\begin{eqnarray*}
g_{\infty}(x)=\lim_{n\to\infty}g_n (x),\quad h_{\infty}(x)=\lim_{n\to\infty}h_n (x), 
\end{eqnarray*}
satisfont
\begin{eqnarray*}
g_{\infty}\leq f\leq h_{\infty},
\end{eqnarray*}
et, pour tout $n$,
\begin{eqnarray*}
\int g_{n}\,d\lambda\leq\int g_{\infty}\,d\lambda\leq\int h_{\infty}\,d\lambda\leq \int h_{n}\,d\lambda.
\end{eqnarray*}
Or si $f$ est Riemann-intégrable, les deux suites $\int g_{n}\,d\lambda$ et $\int h_{n}\,d\lambda$ convergent vers la même limite $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$, donc 
\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\int g_{\infty}\,d\lambda=\int h_{\infty}\,d\lambda.
\end{eqnarray*}
Ceci entraîne que $g_{\infty}=h_{\infty}=f$ p.p., donc $f$ coincide presque partout avec la fonction intégrable $g_{\infty}$, et $\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\int g_{\infty}\,d\lambda$.
\end{pf}

La proposition \ref{asymptotes} (intégrabilité d'une fonction continue par morceaux avec asymptotes éventuelles) en résulte, avec un peu de travail.



\section{Espaces $L^p$}

\subsection{Définition}

\begin{defi}
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $p\geq 1$. On note $\mathcal{L}^p (E,\mu)$ l'ensemble des fonctions mesurables sur $E$ telles que $|f|^p$ est intégrable. On introduit la relation d'équivalence
\begin{eqnarray*}
f\sim g \Leftrightarrow f=g ~\mu \textrm{ presque partout.}
\end{eqnarray*}
L'ensemble des classes d'équivalence est noté $L^p (E,\mu)$. Pour $f\in L^p (E,\mu)$, on note $\n{f}_p =(\int|f|^p \,d\mu)^{1/p}$.

Soit $p=\infty$. On note $\mathcal{L}^p (E,\mu)$ l'ensemble des fonctions mesurables sur $E$ telles que $|f|$ coïncide presque partout avec une fonction bornée. L'ensemble des classes d'équivalence est noté $L^{\infty} (E,\mu)$. Pour $f\in L^{\infty} (E,\mu)$, on note 
\begin{eqnarray*}
\n{f}_{\infty} =\inf\{c>0\,;\,|f|\leq c ~\mu\textrm{ p.p.}\}.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

La définition de $L^p (E,\mu)$ paraît compliquée. En fait, c'est une commodité de vocabulaire : parler de fonctions dans l'espace quotient $L^p (E,\mu)$ permet d'éviter de distinguer des fonctions qui coïncident presque partout, ça gagne du temps.

Le but de ce chapitre est de montrer que $\n{\cdot}_p$ est une norme, et par conséquent, $\mathcal{L}^p (E,\mu)$ et $L^p (E,\mu)$ sont des espaces vectoriels.

\subsection{Inégalité de Hölder}

\begin{theo}[Inégalité de Hölder]
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $p\in[1,\infty]$. Soit $q \in[1,\infty]$ l'{\em exposant conjugué}, i.e.
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.
\end{eqnarray*}
Soient $f\in L^p (E,\mu)$ et $g\in L^q (E,\mu)$. Alors $|fg|\in L^1 (E,\mu)$ et
\begin{eqnarray*}
\int|fg|\,d\mu \leq \n{f}_p \n{g}_q .
\end{eqnarray*}
L'égalité a lieu si et seulement si $|f|^p /\n{f}_p^p =|g|^q /\n{g}_g^q $ presque partout.
\end{theo}

\begin{pf}
1. Soit $\alpha\in]0,1[$. La fonction $x\mapsto x^{\alpha}-\alpha x$ sur $\R_+$ atteint un unique maximum absolu en $x=1$. En effet, sa dérivée $\alpha(x^{\alpha -1}-1)$ change de signe en $x=1$. Par conséquent, pour tout $x\geq 0$,
\begin{eqnarray*}
x^{\alpha}\leq \alpha x +(1-\alpha).
\end{eqnarray*}
Il en résulte (poser $x=u/v$, $\alpha=\frac{1}{p}$) que pour tout $u$, $v>0$,
\begin{eqnarray*}
u^{1/p}v^{1/q} \leq \frac{1}{p} u +\frac{1}{q}v.
\end{eqnarray*}
Cela reste vrai si $u$ ou $v$ est nul.

2. Supposons que $\n{f}_p =\n{g}_q =1$. En intégrant l'inégalité ci-dessus appliquée à $u=|f(x)|^p$, $v=|g(x)|^q$, il vient
\begin{eqnarray*}
\int |fg|\,d\mu \leq \frac{1}{p}\int |f|^p \,d\mu +\frac{1}{q}\int |g|^q \,d\mu=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.
\end{eqnarray*}

3. Dans le cas général, on applique l'inégalité précédente à $f/\n{f}_p$, $g/\n{g}_q$, il vient
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\n{f}_p \n{g}_q}\int |fg|\,d\mu \leq 1, \quad\textrm{ d'où }\int |fg|\,d\mu \leq \n{f}_p \n{g}_q .
\end{eqnarray*}

\finducours5

4. L'égalité $x^{\alpha}=\alpha x +(1-\alpha)$ entraîne que $x=1$. Donc l'égalité $u^{1/p}v^{1/q} = \frac{1}{p} u +\frac{1}{q}v$ entraîne que $u=v$. Donc l'égalité dans l'inégalité de Hölder entraîne que $f^p/\n{f}_p^p =g^q/\n{g}_q^q$ presque partout.
\end{pf}

\begin{ex}
Soit $E=]0,1[$, $\mathcal{T}=$ tribu borélienne, $\lambda=$ mesure de Lebesgue sur $]0,1[$. Alors $L^2 (]0,1[,\lambda)\subset L^1 (]0,1[,\lambda)$ et pour tout $f\in L^2 (]0,1[,\lambda)$,
\begin{eqnarray*}
\n{f}_1 \leq \n{f}_2.
\end{eqnarray*}
\end{ex}

\subsection{Exemple d'utilisation de l'inégalité de Hölder}

Si $f$ est une fonction sur le plan qui ne dépend que de la distance à l'origine, son intégrale vaut $2\pi\int_0^\infty f(r)\,r\,dr$, celle de son carré vaut $2\pi\int_0^\infty f(r)^2 \,r\,dr$. Comment comparer cette intégrale à l'intégrale  sur la droite $2\int_0^\infty f(r)\,dr$ ? Si $0<a<b<+\infty$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz (pour la mesure $r\,dr$) s'écrit 
\begin{eqnarray*}
(\int_a^b f(r)\,dr)^2 =(\int_a^b f(r)r^{-1}\,r\,dr)^2 \leq (\int_a^b f(r)^2\,rdr)(\int_a^b r^{-2}\,rdr)\leq \log(\frac{b}{a})\int_a^b f(r)^2\,r\,dr.
\end{eqnarray*}
Donc sur un intervalle qui ne s'approche pas de $0$ ni de $+\infty$, l'intégrale de $f(r)^2 \,r\,dr$ contrôle l'intégrale de $f$. En revanche, si $a=0$ ou $b=+\infty$, $\log(\frac{b}{a})=+\infty$, cela ne marche plus.

Retenir la méthode : l'intégrale $2\pi\int_0^\infty f(r)^2 \,r\,dr$ impose le choix de mesure $\mu=r\,dr$. Donc on fait apparaître cette mesure dans $2\int_0^\infty f(r)\,dr$, ce qui fait apparaître un produit de fonctions et suggère d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.



\subsection{Inégalité de Jensen}

\begin{defi}
Une fonction $f:\R\to\R\cup\{+\infty\}$ est {\em convexe} si la région située au-dessus de sa courbe représentative est convexe.
\end{defi}

Un convexe du plan est toujours une intersection de demi-plans. Une fonction convexe est donc la borne supérieure d'une famille de fonctions affines (en fait, il suffit de prendre les tangentes à la courbe).

\begin{theo}[Inégalité de Jensen]
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure de probabilité $\mu$ (i.e. $\mu(E)=1$). Soit $\phi:\R\to\R_+ \cup\{+\infty\}$. Soit $f\in L^1 (E,\mu)$. Alors 
\begin{eqnarray*}
\phi(\int f\,d\mu)\leq \int\phi\circ f\,d\mu .
\end{eqnarray*}
\end{theo}

\begin{pf}
Soit $(\alpha_s)$, $x\mapsto a_s x +b_s$, une famille de fonctions affines telle que $\phi=\sup_s \alpha_s$. Pour chaque $s$, 
\begin{eqnarray*}
\int\phi\circ f\,d\mu &\geq& \int\alpha_s\circ f\,d\mu\\
&=& \int(a_s f+b_s )\,d\mu\\
&=& a_s  \int f \,d\mu+b_s \\
&=& \alpha_s (\int f \,d\mu).
\end{eqnarray*}
En prenant le sup sur $s$, il vient $\int\phi\circ f\,d\mu\geq\phi(\int f\,d\mu)$.
\end{pf}

\begin{ex}
Pour toute fonction intégrable sur un ensemble muni d'une mesure de probabilité, 
$$e^{\int f\,d\mu}\leq \int e^f \,d\mu.$$
\end{ex}

\subsection{Inclusions entre espaces $L^p$}

\begin{rem}
Si $\mu(E)<+\infty$, la famille des espaces $L^p (E,\mu)$ est décroissante, i.e.
\begin{eqnarray*}
p\leq q \Rightarrow L^q (E,\mu) \subset L^p (E,\mu).
\end{eqnarray*}
\end{rem}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A connaître, voir en TD).
En effet, en appliquant l'inégalité de Hölder aux fonctions $|f|^p \in L^{r}$ et $1$, avec l'exposant $r=q/p$ et l'exposant conjugué $r'$, il vient
\begin{eqnarray*}
\int |f|^p \,d\mu \leq \n{|f|^p}_r \n{1}_{r'}=\n{f}_{q}^{\frac{p}{q}}\mu(E)^{1-\frac{p}{q}}.
\end{eqnarray*}
On peut aussi appliquer l'inégalité de Jensen, car la fonction $x\mapsto |x|^{q/p}$ est convexe. Dans le cas où $\mu(E)=1$, il vient
\begin{eqnarray*}
(\int |f|^p\,d\mu )^{\frac{q}{p}}\leq \int (|f|^p)^{\frac{q}{p}}\,d\mu.
\end{eqnarray*}
Le cas général s'en déduit en introduisant la mesure $\nu=(\mu(E)^{-1})\mu$.}
\end{pf}

Ce sont les seules inclusions possibles en général.

\begin{ex}
Si $p<q$, $L^p (E,\mu)$ n'est pas contenu dans $L^q (E,\mu)$.
\end{ex}
En effet, considérer la mesure de Lebesgue sur $]0,1[$, i.e. la mesure $\mu=\chi_{]0,1[}.\lambda$ sur $\R$. C'est une mesure de probabilité. La fonction $f_q (x)=x^{-1/q}$ n'est pas dans $L^q (\R,\mu)$ mais appartient à $L^p (\R,\mu)$ pour tout $p<q$.

\begin{ex}
Si $\mu(E)=+\infty$, pour tout $p\not=q$, $L^q (E,\mu)$ n'est pas contenu dans $L^p (E,\mu)$.
\end{ex}
En effet, considérer la mesure de Lebesgue sur $]1,+\infty[$, i.e. la mesure $\mu=\chi_{]1,+\infty[}.\lambda$ sur $\R$. La fonction $f_p (x)=x^{-1/p}$ n'est pas dans $L^p (\R,\mu)$ mais appartient à $L^q (\R,\mu)$ pour tout $q>p$.

\subsection{Convergence de suites d'intégrales}

Si une suite de fonctions $f_n \in L^1 (E,\mu)$ converge dans cet espace vers $f \in L^1 (E,\mu)$, alors $\int f_n \,d\mu$ tend vers $\int f\,d\mu$ (la réciproque est évidemment fausse en général). En revanche, lorsque $p>1$ et $\mu(E)=+\infty$, si une suite de fonctions $f_n \in L^p (E,\mu)$ converge dans cet espace vers $f \in L^p (E,\mu)$, alors $\int f_n \,d\mu$ ne tend pas nécessairement vers $\int f\,d\mu$.

\begin{ex}
Soit $E=\R$ muni de la tribu borélienne et de la mesure $\mu=\chi_{[0,+\infty[}.\lambda$. Soit $p>1$ et $q=\frac{1+p}{2}$. Soit $f_n =n^{-1/q}\chi_{[0,n]}$. Alors $f_n \in L^p (\R,\mu)=L^p ([0,+\infty[,\lambda)$, $\n{f_n}_p =n^{-1/q}n^{1/p}$ tend vers $0$ mais $\int f_n \,d\mu=n^{-1/q}n$ tend vers $+\infty$.
\end{ex}

\subsection{Convergence dans $L^p$ et convergence presque partout}

Il n'y a pas de réciproque du théorème de convergence dominée. Si une suite de fonctions $f_n \in L^1 (E,\mu)$ converge dans cet espace vers $f \in L^1 (E,\mu)$, $f_n$ ne converge pas nécessairement presque partout vers $f$.

\begin{ex}
Soit $E=\R$ muni de la tribu borélienne et de la mesure $\mu=\chi_{[0,1]}.\lambda$. Lorsque $2^{k}\leq n<2^{k+1}$, soit $f_n$ la fonction caractéristique de l'intervalle $\displaystyle[\frac{n-2^k}{2^k},\frac{n+1-2^k}{2^k}]$. Alors $f_n \in L^1 (E,\mu)$, $\n{f_n}_1 =2^{-k}$ tend vers $0$ mais pour tout $x\in[0,1]$, la suite $f_n (x)$ n'a pas de limite.
\end{ex}
En effet, $x$ appartient à une infinité des intervalles de la forme $\displaystyle[\frac{p}{2^k},\frac{p+1}{2^k}]$, et n'appartient pas à une infinité de ces intervalles, donc la suite $f_n (x)$ prend une infinité de fois chacune des valeurs $0$ et $1$.

\subsection{Inégalité de Minkowski}

\begin{theo}[Inégalité de Minkowski]
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. Soit $p\in[1,\infty]$. Soient $f$, $g\in L^p (E,\mu)$. Alors $f+g\in L^p (E,\mu)$ et
\begin{eqnarray*}
\n{f+g}_p \leq \n{f}_p +\n{g}_p .
\end{eqnarray*}
\end{theo}

\begin{pf}
On écrit
\begin{eqnarray*}
|f+g|^p \leq (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}= |f||f+g|^{p-1}+|g||f+g|^{p-1},
\end{eqnarray*}
puis, par l'inégalité de Hölder,
\begin{eqnarray*}
\int |f||f+g|^{p-1}\leq\n{f}_p \n{|f+g|^{p-1}}_q=\n{f}_p (\int|f+g|^{p}\,d\mu)^{\frac{p-1}{p}},
\end{eqnarray*}
et idem pour le second terme. Il vient
\begin{eqnarray*}
\int |f+g|^{p}\leq (\n{f}_p +\n{g}_p )(\int|f+g|^{p}\,d\mu)^{\frac{p-1}{p}},
\end{eqnarray*}
d'où, en simplifiant,
\begin{eqnarray*}
(\int|f+g|^{p}\,d\mu)^{\frac{1}{p}}\leq \n{f}_p +\n{g}_p .
\end{eqnarray*}
\end{pf}

\begin{cor}
Pour tout $p\in[1,\infty]$, $\n{\cdot}_p$ est une norme. $\mathcal{L}^p (E,\mu)$ et $L^p (E,\mu)$ sont des espaces vectoriels.
\end{cor}

\begin{cor}
Pour $p=2$, $\n{\cdot}_2$ est la norme associée à un produit scalaire.
\end{cor}

\subsection{Interprétation géométrique}

Lorsque $E=\{1,\ldots,n\}$ est un ensemble fini, $\mathcal{T}$ la tribu de tous les sous-ensembles de $E$ et $\mu$ la mesure de comptage, $L^p (E,\mu)$ est l'espace $\R^n$ muni de la norme
\begin{equation*}
||x||_p=(|x_1|^p +\cdots+|x_n|^p)^{1/p}.
\end{equation*}
Lorsque $n=2$, on peut dessiner la boule unité $B_p =\{x\in\R^n \,;\,||x||_p \leq 1\}$. L'inégalité de Minkowski signifie que $B_p$ est \emph{convexe}. En effet, pour tous points $z$, $z'\in B_p$, $t\mapsto (1-t)z+tz'$ est un paramétrage du segment de droite de $z$ à $z'$, et
\begin{eqnarray*}
\n{(1-t)z+tz'}_p \leq \n{(1-t)z}_p +\n{tz'}_p =(1-t)\n{z}_p+t\n{z'}_p\leq 1-t +t \leq 1,
\end{eqnarray*}
donc le segment est entièrement contenu dans $B_p$.

\medskip

Soient $a\geq 0$, $b\geq 0$ tels que $a^q +b^q =1$. L'inégalité de Hölder
\begin{equation*}
ax+by\leq||(x,y)||_p ||(a,b)||_q
\end{equation*}
entraîne que
\begin{equation*}
\max\{ax+by\,;\,(x,y)\in B_p \}\leq ||(a,b)||_q =1,
\end{equation*}
avec égalité pour $x=a^{q/p}$, $y=b^{q/p}$. Elle signifie que dans la famille des droites parallèles d'équations $ax+by=m$, il y en a exactement deux qui sont tangentes à $B_p$, elles touchent $B_p$ aux points $(a^{q/p},b^{q/p})$ et $-(a^{q/p},b^{q/p})$, et leurs équations sont $ax+by=\pm 1$.



\subsection{Densité des fonctions en escalier}

On admet le résultat (pas simple) suivant.

\textcolor{blue}{\begin{prop}
Soit $[a,b]$ un intervalle borné. Pour tout $p\in[1,+\infty[$, les fonctions continues sont denses dans $L^p ([a,b],\lambda)$. Autrement dit, pour toute fonction $f\in L^p ([a,b],\lambda)$, il existe une suite $f_n$ de fonctions continues telle que $\n{f-f_n}_p$ tend vers $0$.
\end{prop}}

\textcolor{blue}{\begin{rem}
Ce n'est pas vrai pour $p=\infty$. Une limite dans $L^{\infty}([a,b],\lambda)$ de fonctions continues est continue, alors que $L^{\infty}([a,b],\lambda)$ contient des fonctions discontinues.
\end{rem}}

\begin{cor}\label{densescalier}
Soit $[a,b]$ un intervalle borné. Pour tout $p\in[1,+\infty[$, les fonctions en escalier sont denses dans $L^p ([a,b],\lambda)$. 
\end{cor}
\begin{pf}
Voir en TD.
\end{pf}

\finducours6

\subsection{Complétude}

\begin{defi}
Soit $V$ un espace vectoriel muni d'une norme. Soit $(v_n)$ une suite d'éléments de $V$. On dit que c'est une \emph{suite de Cauchy} si pour tout $\eps>0$ il existe $N$ tel que pour tous $n>N$, $m>N$, $\n{v_n -v_m}<\eps$.

On dit que $V$ est \emph{complet} si toute suite de Cauchy dans $V$ est convergente.
\end{defi}

\begin{rem}
Une suite convergente est automatiquement de Cauchy.
\end{rem}

\begin{lemme}
\label{seriecomplet}
Un espace vectoriel normé $V$ est complet si et seulement si toute série dont la série des normes est convergente est convergente.
\end{lemme}

\begin{pf}
A une suite $v_n$ on associe la série de terme général $v_{n+1}-v_n =u_n$, et inversement, à une série $\sum u_n$ on associe la série des sommes partielles $v_n =\sum_{k=0}^{n}$. Si la série $\sum\n{u_n}$ est convergente, alors, pour tout $m<n$,
\begin{eqnarray*}
\n{v_n -v_m}&=&\n{\sum_{k=m+1}^{n}u_k} \\
&\leq&\sum_{k=m+1}^{n}\n{u_k}\\
&=&w_n -w_m ,
\end{eqnarray*}
qui tend vers $0$ car la suite de nombres réels $w_n =\sum_{k=0}^{n}\n{u_k}$, qui est convergente, est de Cauchy. Donc $(v_n)$ est de Cauchy. Si $(v_n)$ est convergente, par définition, la série $\sum u_n$ est convergente.

Si $(v_n)$ est de Cauchy, alors pour tout entier $k$, il existe $n_k$ tel que si $n>m\geq n_k$, alors $\n{v_n -v_m}\leq 2^{-k}$. On pose $u_k =v_{n_{k+1}}-v_{n_{k}}$. Par construction, 
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=0}^{+\infty} \n{u_k} \leq \sum_{k=0}^{+\infty} 2^{-k}\leq 2,
\end{eqnarray*}
donc la série des normes est convergente. Si la série $\sum u_n$ est convergente, alors la suite des sommes partielles
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=0}^{p-1}u_k = v_{n_{p}}
\end{eqnarray*}
est convergente. Soit $v$ sa limite. Alors pour $m\geq n_k$ et $\ell>k$,
\begin{eqnarray*}
\n{v_{n_{\ell}} -v_{m}}\leq 2^{-k}.
\end{eqnarray*}
En faisant tendre $\ell$ vers l'infini, il vient
\begin{eqnarray*}
\n{v -v_{m}}\leq 2^{-k}.
\end{eqnarray*}
Cela prouve que la suite $(v_n)$ est convergente.
\end{pf}

\begin{ex}
Un espace vectoriel normé de dimension finie est toujours complet.
\end{ex}
En effet, $\R$ est complet, donc $\R^d$ aussi (raisonner composante par composante).

\medskip

En dimension infinie, les espaces normés ne sont pas tous complets, il leur arrive d'avoir des trous : les limites des suites de Cauchy existent dans un espace plus grand.

\begin{ex}
Soit $V$ l'ensemble des fonctions polynômes sur $I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ muni de la norme $L^p$. Alors $V$ n'est pas complet.
\end{ex}
En effet, la série entière $\sum x^n$ converge normalement et donc uniformément sur $I$. Il en résulte qu'elle converge dans $L^p (I,\lambda)$. En particulier, c'est une suite de Cauchy de $V$. Mais la somme de la série n'est pas un polynôme, donc n'appartient pas à $V$.

\begin{theo}[Fischer-Riesz]
Soit $E$ un ensemble muni d'une tribu $\mathcal{T}$ et d'une mesure $\mu$. L'espace $L^p (E,\mu)$ est complet. 
\end{theo}

\begin{pf}
Soit $\sum u_n$ une série de fonctions mesurables telle que la série des normes $L^p$ soit convergente, i.e.
\begin{eqnarray*}
\sum_{n} \n{u_n}_p <+\infty.
\end{eqnarray*}
Posons $f_n =(\sum_{k=0}^{n}|u_k|)^p$. Alors
\begin{eqnarray*}
(\int f_n \,d\mu)^{1/p} &=&\n{\sum_{k=0}^{n} |u_n|}_p \\
&\leq&\sum_{k=0}^{n} \n{u_n}_p
\end{eqnarray*}
est borné indépendamment de $n$. La suite de fonctions réelles positives $f_n$ est croissante. Soit $f$ sa limite. D'après le théorème de convergence monotone, 
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\mu &=& \lim_{n\to\infty}\int f_n \,d\mu\\
&=&\lim_{n\to\infty}\n{\sum_{k=0}^{n} |u_n|}_p^p\\
&\leq&(\sum_{k=0}^{+\infty} \n{u_n}_p)^p\\
& <&+\infty.
\end{eqnarray*}

Par conséquent, $f<+\infty$ presque partout. En presque tout point $x\in E$, la série de nombres réels $\sum u_k (x)$ est absolument convergente, donc convergente. Autrement dit, la série de fonctions $\sum u_k$ converge presque partout vers une fonction $v$. $v$ est mesurable. Notons 
\begin{eqnarray*}
g_n =|\sum_{k=0}^{n} u_k|^p .
\end{eqnarray*}
Alors $g_n$ converge presque partout vers $|v|^p$. Comme, pour tout $n$ et tout $x\in E$,
\begin{eqnarray*}
|g_n (x)|\leq (\sum_{k=0}^{n} |u_k (x)|)^p=f_n (x)\leq f(x),
\end{eqnarray*}
la suite de fonctions $g_n$ est dominée par $f$, qui est intégrable. Le théorème de convergence dominée garantit que la fonction limite $|v|^p$ est intégrable ( i.e. $v\in L^p$) et que
\begin{eqnarray*}
\int |v|^p \,d\mu =\lim_{n\to\infty}\int g_n \,d\mu.
\end{eqnarray*}
Enfin, la suite de fonctions $v_n =v-\sum_{k=0}^{n} u_k$ converge vers $0$ presque partout. Pour tout $n$ et tout $x\in E$,
\begin{eqnarray*}
|v_n (x)|&=&|v(x)-\sum_{k=0}^{n} u_k (x)|^p \\
&\leq& (|v(x)| +f_n (x))^p\\
&\leq& 2f(x),
\end{eqnarray*}
qui est intégrable. Le théorème de convergence dominée garantit que
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to\infty}\int v_n \,d\mu =0,
\end{eqnarray*}
i.e. que $\n{v-\sum_{k=0}^{n} u_k}_p$ tend vers $0$. $v$ est bien la somme dans $L^p$ de la série.
\end{pf}

\begin{rem}
\label{rempp}
\textcolor{blue}{La preuve montre que si la série des normes $L^p$ converge, alors la série de fonctions converge presque partout. En combinant avec la preuve du lemme \ref{seriecomplet}, on voit que si une suite de fonctions converge dans $L^p$, alors il existe une sous-suite qui converge presque partout.}
\end{rem}

\section{Séries de Fourier}

La possibilité de décomposer les vibrations périodiques en superpositions de modes dont les fréquences sont des multiples entiers d'une même fréquence fondametale est suggérée par la physique : observations sur les cordes vibrantes remontant à l'antiquité.
En 1822, Joseph Fourier a transformé cette idée en un outil mathématique, utile pour résoudre les équations de la physique (l'équation de la chaleur) et étudier finement la dérivabilité des fonctions.

\subsection{Harmoniques}

Soit $T>0$. Les fonctions $T$-périodiques les plus simples sont $t\mapsto \sin(\frac{2\pi t}{T})$ et $t\mapsto \cos(\frac{2\pi t}{T})$. Les combinaisons linéaires $a_1 \cos(\frac{2\pi t}{T})+b_1 \sin(\frac{2\pi t}{T})$ s'appellent les \emph{sons purs} de période $T$ (ou de fréquence $\frac{2\pi}{T}$). 
Soit $n\in \N$ un entier. On appelle \emph{harmoniques} d'ordre $n$ les combinaisons linéaires $a_n \cos(\frac{2\pi nt}{T})+b_n \sin(\frac{2\pi nt}{T})$. En les superposant, on obtient une grande famille de fonctions $T$-périodiques, de la forme
\begin{eqnarray*}
a_0 +\sum_{n=0}^{\infty}a_n \cos(\frac{2\pi nt}{T})+b_n \sin(\frac{2\pi nt}{T}).
\end{eqnarray*}
On les appelle \emph{séries trigonométriques}.

\begin{ques}
A quelle condition sur les coefficients $a_n$ et $b_n$ la série trigonométrique ci-dessus converge-t-elle ?
\end{ques}

\begin{ques}
A quelle condition une fonction $T$-périodique peut-elle s'écrire comme la somme d'une série trigonométrique ?
\end{ques}

Dans suite, on supposera $T=2\pi$. Le cas général se ramène à ce cas particulier par un changement de variable.

\subsection{Un exemple}

\begin{prop}\label{fourierintervalle}
Soit $f:\R\to\R$ le signal en dents de scie, i.e. la fonction $2\pi$-périodique qui, sur $[0,2\pi[$, est donnée par
\begin{eqnarray*}
f(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}.
\end{eqnarray*}
Pour $t\in]0,2\pi[$, 
\begin{eqnarray*}
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(nt).
\end{eqnarray*}
\end{prop}

\begin{pf}
Par symétrie ($f(2\pi-t)=-f(t)$ et il en est de même de la série), on peut supposer que $t\in]0,\pi[$. On considère l'intégrale
\begin{eqnarray*}
I=\int_{0}^{1}\frac{e^{it}}{1-e^{it}x}\,dx.
\end{eqnarray*}
Pour la calculer, on développe en série entière
\begin{eqnarray*}
\frac{e^{it}}{1-e^{it}x}=e^{it}\sum_{n=0}^{\infty}e^{int}x^n .
\end{eqnarray*}
Le terme général de la série ne se majore pas bien. Il vaut mieux calculer les sommes partielles
\begin{eqnarray*}
f(n,x)=e^{it}\sum_{k=0}^{n}e^{int}x^n = e^{it}\frac{1-e^{(n+1)it}x^{n+1}}{1-e^{it}x}.
\end{eqnarray*}
Pour tout $x\in[0,1[$, $f(n,x)$ tend vers $\frac{e^{it}}{1-e^{it}x}$.  Pour tout $x\in[0,1[$ et tout entier $n$,
\begin{eqnarray*}
|f(n,x)|&\leq&\frac{2}{|1-e^{it}|},
\end{eqnarray*}
donc il y a domination par une fonction constante et donc intégrable sur $[0,1]$. Le théorème de convergence dominée garantit que $I$ est la limite de la suite d'intégrales
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f(n,x)\,dx=\sum_{k=0}^{n}\int_{0}^{1}e^{i(n+1)t}x^n \,dx = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}e^{i(n+1)t}.
\end{eqnarray*}
Il reste à calculer la partie imaginaire de $I$,
$\int_{0}^{1}\frac{\sin t}{1+x^2-2x\cos t}\,dx$.
On écrit cette intégrale sous la forme  
$J= \int_0^1 \frac{dx}{\sin t \left[ 1+ (\frac{x-\cos t}{\sin t})^2\right]}$, 
que l'on calcule par changement de variables en posant $u= \frac{x-\cos t}{\sin t}$ (on notera que $\sin t$ est non nul).
On a 
$J= [\arctan u]_{-\cot t}^{\frac{1-\cos t}{\sin t}}$. Un petit calcul trigonométrique donne 
$\frac{1-\cos t}{\sin t}= \tan \frac{t}{2}$. Or $\arctan (\tan \frac{t}{2})= \frac{t}{2}$ (car $t/2$ est dans $]0,
\pi/2[$) et 
$\arctan (-\cot t) = -\arctan (\tan (\frac{\pi}{2}-t)) = t -\frac{\pi}{2}$ (car $\pi/2 -t$ est dans $]-\pi/2, \pi/2[$).
Il vient $J= \frac{\pi}{2} - \frac{t}{2}$.
\end{pf}

\finducours{7}

\subsection{Polynômes trigonométriques}

Un polynôme trigonométrique, c'est une série trigonométrique qui n'a qu'un nombre fini de termes non nuls. Soit $\mathcal{T}_n^{\R}$ l'espace vectoriel (de dimension finie) des polynômes trigonométriques de fréquence $\leq n$. On munit $\mathcal{T}_n^{\R}$ du produit scalaire
\begin{eqnarray*}
f\cdot g=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)g(t)\,dt.
\end{eqnarray*}
$\mathcal{T}_n^{\R}$ devient un espace euclidien.

\begin{lemme}
Les fonctions $t\mapsto \sqrt{2}\sin(mt)$ et $t\mapsto \sqrt{2}\cos(mt)$, $0\leq m\leq n$, forment une base orthonormée de $\mathcal{T}_n^{\R}$.
\end{lemme}

Pour cette vérification, il est commode d'exprimer $t\mapsto\sin(mt)$ en fonction de $e_m :=t\mapsto e^{imt}$ et de sa conjuguée $e^{-imt}$. On verra qu'il est toujours commode de manipuler des fonctions à valeurs complexes. On notera donc désormais $L^2([0,2\pi],\lambda)$ l'espace vectoriel sur $\C$ des fonctions $2\pi$-périodiques à valeurs complexes. On le munit du produit scalaire hermitien
\begin{eqnarray*}
\langle f|g \rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\overline{g(t)}\,dt.
\end{eqnarray*}

On note $\mathcal{T}_n$ le sous-espace vectoriel engendré par les fonctions $e_m$, $m=-n,\ldots,n$. Alors 

\begin{defi}
Soit $V$ un espace vectoriel complexe de dimension finie, muni d'un produit scalaire hermitien. On appelle \emph{base unitaire} de $V$ une base $e_i$ telle que
\begin{itemize}
  \item pour tout $i$, $\langle e_i |e_i \rangle=1$.
  \item pour tout $j\not=i$, $\langle e_i |e_j \rangle=0$.
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{prop}
Les fonctions $e_m (t)=e^{imt}$, $m=-n,\ldots,n$, forment une base unitaire de $\mathcal{T}_n$.
\end{prop}

\begin{pf}
Simple calcul.
\end{pf}

\begin{cor}[Identité de Parseval pour les polynômes trigonométriques]
Soit \break $f=\sum_{m=-n}^{n}c_n e^{imt}$ un polynôme trigonométrique. Alors
\begin{eqnarray*}
\n{f}_2^2 =\langle f|f \rangle=\sum_{m=-n}^{n}|c_n|^2 .
\end{eqnarray*}
\end{cor}

\subsection{Coefficients de Fourier}

\begin{defi}
Soit $f\in L^1 ([0,2\pi],\lambda)$ une fonction $2\pi$-périodique sur $\R$ et intégrable sur $[0,2\pi]$. Ses coefficients de Fourier sont les nombres
\begin{eqnarray*}
\hat{f}_n =\langle f,e_n \rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{-int}\,dt.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{rem}
Si $h$ est une fonction $2\pi$-périodique sur $\R$ et intégrable sur $[0,2\pi]$, alors pour tout $x\in\R$,
\begin{eqnarray*}
\int_{x}^{x+2\pi}h(t)\,dt=\int_{0}^{2\pi}h(t)\,dt.
\end{eqnarray*}
\end{rem}
On se servira souvent de cette propriété sans le dire.

\begin{ex}
Coefficients de Fourier du signal en dents de scie.
\end{ex}
$\hat{f}_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\,dt=0$.
Pour $n\not=0$,
\begin{eqnarray*}
\hat{f}_n &=&\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi-t}{2}e^{-int}\,dt\\
&=&[\frac{1}{-2\pi in}\frac{\pi-t}{2}e^{-int}]_{0}^{2\pi} -\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{-2\pi in}\frac{-1}{2}e^{-int}\,dt\\
&=&\frac{1}{2in}.
\end{eqnarray*}

\begin{rappel}
Soit $W$ un sous-espace vectoriel de dimension $d$ de l'espace euclidien $\R^n$. Soit $e_1 ,\ldots,e_d$ une base orthonormée de $W$. Le projecteur orthogonal sur $W$ est donné par la formule
\begin{eqnarray*}
P_W (x)=\sum_{i=1}^{d}(x\cdot e_i)e_i .
\end{eqnarray*}
\end{rappel}

\begin{lemme}
Soit $V$ un espace vectoriel complexe muni d'un produit scalaire hermitien. Soit $W$ un sous-espace vectoriel complexes de dimension $d$ de $V$. Soit $e_1 ,\ldots,e_d$ une base unitaire de $W$. Le projecteur orthogonal sur $W$ est donné par la formule
\begin{eqnarray*}
P_W (x)=\sum_{i=1}^{d}\langle x|e_i \rangle e_i .
\end{eqnarray*}
\end{lemme}

\begin{pf}
Soit $y=\sum_{i=1}^{d}\langle x|e_i \rangle e_i$. Alors pour tout $i=1,\ldots,d$, $\langle y|e_i \rangle=\langle x|e_i \rangle$, donc $z=y-x$ est orthogonal à $e_1 ,\ldots, e_d$, il est donc orthogonal à $W$. L'écriture $x=y+z$ avec $y\in W$ et $z\in W^{\bot}$ montre que $y$ est la projection orthogonale de $x$ sur $W$.
\end{pf}

\begin{cor}
\label{sousparseval}
Soit $f\in L^2 ([0,2\pi],\lambda)$ une fonction à valeurs complexes, de carré intégrable. Alors la projection orthogonale de $f$ sur $\mathcal{T}_n$ est le polynôme trigonométrique
\begin{eqnarray*}
\sum_{m=-n}^{n}\hat{f}_m e^{imt}.
\end{eqnarray*}
En particulier,
\begin{eqnarray*}
\sum_{m=-n}^{n}|\hat{f}_m|^2 \leq \n{f}_{2}^{2}.
\end{eqnarray*}
\end{cor}

On voit que les sommes partielles de la série de Fourier de $f$ sont les projections orthogonales de $f$ sur des sous-espaces de dimensions finies de $L^2 ([0,2\pi],\lambda)$, de plus en plus grands. Montrer que ces sommes convergent vers $f$ consiste d'une certaine façon à dire que les espaces $\mathcal{T}_n$ finissent par remplir $L^2$.

\subsection{Séries de Fourier des fonctions $L^2$}

\begin{theo}\label{fourierL2}
Si $f\in L^2 ([0,2\pi],\lambda)$, alors la série de Fourier de $f$ converge dans $L^2$. En particulier, on a l'identité de Parseval
\begin{eqnarray*}
\n{f}_2^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(t)|^2 \,dt =\sum_{n\in\Z}|\hat{f}_n|^2 .
\end{eqnarray*}
\end{theo}

\begin{pf}
D'après le Corollaire \ref{sousparseval}, l'application linéaire
\begin{eqnarray*}
S_n : f\mapsto S_n f =\sum_{m=-n}^{n}\hat{f}_m e_m
\end{eqnarray*}
satisfait $\n{S_n f}_2 \leq \n{f}_2$. De plus, la suite de fonctions $(S_n f)$ est de Cauchy dans $L^2 ([0,2\pi],\lambda)$. En effet, si $p<q$, d'après l'identité de Parseval pour les polynômes trigonométriques,
\begin{eqnarray*}
\n{S_p f-S_q f}_2^2 =\sum_{m=-q}^{-p-1}|\hat{f}_m|^2 +\sum_{m=p+1}^{q}|\hat{f}_m|^2
\end{eqnarray*}
tend vers $0$ quand $p$ tend vers l'infini. Du Théorème de Fischer-Riesz, il résulte que $S(f) =\lim_{n\to\infty}S_n f$ existe dans $L^2$. On a
\begin{eqnarray*}
\n{S(f)}_2^2 =\lim_{n\to\infty}\n{S_n f}_2^2 =\sum_{n\in\Z}|\hat{f}_n|^2 .
\end{eqnarray*}

Il reste à montrer que $Sf=f$. L'inégalité $\n{S_n f}_2 \leq \n{f}_2$ passe à la limite, donc $\n{S(f)}_2 \leq \n{f}_2$. $S$ est une application linéaire continue. Il suffit de prouver l'identité $S(f)=f$ pour un ensemble dense de fonctions $f$. On va le faire pour les fonctions en escalier (les fonctions en escalier sont denses dans $L^2$, Corollaire \ref{densescalier}). Par linéarité, il suffit de le faire pour les fonctions caractéristiques d'intervalles. Il suffit même de traiter les intervalles de la forme $[0,a]$. 

Soit $f=\chi_{[0,a]}$. On calcule $\hat{f}_0 =\frac{a}{2\pi}$, 
$\hat{f}_n =\frac{1-e^{-ina}}{2\pi in}$. Posons, pour $t\in[0,2\pi]$,
\begin{eqnarray*}
\sigma_n (t)=\sum_{m=1}^n \frac{1}{m}\sin(mt).
\end{eqnarray*}
Alors
\begin{eqnarray*}
(S_n f)(t)&=&\hat{f}_0 +\sum_{m=1}^n \hat{f}_m e^{imt}+\hat{f}_{-m}e^{-imt}\\
&=&\frac{a}{2\pi}+\sum_{m=1}^n \frac{1-e^{-ima}}{2\pi im}e^{imt}+\frac{1-e^{ima}}{-2\pi im}e^{-imt}\\
&=&\frac{a}{2\pi}+\sum_{m=1}^n \frac{e^{imt}-e^{im(t-a)}-e^{-imt}+e^{-im(t-a)}}{2\pi im}\\
&=&\frac{a}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sigma_n (t)-\frac{1}{\pi}\sigma_n (t-a).
\end{eqnarray*}
On a montré (Proposition \ref{fourierintervalle}) que, si $t\in]0,2\pi[$, alors 
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to\infty}\sigma_n (t)=\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}.
\end{eqnarray*}
Par conséquent, pour tout $t\in]a,2\pi[$, comme $t-a\in]0,2\pi[$,
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to\infty}(S_n f)(t)=\frac{a}{2\pi}+\frac{1}{2}-\frac{t}{2\pi}-(\frac{1}{2}-\frac{t-a}{2\pi})=0.
\end{eqnarray*}
Cependant, si $t\in]0,a[$, $t-a+2\pi\in]0,2\pi[$, donc, comme $\sigma_n$ est $2\pi$-périodique, 
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to\infty}(S_n f)(t)=\frac{a}{2\pi}+\frac{1}{2}-\frac{t}{2\pi}-(\frac{1}{2}-\frac{t-a+2\pi}{2\pi})=1.
\end{eqnarray*}
Autrement dit, $S_n f-f$ tend vers $0$ presque partout. D'après la remarque \ref{rempp}, il existe une suite $n_k$ telle que $S_{n_k}f$ converge vers $S(f)$ presque partout. On en déduit que $S(f)=f$. Cela complète la preuve.
\end{pf}

\begin{rem}
\textcolor{blue}{Si $f\in L^2 ([0,2\pi],\lambda)$, alors $\sum_{n\in\Z}\n{\hat{f}_n e_n}_2^2 <+\infty$, mais cela n'entraîne pas que $\sum_{n\in\Z}\n{\hat{f}_n e_n}_2 <+\infty$. On ne peut donc pas déduire de la remarque \ref{rempp} que la série de Fourier converge presque partout. Toutefois, c'est vrai, mais c'est un résultat récent (L. Carleson 1966).}
\end{rem}

\begin{cor}\label{fourierunicite}
Pour toute suite $(c_n)_{n\in\Z}$ de nombres complexes telle que $\sum_{n\in\Z}|c_n|^2 <\infty$, il existe une unique fonction $f\in L^2 ([0,2\pi],\lambda)$ telle que pour tout $n\in\Z$, $\hat{f}_n =c_n$. 
\end{cor}
\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire, voir en TD).
La suite de fonctions $f_n =\sum_{m=-n}^n c_m e_m$ est de Cauchy donc elle converge dans $L^2$. Sa limite $f$ satisfait,  pour tout $m\in\Z$,
\begin{eqnarray*}
\hat{f}_m =\langle f|e_m \rangle = \lim_{n\to\infty}\langle f_n |e_m \rangle =c_m.
\end{eqnarray*}
Enfin, si deux fonctions $L^2$ $f$ et $g$ ont même coefficients de Fourier, la norme $L^2$ de leur différence vaut $0$, donc elles coïncident presque partout.}
\end{pf}

\begin{ex}
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
\end{eqnarray*}
\end{ex}
En effet, on applique l'identité de Parseval au signal en dents de scie $f(t)=\frac{\pi -t}{2}$. Son développement en série de Fourier est
\begin{eqnarray*}
f=\sum_{n\in\Z,\,n\not=0}\frac{1}{2in}e_n,
\end{eqnarray*}
d'où
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}&=&2\sum_{n\in\Z,\,n\not=0}\frac{1}{4n^2}=\frac{2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(\frac{\pi -t}{2})^2 \,dt\\
&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{t}{2})^2 \,dt=\frac{1}{2\pi}[\frac{t^3}{3}]_0^{\pi}=\frac{\pi^2}{6}.
\end{eqnarray*}

\subsection{Le théorème de Dirichlet}

\begin{theo}
Soit $f:\R\to\C$ une fonction $2\pi$-périodique et \emph{de classe $C^1$ par morceaux}, i.e. il existe une subdivision $0=t_0 <t_1 <\cdots<t_k=2\pi$ telle que, sur chaque intervalle $]t_j ,t_{j+1}[$, $f$ est la restriction d'une fonction de classe $C^1$ sur $[t_j ,t_{j+1}]$. En particulier, $f$ possède une limite finie à gauche $f(t_j -)$ et une limite finie à droite $f(t_j +)$.

Alors pour tout $t\in\R$, la série de Fourier $\sum_{n\in\Z}\hat{f}_n e^{int}$ converge vers $\frac{1}{2}(f(t+)+f(t-))$.
\end{theo}

On va prouver plus loin une version faible du théorème, dans laquelle on fait l'hypothèse supplémentaire suivante : $f$ est continue.

\finducours8

Pour la preuve, on a besoin de la propriété suivante.

\begin{lemme}
Soit $f$ une fonction $2\pi$-périodique, continue et de classe $C^1$ par morceaux. Alors les coefficients de Fourier de la dérivée $f'$ (elle est définie presque partout) satisfont $\widehat{f'}_n =in\hat{f}_n$. 
\end{lemme}

\begin{pf} \textcolor{red}{(A savoir refaire).
$f'$ est une fonction mesurable bornée, donc dans $L^2 ([0,2\pi],\lambda)$. Par intégration par parties (qui marche pour les fonctions continues et $C^1$ par morceaux),
\begin{eqnarray*}
2\pi\widehat{f'}_n &=&\int_{0}^{2\pi}f'(t)e^{-int}\,dt\\
&=&[f(t)e^{-int}]_0^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}f(t)(-in)e^{-int}\,dt\\
&=&2\pi in \hat{f}_n .
\end{eqnarray*}}
\end{pf}

\begin{pf} de la version faible.

1. La série $\sum|\hat{f}_n|$ est convergente.

En effet, en utilisant l'inégalité générale $ab\leq\frac{1}{2}(a^2 +b^2)$, on majore
\begin{eqnarray*}
|\hat{f}_n|\leq\frac{1}{n}|\widehat{f'}_n|\leq \frac{1}{n^2}+|\widehat{f'}_n|^2 ,
\end{eqnarray*}
séries qui sont toutes les deux convergentes (Parseval pour la seconde), donc $\sum|\hat{f}_n|$ est convergente.

2. La série de fonctions $\sum\hat{f}_n e_n$ converge uniformément, donc sa somme $g$ est une fonction continue. Par convergence uniforme, les coefficients de Fourier de $g$ sont égaux à ceux de $f$.
Comme $f$ et $g$ sont mesurables et bornées sur $[0,2\pi]$, elles appartiennent à $L^2 ([0,2\pi],\lambda)$. D'après le corollaire \ref{fourierunicite}, elles sont égales presque partout. Elles sont donc égales partout.
\end{pf}

\begin{rem}\label{gibbs}
Pour une fonction $f$ discontinue, la série de fonctions $\sum\hat{f}_n e_n$ ne converge pas uniformément. De plus, au voisinage des points de discontinuité de $f$, la somme partielle dépasse sa limite, 
\begin{eqnarray*}
\sup_{t\in\R}\sum_{n=-N}^{N}\hat{f}_n e^{int}>\sup_{t\in\R}f(t),
\end{eqnarray*}
d'un facteur qui ne tend pas vers $0$ (phénomène de Gibbs). Cela se voit bien expérimen\-ta\-le\-ment, à l'oscilloscope, ou sur des tracés à l'ordinateur.
\end{rem}
Ci-dessous, la somme des $n$ premiers termes de la série $\sum\frac{sin(nt)}{n}$, pour $n=5,10,40$.

\begin{center}
\includegraphics[width=1.8in]{scie(5).pdf}\includegraphics[width=1.8in]{scie(10).pdf}\includegraphics[width=1.8in]{scie(40).pdf}
\end{center}

\begin{rem}
Inversement, pour une fonction $f$ qui possède des dérivées successives, la suite $|\hat{f}_n|$ tend vers $0$ rapidement. Par exemple, $f$ est de classe $C^{\infty}$ si et seulement si pour tout entier $k$, $|\hat{f}_n|=o(n^{-k})$.
\end{rem}
Voir en TD.

\section{Intégrales multiples}

L'objet de ce chapitre est de démontrer le théorème de Fubini sur les intégrales multiples. Pour alléger les notations, on se limite la plupart du temps aux intégrales doubles, mais les énoncés généraux se devinent aisément.

\subsection{La tribu borélienne de $\R^2$}

C'est la plus petite tribu qui contient tous les rectangles $I\times I'$, où $I$ et $I'$ sont des intervalles. On appelle boréliens les éléments de la tribu borélienne. On a vu plus haut qu'elle contient des demi-plans, et que la fonction $\R^2 \to\R$, $(x,y)\mapsto x+y$ est mesurable. Maintenant que le cours de Calcul différentiel a avancé, on peut donner davantage d'exemples.

\begin{prop}
Tout ouvert de $\R^2$ est mesurable.
\end{prop}

\begin{pf}
Soit $A$ un ouvert de $\R^2$. Pour tout $(x,y)\in A$, il existe $r>0$ tel que $A$ contiennent la boule $B((x,y),r)$. Il existe des rationnels $a$, $b$, $c$, $d$ tels que le rectangle $R=]a,b[\times]c,d[$ contienne $(x,y)$ et soit contenu dans $B((x,y),r)$, et donc dans $A$. Cela donne une famille dénombrable de rectangles dont la réunion est $A$.
\end{pf}

\begin{cor}
Toute fonction continue $\R^2 \to\R$ est mesurable.
\end{cor}

\begin{pf}
Il suffit de vérifier que pour tout $a\in\R$, $f^{-1}(]-\infty,a[)$ est borélien. Or c'est un ouvert.
\end{pf}

\begin{lemme}
Soit $A$ un borélien de $\R^2$. Pour $x\in \R$, on note $A^x =\{y\in\R\,;\,(x,y)\in A\}$. On vérifie que $A^x$ est un borélien de $\R$.
\end{lemme}
\begin{pf}
\textcolor{blue}{Soit $x\in\R$. Soit $\mathcal{T}'$ l'ensemble des parties $B$ de $\R^2$ telles que $B^x$ est un borélien de $\R$. $\mathcal{T}'$ est une tribu. $\mathcal{T}'$ contient tous les rectangles. Donc $\mathcal{T}'$ contient la tribu borélienne de $\R^2$.}
\end{pf}

\begin{cor}
Soit $f:\R^2 \to\C$ une fonction mesurable. Soit $x\in \R$ et $f_x :\R\to\C$, $f_x (y)=f(x,y)$. Alors $f_x$ est mesurable.
\end{cor}

\begin{pf}
Pour tout $a\in\R$, $f_x^{-1}(]-\infty,a[)=\{y\in\R\,;\,f(x,y)<a\}=(f^{-1}(]-\infty,a[))^x$.
\end{pf}

\subsection{La mesure de Lebesgue de $\R^2$}

On admet le théorème suivant (même principe général qui donne le Théorème \ref{lebesgue}).
\begin{theo}\label{lambdan}
Sur $\R^2$ muni de la tribu borélienne, il existe une unique mesure $\lambda_2$ telle que pour tout rectangle $I\times I'$, $\lambda_2 (I\times I')=\lambda(I)\lambda(I')$.
\end{theo}

Si $f:\R^2 \to\C$ est une fonction mesurable positive, ou intégrable, on note tout simplement
\begin{eqnarray*}
\int f\,d\lambda_2 =\int f(x,y)\,dx\,dy.
\end{eqnarray*}

De même, la mesure $\lambda_n$ sur $\R^n$ satisfait
$\lambda_n(I_1 \times \cdots I_n)=\lambda(I_1)\cdots\lambda(I_n)$.

\begin{lemme}
La mesure de Lebesgue $\lambda_n$ est
\begin{itemize}
  \item Invariante par translation, i.e. si $v\in\R^n$ et $A$ est un borélien, $A+v=\{x+v\,;\,x\in A\}$, alors $\lambda_n (A+v)=\lambda_n (A)$.
  \item Homogène de degré $n$, i.e. si $t>0$ et $A$ est un borélien, $tA=\{tx\,;\,x\in\}$, alors $\lambda_n (tA)=t^n \lambda_n (A)$.
\end{itemize}
\end{lemme}
En effet, c'est vrai pour les rectangles.

\subsection{Les théorèmes de Fubini}

On en donne deux versions, une pour les fonctions positives mesurables, et une pour les fonctions complexes intégrables.

\begin{theo}[Fubini-Tonnelli]
Soit $f:\R^2 \to[0,+\infty]$ une fonction mesurable positive. Les fonctions
\begin{eqnarray*}
x\mapsto \int f(x,y)\,dy \quad\text{et}\quad y\mapsto\int f(x,y)\,dx
\end{eqnarray*}
sont mesurables, et
\begin{eqnarray*}
\int f(x,y)\,dx\,dy=\int(\int f(x,y)\,dx)\,dy=\int(\int f(x,y)\,dy)\,dx.
\end{eqnarray*}
\end{theo}

Cet énoncé est très simple d'utilisation. Par exemple, il fournit immédiatement un procédé pour vérifier qu'une fonction mesurable $f:\R^2 \to\C$ est intégrable. 

\begin{cor}
Si $f:\R^2 \to\C$ est mesurable, et si
\begin{itemize}
  \item pour presque tout $y\in\R$, la fonction $x\mapsto f(x,y)$ est intégrable ;
   \item la fonction $y\mapsto \int f(x,y)\,dx$ est intégrable, 
\end{itemize}
alors $f$ est intégrable.
\end{cor}

\begin{theo}[Fubini-Lebesgue]
Soit $f:\R^2 \to\C$ une fonction intégrable. Alors
\begin{itemize}
  \item Pour presque tout $y\in\R$, la fonction $x\mapsto f(x,y)$ est intégrable.
  \item Pour presque tout $x\in\R$, la fonction $y\mapsto f(x,y)$ est intégrable.
  \item La fonction $x\mapsto \int f(x,y)\,dy$ est intégrable.
  \item La fonction $y\mapsto \int f(x,y)\,dx$ est intégrable, et
\begin{eqnarray*}
\int f(x,y)\,dx\,dy=\int(\int f(x,y)\,dx)\,dy=\int(\int f(x,y)\,dy)\,dx.
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{theo}

Cet énoncé est plus délicat à manipuler. L'hypothèse que $f$ est intégrable est nécessaire.

\begin{ex}
Soit $f:\R^2 \to\R$ la fonction définie par $f(x,y)=\chi_A (x,y)(2e^{-2xy}-e^{-xy})$, où $A=]0,+\infty[\times]0,1[$. Alors 
\begin{eqnarray*}
\int(\int f(x,y)\,dx)\,dy=0,\quad \int(\int f(x,y)\,dy)\,dx>0.
\end{eqnarray*}
\end{ex}
En effet,
\begin{eqnarray*}
\int f(x,y)\,dx&=&\int_{0}^{+\infty}(2e^{-2xy}-e^{-xy})\,dx\\
&=&[\frac{2}{-2y}e^{-2xy}-\frac{1}{-y}e^{-xy}]_{x=0}^{x=+\infty}=0.
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\int f(x,y)\,dy&=&\int_{0}^{1}(2e^{-2xy}-e^{-xy})\,dy\\
&=&[\frac{2}{-2x}e^{-2xy}-\frac{1}{-x}e^{-xy}]_{y=0}^{y=1}\\
&=&\frac{1}{x}(e^{-x}-e^{-2x})>0.
\end{eqnarray*}

\subsection{Preuve des théorèmes de Fubini}

On commence par le cas de la fonction caractéristique d'un borélien $A$ de $[-T,T]^2$. 

Soit $\mathcal{T}'$ l'ensemble des parties $A$ de $\R^2$ telles que la fonction $\ell_A : x\mapsto \lambda(A^x)$ est mesurable. $\mathcal{T}'$ contient tous les rectangles. $\mathcal{T}'$ est une tribu. En effet, si les $A_n$ sont disjoints, 
$$\ell_{\bigcup_{n\in\N} A_n}=\sum_{n=0}^{\infty}\ell_{A_n}.$$
De plus $\ell_{[-T,T]^2\setminus A}=\ell_{[-T,T]^2} -\ell_A$. Donc $\mathcal{T}'$ est stable par complémentaire et par réunion dénombrable disjointe. \textcolor{blue}{Il y a une difficulté technique, à cause du mot ``disjointe''. On la contourne comme ceci : tout ensemble qui s'obtient à partir des rectangles par un nombre fini d'opérations booléennes (réunion, intersection, complémentaire) peut s'écrire comme une réunion disjointe de rectangles. Cela suffit pour conclure que $\mathcal{T}'$ contient la tribu borélienne de $\R^2$.}
On vérifie ensuite que la formule $\mu(A)=\int\lambda(A^x)\,dx$ définit une mesure sur la tribu borélienne de $\R^2$, qui vaut $\lambda(I)\lambda(I')$ sur les rectangles $I\times I'$, donc c'est la mesure de Lebesgue sur $\R^2$.

On se débarrasse de $T$ en le faisant tendre vers l'infini (le théorème de convergence monotone intervient). Par linéarité, on passe aux fonctions étagées, puis en prenant une borne supérieure (et en utilisant le théorème de convergence monotone), aux fonctions mesurables quelconques. Cela prouve Fubini-Tonnelli.

Soit $f:\R^2 \to\R$ une fonction intégrable. Fubini-Tonnelli appliqué à $|f|$ entraîne que pour presque tout $y\in\R$, la fonction $x\mapsto f(x,y)$ est intégrable. On décompose alors $f$ en $f^+ -f^-$ et on applique Fubini-Tonnelli séparément à $f^+$ et $f^-$. Le cas à valeurs complexes ne coûte aucun effort.
 
\subsection{Volume de la boule unité}

C'est une application du Théorème de Fubini-Tonelli. On verra des applications du Théorème de Fubini-Lebesgue après la formule de changement de variable.

\begin{ex}
Soit $\omega_n$ la mesure de Lebesgue de la boule unité de $\R^n$. Vérifier que 
$$
\omega_{2k}=\frac{\pi^k}{k!},\quad \omega_{2k+1}=\frac{\pi^k}{(k+\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})\cdots\frac{3}{2}\frac{1}{2}}.
$$
\end{ex}
Soit $B_n$ la boule unité de $\R^n$. Pour $x\in\R$, on note $B^x =\{y\in\R^{n-1}\,;\,(x,y)\in B_n\}$. $B^x$ est une boule de rayon $\sqrt{1-x^2}$, donc $\lambda_{n-1}(B^x)=\omega_{n-1}(1-|x|)^{(n-1)/2}$.
\begin{eqnarray*}
\omega_n &=&\int \chi_{B_n}\,d\lambda_n\\
&=&\int_{-1}^{1}(\int\chi_{B^x}\,d\lambda_{n-1})\,dx\\
&=&\omega_{n-1}\int_{-1}^{1}(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx\\
&=&\omega_{n-1}I_{n-1},
\end{eqnarray*}
où on a noté
\begin{eqnarray*}
I_n =\int_{-1}^{1}(1-x^2)^{n/2}\,dx
\end{eqnarray*}
On intègre par parties
\begin{eqnarray*}
I_n &=&\int_{-1}^{1}(1-x^2)^{n/2}\,dx\\
&=&[x(1-x^2)^{n/2}]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}x\frac{n}{2}(-2x)(1-x^2)^{(n-2)/2}\,dx\\
&=&n\int_{-1}^{1}x^2 (1-x^2)^{(n-2)/2}\,dx\\
&=&n\int_{-1}^{1}(x^2 -1)(1-x^2)^{(n-2)/2}\,dx+n\int_{-1}^{1}(1-x^2)^{(n-2)/2}\,dx\\
&=&-nI_n +nI_{n-2},
\end{eqnarray*}
d'où $I_n =\frac{n}{n+1}I_{n-2}$ pour tout $n\geq 2$.

Astuce : en multipliant les deux membres par $I_{n-1}$, on trouve que, pour tout $n\geq 2$, $(n+1)I_n I_{n-1}=nI_{n-1}I_{n-2}$, i.e. $(n+1)I_n I_{n-1}$ est indépendant de $n$. Or $I_0 =2$, $I_1 =\frac{\pi}{2}$, donc pour tout $n\geq 1$, $(n+1)I_n I_{n-1}=2I_1 I_0 =2\pi$.

On repart de $\omega_{n}=\omega_{n-1}I_{n-1}=\omega_{n-2}I_{n-2}I_{n-1}=\omega_{n-2}\frac{2\pi}{n}$, d'où
\begin{eqnarray*}
\omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}=\frac{2\pi}{n}\frac{2\pi}{n-2}\omega_{n-4}=\cdots=\frac{(2\pi)^{(n-2)/2}}{n(n-2)\cdots 4}\omega_{2}
\end{eqnarray*}
si $n$ pair,
\begin{eqnarray*}
\omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}=\frac{2\pi}{n}\frac{2\pi}{n-2}\omega_{n-4}=\cdots=\frac{(2\pi)^{(n-1)/2}}{n(n-2)\cdots 3.1}\omega_{1}
\end{eqnarray*}
si $n$ impair. On conclut avec $\omega_1 =2$ et $\omega_2 =\omega_1 I_1 =\pi$.

\finducours9

\subsection{Changement de variables}

\subsubsection{Cas de la dimension $1$}

Soit $\phi:]a,b[\to]c,d[$ une fonction de classe $C^1$, croissante. Alors pour toute fonction continue bornée $f:]c,d[\to\R$,
\begin{eqnarray*}
\int_{c}^{d}f(t)\,dt = \int_{a}^{b}f\circ\phi(s)\phi'(s)\,ds.
\end{eqnarray*}
C'est la formule de changement de variables usuelle. On la démontre en considérant une primitive $F$ de $f$ sur $]c,d[$ et en dérivant $F\circ\phi$. 

Lorsque $\phi$ est décroissante, la formule devient
\begin{eqnarray*}
\int_{c}^{d}f(t)\,dt = -\int_{a}^{b}f\circ\phi(s)\phi'(s)\,ds,
\end{eqnarray*}
ce qui peut s'écrire
\begin{eqnarray*}
\int_{c}^{d}f(t)\,dt = \int_{a}^{b}f\circ\phi(s)|\phi'(s)|\,ds.
\end{eqnarray*}
C'est sous cette forme que la formule se généralise aux dimensions supérieures.

\subsubsection{Difféomorphismes}

En dimension $2$ ou plus, un changement de variables, c'est une bijection $\phi:U\to V$ entre deux ouverts de $\R^n$, qui possède des dérivées partielles continues, et dont l'application réciproque $\phi^{-1}:V\to U$ possède aussi des dérivées partielles continues. On appelle cela un $C^1$-\emph{difféomorphisme}.

\begin{ex}
Coordonnées polaires.
\end{ex}
Il s'agit d'un difféomorphisme de $U=]0,+\infty[\times]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ sur le demi-plan ouvert $V=\{(x,y)\in\R^2 \,;\,x>0\}$, donné par
\begin{eqnarray*}
\phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta).
\end{eqnarray*}
L'application réciproque est donnée par
\begin{eqnarray*}
\phi^{-1}(x,y)=(\sqrt{x^2 +y^2},\arctan(\frac{y}{x})).
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Déterminant jacobien}

Chaque coordonnée $y_j$ de $y=\phi(x)$ est une fonction sur $U$ qui possède des dérivées partielles $\frac{\partial y_j}{\partial x_i}$. On appelle \emph{matrice jacobienne} la matrice $J_{\phi}$ dont les coefficients sont les $\frac{\partial y_j}{\partial x_i}$. Son déterminant $det(J_{\phi})$ s'appelle le \emph{déterminant jacobien}. 

\begin{ex}
Coordonnées polaires.
\end{ex}
On calcule
\begin{eqnarray*}
J_{\phi}(r,\theta)=\begin{pmatrix}
\cos\theta&-r\sin\theta    \\
\sin\theta&  r\cos\theta
\end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
d'où $det(J_{\phi})=r$.

\subsubsection{Formule de changement de variables}

\begin{theo}
Soient $U$ et $V$ des ouverts de $\R^n$, munis de la mesure de Lebesgue. Soit $\phi:U\to V$ un $C^1$-difféomorphisme. Pour toute fonction mesurable positive (resp. intégrable) $f:V\to\R$, la fonction $f\circ\phi |det(J_{\phi})|$ est mesurable positive (resp. intégrable) sur $U$, et
\begin{eqnarray*}
\int_{V}f\,dy_1 \ldots\,dy_n = \int_U f\circ\phi |det(J_{\phi})|\,dx_1 \ldots\,dx_n .
\end{eqnarray*}
\end{theo}

\begin{ex}
Soit $V=\{(x,y)\in\R^2 \,;\,x^2 +y^2 <1,\,x>0,\,y>0\}$ le quart de disque. Soit $f(x,y)=2xy:V\to\R$. Alors
\begin{eqnarray*}
\int_{V}f(x,y)\,dx\,dy=\int_{]0,1[\times]0,\frac{\pi}{2}[}2r^2 \cos\theta \sin\theta \,r\,dr\,d\theta,
\end{eqnarray*}
\end{ex}
comme on peut le vérifier numériquement.
\begin{eqnarray*}
\int_{V}f(x,y)\,dx\,dy&=&\int_{0}^{1}(\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}2xy\,dy)\,dx\\
&=&\int_{0}^{1}[y^2]_{0}^{\sqrt{1-x^2}}x\,dx\\
&=&\int_{0}^{1}(1-x^2)x\,dx=\frac{1}{4}.
\end{eqnarray*}
La forme du domaine (quart de disque) suggère d'utiliser les coordonnées polaires.
\begin{eqnarray*}
\int_{]0,1[\times]0,\frac{\pi}{2}[}2r^2 \cos\theta \sin\theta \,r\,dr\,d\theta
&=&\int_{0}^{1}r^3 \,dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\cos\theta \sin\theta \,d\theta\\
&=&\frac{1}{4}[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{4}.
\end{eqnarray*}

\begin{ex}
Soit $E$ le quart d'ellipse défini par les inéquations
\begin{eqnarray*}
E=\{(x,y)\in\R^2 \,;\,x>0,\,y>0,x^2 +\frac{1}{4}y^2 <1\}.
\end{eqnarray*}
Calculer $\int\hskip-5pt\int_{E} 2xy\,dx\,dy$.
\end{ex}
On utilise le changement de variable $x=u$, $y=2v$, $(u,v)\in D=\{(u,v)\in\R^2 \,;\,u>0,\,v>0,u^2 +v^2 <1\}$. Autrement dit, $\phi:D\to E$ est le difféomorphisme défini par $\phi(u,v)=(u,2v)$. Il est linéaire, sa matrice est $\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$, donc son déterminant jacobien vaut $2$. Il vient
\begin{eqnarray*}
\int\hskip-5pt\int_{E} 2xy\,dx\,dy
&=&\int\hskip-5pt\int_{D} 2.u.2v.2\,du\,dv\\
&=&4\int\hskip-5pt\int_{D} 2uv\,du\,dv=1.
\end{eqnarray*}

\begin{cor}
Soit $\phi:\R^n \to \R^n$ une application linéaire de déterminant $\pm 1$. Alors $\phi$ préserve la mesure de Lebesgue : pour tout borélien $A\subset\R^n$, $\lambda_n (\phi(A))=\lambda_n (A)$. En particulier, $\phi$ est invariante par isométries.
\end{cor}

\begin{pf}
Appliquer la formule de changement de variable à la fonction caractéristique de $A$. La matrice jacobienne d'une bijection linéaire, c'est sa matrice dans la base canonique, donc $det(J_\phi)=det(\phi)$.

On rappelle qu'une application linéaire $\phi:\R^n \to \R^n$ est une isométrie si elle préserve la norme euclidienne. Cela entraîne que $\phi$ préserve le produit scalaire. Si $X$, $Y$ sont les colonnes des composantes de deux vecteurs $v$ et $w$, et si $M$ est la matrice de $\phi$, alors $v\cdot w=X^{\top}Y$, $\phi(v)\cdot\phi(w)=(MX)^{\top}MY=X^{\top}M^{\top}MY$. Par conséquent, $\phi$ préserve le produit scalaire si et seulement si $M^{\top}M=I$. Cela entraîne que
\begin{eqnarray*}
1=det(I)=det(M^{\top}M)=det(M)^2 ,
\end{eqnarray*}
donc $|det(\phi)|=1$.
\end{pf}

\begin{prop}
$\displaystyle \int_{\R} e^{-x^2}\,dx =\sqrt{\pi}$.
\end{prop}

\begin{pf}
On calcule de deux façons $\displaystyle \int_{x>0,\,y>0} e^{-x^2-y^2}\,dx \,dy$. Par Fubini-Tonnelli,
\begin{eqnarray*}
\int_{x>0,\,y>0} e^{-x^2-y^2}\,dx \,dy
&=&\int_{0}^{+\infty}(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}e^{-y^2}\,dx )\,dy\\
&=&(\int_{0}^{+\infty}e^{-y^2}\,dy)(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx )\\
&=&(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx )^2 .
\end{eqnarray*}
La forme de la fonction à intégrer (elle ne dépend que de $r$) suggère d'utiliser un changement de variables.
\begin{eqnarray*}
\int_{x>0,\,y>0} e^{-x^2-y^2}\,dx \,dy
&=&\int_{]0,+\infty[\times]0,\frac{\pi}{2}[}e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta\\
&=&\int_{0}^{+\infty}(\int_{0}^{\pi/2}\,d\theta) e^{-r^2}r\,dr\\
&=&\frac{\pi}{2}[-\frac{1}{2}e^{-r^2}]_{0}^{+\infty}\\
&=&\frac{\pi}{4}.
\end{eqnarray*}

\end{pf}

\subsubsection{Preuve dans le cas linéaire}

On suppose ici que $\phi:\R^n \to\R^n$ est une bijection linéaire. Dans ce cas, $det(J_\phi)=det(\phi)\not=0$. On rappelle la définition de la \emph{mesure image} par une application mesurable. La mesure $(\phi_* \lambda_n )(A)$ d'un ensemble mesurable $A$ est par définition
\begin{eqnarray*}
(\phi_* \lambda_n )(A)=\lambda_n (\phi^{-1}(A)).
\end{eqnarray*}
Par définition, si $f:\R^n \to\R$ est mesurable positive,
\begin{eqnarray*}
\int f\,d(\phi_* \lambda_n )=\int f\circ\phi\,d\lambda_n .
\end{eqnarray*}
D'après le Théorème \ref{lambdan} (partie unicité), pour montrer que $\phi_* \lambda_n =|det(\phi)|^{-1}\lambda_n$, il suffit de vérifier que pour tout rectangle $A$, $(\phi_* \lambda_n )(A)=|det(\phi)|^{-1}\lambda_n (A)$. Autrement dit, que
\begin{eqnarray*}
\lambda_n (\phi^{-1}A)=|det(\phi)|^{-1}\lambda_n (A).
\end{eqnarray*}
Ou, ce qui revient au même,
\begin{eqnarray*}
\lambda_n (\phi(A))=|det(\phi)|\lambda_n (A).
\end{eqnarray*}
On le vérifie d'abord lorsque $\phi=id+E_{ij}$, où $E_{ij}$ est la matrice dont un seul coefficient est non nul, c'est par exemple $a$ en position $ij$. Autrement dit,
\begin{eqnarray*}
\phi(x_1,\ldots,x_n)=(x_1,\ldots,x_i +ax_j,\ldots,x_n).
\end{eqnarray*}
Quitte à permuter les coordonnées, on peut supposer que $(i,j)=(n-1,n)$. Si $A=\prod_{k=1}^{n}I_k$ est un rectangle, on calcule la mesure de $\phi(A)$ par Fubini. On écrit $x=(x',x_n)$. Pour tout $y\in\R$, la coupe
\begin{eqnarray*}
\phi(A)^y &=&\{x'\in\R^{n-1}\,;\,(x_1,\ldots,x_{n-1} +ay,y)\in A\}\\
&=&(\prod_{k=1}^{n-2}I_k )\times(I_{n-1}+ay).
\end{eqnarray*}
Le dernier intervalle est seulement translaté, ce qui ne change pas sa mesure. On conclut que $\lambda_{n-1}(\phi(A)^y)=\lambda_{n-1}(A^y)$. En intégrant par rapport à $y$, on trouve que $\lambda_{n}(\phi(A))=\lambda_{n}(A)$. En particulier, multipler $\phi$ par une matrice de la forme $id+E_{ij}$ ne change ni la mesure image, ni le déterminant. L'effet de cette multiplication est d'ajouter à une ligne de $\phi$ un multiple d'une autre ligne. La méthode du pivot montre que par de telles opérations, on ramène n'importe quelle matrice à une matrice diagonale. Pour une matrice diagonale $\phi=diag(a_1 ,\ldots,a_n)$, 
\begin{eqnarray*}
\lambda_n (\prod_{k=1}^{n}I_k)=\prod_{k=1}^{n}\lambda( a_k I_k)=\prod_{k=1}^{n}|a_k|=|det(\phi)|,
\end{eqnarray*}
ce qui achève la preuve.

\subsubsection{Cas général}

\textcolor{blue}{On donne juste l'idée. Si $\phi$ est de classe $C^1$, on peut partitionner $U$ en boréliens très petits sur lesquels $\phi$ est proche d'une application affine, de la forme 
$$y\mapsto L(y)=\phi(x_0)+J_{\phi}(x_0)(y),$$
(développement limité à l'ordre $1$). Pour un tel borélien $A$, la mesure de $\phi(A)$ est proche de celle de $L(A)$, qui vaut $|det(J_{\phi}(x_0))|\lambda_n (A)$, donc proche de l'intégrale sur $A$ de la fonction $|det(J_{\phi})|$. En additionnant les contributions des petits boréliens, on trouve que $\lambda_n (\phi(U))$ est proche de $\int_U |det(J_{\phi})|\,d\lambda_n$. On passe des mesures des ensembles mesurables aux intégrales des fonctions mesurables positives (resp. intégrables) comme précédemment.}

\section{Convolution}

\subsection{Motivation}

Il s'agit de modéliser un dispositif quelconque de traitement du signal. C'est un opérateur $F$ qui prend en entrée un signal, i.e. une fonction $g$, et retourne une autre fonction $F(g)$. 

1. On suppose que $F$ ne change pas dans le temps. Autrement dit, pour tout $\tau$, si on décale le signale d'entrée dans le temps, i.e. on remplace $g(t)$ par $g_{\tau}(t)=g(t+\tau)$, alors le signal de sortie est décalé d'autant, i.e.
\begin{eqnarray*}
F(g_{\tau})=F(g)_{\tau}.
\end{eqnarray*}
\textcolor{red}{}

2. On suppose de plus que $F$ obéït au principe de superposition, i.e. pour $\lambda\in\C$,
\begin{eqnarray*}
F(g_1 +g_2)=F(g_1)+F(g_2),\quad F(\lambda g)=\lambda F(g).
\end{eqnarray*}
Autrement dit, $F$ est linéaire.

\medskip

Simplifions en supposant que le temps est discret, i.e. ne prend que les valeurs entières $\ldots,-1,0$, $1,\ldots$. Les signaux d'entrée et de sortie sont des vecteurs, $(\ldots,g(-1),g(0),g(1),\ldots)$ et son image par l'application linéaire $P$, i.e. le produit par la matrice $P$,
\begin{eqnarray*}
(Fg)(i)=\sum_{k}f_{ik}g(k).
\end{eqnarray*}
La condition d'invariance dans le temps s'écrit 
\begin{eqnarray*}
\sum_{k}f_{(i+\tau)k}g(k)&=&F(g)_{\tau}(i)\\
&=&F(g_{\tau})(i)\\
&=&\sum_{k}f_{ik}g(k+\tau)\\
&=&\sum_{\ell}f_{i(\ell-\tau)}g(\ell).
\end{eqnarray*}
Cela entraîne que pour tout $\tau$, $f_{(i+\tau)k}=f_{i(k-\tau)}$. En faisant $\tau=k$, il vient $f_{(i+k)k}=f_{i0}$, i.e. $f_{ik}=f_{(i-k)0}$ ne dépend que de $i-k$. On note cela $f_{ik}=f(i-k)$. L'opérateur $F$ est donc donné par
\begin{eqnarray*}
F(g)(i)=\sum_{k}f(i-k)g(k).
\end{eqnarray*}

On remplace les fonctions sur $\Z$ par des fonctions sur $\R$. Par analogie, on étudie les opérateurs de la forme
\begin{eqnarray*}
F(g)(x)=\int f(x-t)g(t)\,dt.
\end{eqnarray*}

\finducours{10}

\subsection{Définition}

\begin{defi}
On appelle l'opération 
\begin{eqnarray*}
(f,g)\mapsto h, \quad h(x)=\int f(x-y)g(y)\,dy
\end{eqnarray*}
le \emph{produit de convolution} de $f$ et $g$, et on le note $f\star g$.
\end{defi}

On se demande à quelles conditions sur $f$ et $g$ le produit $f\star g$ est défini.

Si $f$ et $g$ sont positives, pas de problèmes. Si $f$ et $g$ changent de signe, il faut vérifier que $\int|f(x-y)g(y)|\,dy<+\infty$. Ce n'est pas automatique.

\begin{ex}
Soit $f(x)=\chi_{[-1,1]}(x)|x|^{-1/2}$. Alors $f$ est intégrable. Mais $f\star f(0)=\int_{-1}^{1}x^{-1}\,dx=+\infty$.
\end{ex}
En revanche, $f\star f$ est finie en dehors de $0$. Plus généralement,

\begin{theo}
Soient $f$ et $g$ des fonctions intégrables sur $\R$. Alors $h=f\star g$ est définie presque partout et c'est une fonction intégrable.
\end{theo}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire, voir en TD). On pose $\phi(x,y)=f(x-y)g(y)$. Alors, pour tout $y\in\R$, $x\mapsto \phi(x,y)$ est un multiple d'une translatée de $f$, donc est intégrable, et 
$\int \phi(x,y)\,dx=g(y)\int f(x)\,dx$. La fonction $y\mapsto \int \phi(x,y)\,dx$ est un multiple de $g$, donc elle est intégrable. Le théorème de Fubini-Tonnelli montre que $\phi$ est intégrable, et que $y\mapsto \int \phi(x,y)$ est intégrable pour presque tout $x$. Par conséquent, $h$ est définie presque partout et
\begin{eqnarray*}
\int|h(x)|\,dx&\leq&\int(\int|f(x-y)g(y)|\,dy)\,dx\\
&=&\int(\int|f(x-y)||g(y)|\,dx)\,dy\\
&=&\int(\int|f(x-y)|\,dx)|g(y)|\,dy\\
&=&\int|f(x)|\,dx\int|g(y)|\,dy.
\end{eqnarray*}}
\end{pf}

\subsection{Cas des fonctions périodiques}

Un énoncé identique est vrai pour les fonctions périodiques. La démonstration est la même, à condition décrire $x-y$ mod $2\pi$ à la place de $x-y$, et de n'intégrer que sur $[0,2\pi]$. Cela motive la définition suivante.

\begin{defi}
Soient $f$ et $g$ des fonctions $2\pi$-périodiques sur $\R$ et intégrables sur $[0,2\pi]$. On définit leur produit de convolution par
\begin{eqnarray*}
(f\star g)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x-t)g(t)\,dt.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{theo}
Soient $f$ et $g$ des fonctions $2\pi$-périodiques sur $\R$ et intégrables sur $[0,2\pi]$. Alors $h=f\star g$ est définie presque partout, $2\pi$-périodique sur $\R$ et intégrable sur $[0,2\pi]$.
\end{theo}

\begin{ex}
Soit $f=\frac{1}{a}\chi_{[0,a]}$ où $\chi_{[0,a]}$ désigne la fonction caractéristique de l'intervalle $[0,a]$. Alors $f\star g$ donne la moyenne de $g$ sur une fenêtre mobile de largeur $a$.
\end{ex}

\subsection{Propriétés}

\begin{prop}\label{propconv}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables (resp. $2\pi$-périodiques sur $\R$ et intégrables sur $[0,2\pi]$). Alors
\begin{enumerate}
  \item $f\star g=g\star f$.
  \item Si $f$ est de classe $C^1$ et $f'$ est intégrable et bornée, alors $h=f\star g$ est dérivable, et $h'=f'\star g$.
  \item Cas périodique. Les coefficients de Fourier de $h=f\star g$ satisfont $\hat{h}_n =\hat{f}_n \hat{g}_n$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{pf}
\textcolor{red}{(A savoir refaire, voir en TD).
\begin{enumerate}
  \item Soit $x\in\R$ tel que $t\mapsto g(x-t)f(t)$ est intégrable. Par la formule de changement de variable (en une variable),
\begin{eqnarray*}
(g\star f)(x)=\int g(x-t)f(t)\,dt = \int g(u)f(x-u)\,du=(f\star g) (x).
\end{eqnarray*}
  \item Par hypothèse, il existe $M$ tel que pour tout $x\in\R$, $|f'(x)|\leq M$. On applique le Théorème \ref{derivablei} (dérivation sous le signe somme) à la fonction $f(x,s)=f(s-x)g(x)$ sur $\R\times\R$.
\begin{itemize}
  \item {\em Dérivabilité}. Pour tout $x\in \R$, $f(x,s)$ est dérivable par rapport à $s$, de dérivée $f'(s-x)g(x)$ ;
  \item {\em Domination}. Pour tout $s \in \R$ et tout $x\in \R$, $\d\vert f'(s-x)g(x)\vert\leq M|g(x)|$ o\`u $|g|$ est une fonction ind\'ependante de $s$.
  \item {\em Intégrabilité}. $|g|$ est une fonction int\'egrable sur $\R$.
\end{itemize}
On conclut que $h:s\mapsto (f\star g)(s)=\int f(x,s)\,dx$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $$h'(s)=\int f'(s-x)g(x)\,dx=(f'\star g)(s).$$
  \item Pour $x$, $t\in[0,2\pi]$, on pose $k(x,t)=f(x-t)g(t)e^{-inx}$. D'après le Théorème de Fubini-Tonnelli,
\begin{eqnarray*}
\int\hskip-5pt\int_{[0,2\pi]\times[0,2\pi]}|k(x,t)|\,dx\,dt&=&\int_{0}^{2\pi}\hskip-5pt\int_{0}^{2\pi}|f(x-t)||g(t)|\,dx\,dt\\
&=&\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{2\pi}|f(x-t)|\,dx)|g(t)|\,dt\\
&=&(\int_{0}^{2\pi}|f(x)|\,dx)(\int_{0}^{2\pi}|g(t)|\,dt)
\end{eqnarray*}
est finie, donc $k$ est intégrable sur $[0,2\pi]$. 
D'après le Théorème de Fubini-Lebesgue,
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{4\pi^2}\int\hskip-5pt\int_{[0,2\pi]\times[0,2\pi]} k(x,t)\,dx\,dt&=&
\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x-t)g(t)\,dt)e^{-inx}\,dx\\
&=&\hat{h}_n .
\end{eqnarray*}
Mais aussi
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{4\pi^2}\int\hskip-5pt\int_{[0,2\pi]\times[0,2\pi]} k(x,t)\,dx\,dt&=&
\frac{1}{4\pi^2}\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{2\pi} f(x-t)e^{-in(x-t)}\,dx)g(t)e^{-int}\,dt\\
&=&\hat{f}_n \hat{g}_n .
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}}
\end{pf}

\subsection{Filtre passe bas}

C'est le dispositif qui retire à un signal périodique ses harmoniques d'ordres élevés.

\begin{defi}
Soit $N$ un entier. Le \emph{filtre passe-bas} $P_N$ est l'opérateur qui, à un signal périodique $g=\sum_{n\in\Z}\hat{g}_n e_n$ associe 
\begin{eqnarray*}
P_N (g)=\sum_{n=-N}^N \hat{g}_n e_n .
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{prop}
Le filtre passe bas $P_N$ coïncide avec le produit de convolution avec la fonction $p_N (t)=\frac{\sin((2N+1)t/2)}{\sin(t/2)}$.
\end{prop}

\begin{pf}
Si $h=P_N (g)$, alors $\hat{h}_n =c_n \hat{g}_n$ où $c_n=1$ si $|n|\leq N$, $c_n =0$ sinon. Il vient $h=f\star g$ où $f$ est la fonction de coefficients de Fourier $c_n$,
\begin{eqnarray*}
f(t)&=&\sum_{n\in\Z}c_n e_n (t) =\sum_{n=-N}^N e_n (t)=e^{-iNt} \sum_{n=0}^{2N}e^{int}\\
&=& e^{-iNt} \frac{1-e^{(2N+1)it}}{1-e^{it}} = \frac{e^{-i(2N+1)t/2}-e^{(2N+1)it/2}}{e^{-it/2}-e^{it/2}}\\
&=&\frac{\sin((2N+1)\frac{t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})}.
\end{eqnarray*}
\end{pf}

\begin{center}
\hskip0cm\includegraphics[scale=.3]{chiN.pdf}
\vskip-.5cm
\par Figure 4 : Courbe représentative de $p_{6}$.
\end{center}



\subsection{Aliassage et échantillonnage}

\subsubsection{Origine de l'aliassage}

L'aliassage {\texttt (aliasing)}, c'est l'apparition sur une image
\begin{itemize}
\item de marches d'escalier ;
\item de moirés ;
\end{itemize}
et la disparition de petits objets.

L'oeil est particulièrement sensible aux transitions sombre/lumineux, donc il s'attache à dé\-cor\-ti\-quer les marches d'escaliers et moirés (alignements de marches d'escalier dans les régions rayées) qui n'ont pourtant aucune signification. L'oeil voit des motifs qui n'existent pas, d'où la terminologie (alias = autre en latin).

\begin{center}
\hskip0cm\includegraphics[angle=90,scale=.2]{conealias.pdf}
\vskip0.3cm\par Figure 1 : Vue d'un cône rayé
\label{conealias}
\end{center}

L'aliassage a pour origine les erreurs d'{\em échantillonnage}, i.e. celles qui se produisent quand on transforme une image continue en une image discrète, i.e. un tableau de pixels. C'est lorsque l'image présente des transitions que l'échantillonnage pose des problèmes. On va analyser ma\-thé\-ma\-ti\-que\-ment la perte d'information lors de l'échantillonnage d'une fonction périodique d'une variable, cela conduira à une méthodologie qu'on appliquera à l'aliassage.

\subsubsection{Echantillonnage}
Les transitions brutales, i.e. les discontinuïtés, sont bien détectées par la transformation de Fourier, voir Remarque \ref{gibbs}. La discontinuïté se traduit par une décroissance lente des coefficients de Fourier, i.e. les hautes fréquences sont très présentes.

Les hautes fréquences sont difficiles à {\em échantillonner}, i.e. lorsqu'on transforme un signal continu en un signal discret en prenant ses valeurs à intervalles réguliers, les hautes fréquences donnent lieu à des erreurs. On va expliquer ce principe pour des fonctions d'une variable, la généralisation à deux variables est immédiate. 

\begin{ex}
Les fonctions $x\mapsto \sin(5x)$ et  $x\mapsto -\sin(2x)$ prennent les mêmes valeurs aux points $x=\frac{2k\pi}{7}$, $k\in\Z$. 
\end{ex}

\vskip-.6cm
\begin{center}
\hskip0cm\includegraphics[scale=.3]{sin5x.pdf}
\vskip-0.5cm\par 
Figure 3 : Courbes représentatives de $x\mapsto\sin(5x)$ et $x\mapsto -\sin(2x)$.
\end{center}

On appelle {\em échantillonnage en $N$ points} l'application linéaire qui à une fonction $2\pi$-périodique $f$ à valeurs complexes associe le vecteur
\begin{eqnarray*}
(f(0),f(\frac{2\pi}{N}),f(\frac{4\pi}{N}),\ldots,f(\frac{2(N-1)\pi}{N}))\in\C^N.
\end{eqnarray*}
Soit $\mathcal{T}_n$ l'espace vectoriel complexe des polynômes trigonométriques de degré $\leq n$. Comme sa dimension vaut $2n+1$, l'échantillonnage en $N$ points ne peut pas être injectif sur $\mathcal{T}_n$ si $N<2n+1$. Il y a donc forcément une perte d'information sur les signaux comportant de hautes fréquences. La réciproque est vraie, avec le même seuil $2n+1$.

\begin{theo}
L'échantillonnage en $N$ points est injectif sur les polynômes trigonométriques de degré $<N/2$.
\end{theo}

\begin{pf}
\textcolor{blue}{Echantillonner $f$ revient à remplacer $f$ par la mesure
$$
g_N = \sum_{k\in\Z}f(\frac{2k\pi}{N})\delta_{\frac{2k\pi}{N}} 
$$
où $\delta_x$ désigne la masse de Dirac en $x$. On va vérifier que les coefficients de Fourier de $g_N$ valent
$$
\widehat{(g_N )}_n =  \frac{N}{2\pi} \sum_{p\in\Z}\hat{f}_{n+pN}
$$
On parle de {\em repliement du spectre}. Si le spectre de $f$ (i.e. l'ensemble des indices $n\in\Z$ tels que $\hat{f}_{n}$ est non nul) est contenu dans un intervalle de longueur $<N$ (par exemple dans l'intervalle $]-N/2,N/2[$, l'application $\hat{f}\mapsto \widehat{(g_N)}$ est injective, donc $f\mapsto g_N$ est injective.}

\textcolor{blue}{Notons, pour $y\in[0,2\pi]$, 
\begin{eqnarray*}
\gamma_{y}=\sum_{p\in\Z} \delta_{y+2\pi p}
\end{eqnarray*}
la mesure périodique qui coïncide avec la masse de Dirac $\delta_{y}$ sur $[0,2\pi]$.
Par définition, les coefficients de Fourier de $\gamma_{y}$ valent
$$
\widehat{(\gamma_y )}_n = \frac{1}{2\pi}e^{-niy}.
$$
Comme
\begin{eqnarray*}
g_N =\sum_{k=1}^N f(\frac{2k\pi}{N})\gamma_{\frac{2k\pi}{N}},
\end{eqnarray*}}
\textcolor{blue}{il vient
$$
\widehat{(g_N )}_n = \sum_{k=1}^N \frac{1}{2\pi} f(\frac{2k\pi}{N})e^{-ni\frac{2k\pi}{N}}.
$$
Or 
$$
f(\frac{2k\pi}{N})=\sum_{p\in\Z}\hat{f}_{p}e^{ip\frac{2k\pi}{N}}.
$$
d'où
\begin{eqnarray*}
\hat{(g_N )}_n 
&=& 
\sum_{k=1\ldots,N, \,p\in\Z}\frac{1}{2\pi} \hat{f}_{p}e^{i(p-n)\frac{2k\pi}{N}}\\
&=&
\sum_{p\in\Z}\frac{1}{2\pi} \hat{f}_{p}\sum_{k=1}^N e^{i(p-n)\frac{2k\pi}{N}}\\
&=&
\sum_{p\equiv n \, mod\, N}\frac{N}{2\pi} \hat{f}_{p}
\end{eqnarray*}
et enfin
$$
\widehat{(g_N )}_n = \frac{N}{2\pi} \sum_{p\in\Z}\hat{f}_{n+pN}.
$$}
\end{pf}

Conclusion : avant d'échantillonner, il faut supprimer les hautes fréquences, i.e. appliquer le filtre passe-bas $P_N$.


\subsection{Comment réduire l'aliassage}

\begin{itemize}
\item En suréchantillonnant, i.e. en augmentant $N$. Comme cela est coûteux, on peut détecter les régions où un suréchantillonnage est nécessaire (en comparant la couleur en un point avec la couleur aux points voisins) et subdiviser les pixels correspondant. C'est le principe du {\em suréchantillonnage adaptatif}. On ne s'étendra pas dessus.
\item En supprimant les hautes fréquences dans l'image initiale, i.e. en appliquant l'opérateur $P_N$ ci-dessus ou une approximation de $P_N$ dans les deux directions $x$ et $y$.
\end{itemize}

\subsubsection{Approximation de $P_{N}$}
On obtient une bonne approximation de $P_N$ en effectuant une convolution avec une approximation de $p_N$, par exemple en tronquant $p_N$ à son premier $0$, et en remplaçant l'intégrale par une somme de Riemann relative à une subdivision en $2\ell+2$ intervalles. En termes d'échantillonnage, cela revient à choisir, pour discrétiser la fonction $f$, de remplacer $f(\frac{2k\pi}{N})$ par
$$
\sum_{j=-\ell}^\ell a_j f(\frac{2k\pi}{N}+\frac{2j\pi}{(\ell+1)N}) 
$$
où les $a_j$ sont des valeurs de $p_N$ normalisées,
\begin{eqnarray*}
a_{j}=\frac{p_{N}(\frac{2j\pi}{(\ell+1)N})}{\sum_{i=-\ell}^\ell \chi_{N}(\frac{2j\pi}{(\ell+1)N})}.
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\hskip0cm\includegraphics[scale=.4]{poidschiN.pdf}
\vskip-.5cm
\par Figure 5 : Discrétisation de $p_{6}$ ($\ell=2$).
\end{center}

Autrement dit, on régularise l'échantillonnage en prenant des moyennes pondérées des valeurs aux points voisins.

\subsubsection{Mise en oeuvre pratique}

Modélisons une image noir et blanc ou un texte destinés à être affichés sur un écran d'ordinateur par une fonction $f:[0,2\pi]^{2}\to[0,1]$. C'est réaliste si l'image est calculée (texte ou image de fabrication maison) ou donnée par un tableau de valeurs de gris de taille beaucoup plus grande que le nombre $L$ de lignes de l'écran. On choisit un nombre $N\leq L$ du même ordre de grandeur que $L$, de sorte que $2\pi/N$ est de l'ordre de quelques pixels. On choisit une valeur de $\ell$ petite (disons $\ell=2$). On attribue au pixel numéroté $(m,m')\in\{1,\ldots,L\}^{2}$ l'intensité lumineuse
\begin{eqnarray*}
I(m,m')=\sum_{j=-\ell}^{\ell}\sum_{j'=-\ell}^{\ell} a_{j}a_{j'}f(\frac{2m\pi}{L}+\frac{2j\pi}{(\ell+1)N},\frac{2m'\pi}{L}+\frac{2j'\pi}{(\ell+1)N}).
\end{eqnarray*}
Ce procédé remplace les zones de transition brutale entre ombre et lumière par des dégradés dans lesquels l'oeil ne trouve pas de détail auquel s'accrocher. Modifier le rapport $N/L$ permet d'étaler plus ou moins le dégradé.

\subsection{Lissage}

En combinant deux point de vue sur la convolution, on montre qu'elle permet d'approximer toute fonction par des fonctions très régulières, y compris des polynômes.

Le premier point de vue est que, si $f$ est positive d'intégrale $1$, $f\star g$ est une moyenne pondérée mobile de $g$. Si $g$ varie peu (par exemple, $g$ est continue), alors $f\star g$ est proche de $g$.

\textcolor{blue}{\begin{prop}
Soit $f_n$ une suite de fonctions positives sur $\R$ telle que
\begin{itemize}
  \item $f_n$ est nulle hors de $[-1,1]$ ;
  \item $\int f_n (x)\,dx=1$ ;
  \item Pour tout $\delta>0$, $\int_{-\delta}^{\delta}f_n (x)\,dx$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{itemize}
Soit $A>0$. Soit $g$ une fonction continue sur $\R$, nulle hors de l'intervalle $[-A,A]$. Alors $f_n \star g$ converge uniformément vers $g$ sur $\R$. 
\end{prop}}

\textcolor{blue}{\begin{pf}
$g$ est continue sur l'intervalle fermé borné $[-A-1,A+1]$, donc uniformément continue. Pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que
\begin{eqnarray*}
|x-x'|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(x')|>\epsilon.
\end{eqnarray*}
D'autre part, $g$ est bornée sur $[-A-1,A+1]$, $|g|\leq M$. Soit $x\in[-A-1,A+1]$.
\begin{eqnarray*}
|(f_n \star g)(x)-g(x)|&=&\int f_n (t)(g(x-t)-g(x))\,dt\\
&\leq&\int f_n (t)|g(x-t)-g(x)|\,dt\\
&=&\int_{|t|>\delta} f_n (t)|g(x-t)-g(x)|\,dt+\int_{|t|\leq\delta} f_n (t)|g(x-t)-g(x)|\,dt\\
&\leq&\int_{|t|>\delta} f_n (t)M\,dt+\int_{|t|\leq\delta} f_n (t)\epsilon\,dt\leq 2\epsilon
\end{eqnarray*}
pour $n$ assez grand (indépendamment de $x$), car la première intégrale tend vers $0$ et la seconde est $\leq\epsilon$. Si $x\notin[-A-1,A+1]$, $(f_n \star g)(x)=g(x)=0$. Dans les deux cas, il y a convergence uniforme.
\end{pf}}

Le second point de vue est que $f\star g$ est une moyenne pondérée de $f$. Si $f$ est régulière (e.g., de classe $C^k$), il en est de même de $f\star g$ (Proposition \ref{propconv}, 2.). On obtient donc une approximation de $g$ par une fonction plus régulière. On peut aller plus loin, approximer par les fonctions les plus régulières qui soient, les polynômes.

\textcolor{blue}{\begin{theo}[Stone-Weierstrass]
Soit $A\in\R$. Soit $g$ une fonction continue sur $\R$, nulle hors de l'intervalle $[-A,A]$. Alors $g$ est limite uniforme sur $[-A,A]$ d'une suite de polynômes.
\end{theo}}

\textcolor{blue}{\begin{pf}
Quitte à remplacer $g$ par $x\mapsto g(2Ax)$, on peut remplacer $[-A,A]$ par $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.
On pose $f_n (x)=\frac{1}{c_n} (1-x^2)^n \chi_{[-1,1]}$, où $c_n =\int_{-1}^{1}(1-t^2)^n \,dt$. D'après la proposition, $f_n \star g$ converge uniformément vers $g$. On remarque que, pour $x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$,
\begin{eqnarray*}
(f_n \star g)(x)&=&\int_{x-1}^{x+1}\frac{1}{c_n} (1-(x-t)^2)^n g(t)\,dt\\
&=&\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{c_n} (1-(x-t)^2)^n g(t)\,dt.
\end{eqnarray*}
Cette dernière intégrale est un polynôme en $x$. On obtient donc une approximation de $g$ par un polynôme sur son support.
\end{pf}}

\finducours{11}

\end{document}


\subsection{Une mesure diffuse et étrangère à la mesure de Lebesgue}

Diffuse signifie sans atomes. Mesures étrangères signifie que chacune est portée par un ensemble dont la mesure est nulle pour l'autre mesure.

\medskip

Soit $F$ l'ensemble des suites infinies de $0$ et de $1$. Soit $F_n =\{0,1\}^n$ l'ensemble des suites finies de $0$ et de $1$ de longueur $n$. C'est un ensemble fini, il porte une mesure de probabilité uniforme $\nu_n$. On voudrait prendre une limite de cette mesure quand $n$ tend vers l'infini. Le théorème suivant, admis (il résulte du même principe général que le Théorème \ref{lebesgue}), garantit que c'est possible. Il faut d'abord définir la tribu limite sur $F$.

\begin{defi}
Soit $\mathcal{T}$ la plus petite tribu contenant tous les ensembles de la forme $\{(u_n)_{n\in \N}\in F\,;\, (u_0 ,\ldots,u_{k-1})\in A\}$, où $A\in F_k$.
\end{defi}
Par définition, toute fonction $g:F\to\R$ telle que $g((u_n)_{n\in \N})$ ne dépend que d'un nombre fini de termes de la suite $(u_n)_{n\in \N}$ est mesurable.

\begin{theo}
\label{nu}
Il existe une unique mesure de probabilité $\nu$ sur $F$ muni de la tribu $\mathcal{T}$ telle que pour tout sous-ensemble $A\subset F_k$,
\begin{eqnarray*}
\nu(\{(u_n)_{n\in \N}\in F\,;\, (u_0 ,\ldots,u_{k-1})\in A\})=\nu_k (A).
\end{eqnarray*}
\end{theo}

\begin{prop}
La mesure $\nu$ n'a pas d'atomes.
\end{prop}

\begin{pf}
Soit $x=(u_n)_{n\in \N}$ un point de $F$. Soit $F_k \subset F$ le sous-ensemble des suites dont les $k$ premiers termes coïncident avec $(u_0 ,\ldots,u_{k-1})$. D'après le Théorème \ref{nu}, $\nu(F_k)=2^{-k}$. Comme le singleton $\{x\}$ est contenu dans $F_k$, $\nu(\{x\})\leq 2^{-k}$, pour tout $k$, donc $\nu(\{x\})=0$.
\end{pf}

\begin{prop}
Soit $h:F\to E$ l'application qui à une suite de $F$ associe le réel dont c'est le développement en base $3$. Alors $h$ est mesurable.
\end{prop}

\begin{pf}
$h$ est donnée par la formule
\begin{eqnarray*}
h((u_n)_{n\in\N})=\sum_{n=0}^{\infty}u_n 3^{-n}.
\end{eqnarray*}
C'est la limite simple des applications $h_N :(u_n)_{n\in\N}\mapsto\sum_{n=0}^{N-1}u_n 3^{-n}$. $h_N$ ne dépend que des $N$ premiers termes de la suite.
\end{pf}

\begin{cor}
Soit $\mu=h_* \nu$ la mesure image. Alors $\mu$ n'a pas d'atomes. Néanmoins, elle est portée par $E$ (le complémentaire de $E$ a une $\nu$-mesure nulle) qui est de Lebesgue mesure nulle.
\end{cor}

\subsection{Une fonction continue, de dérivée nulle presque partout}

\begin{prop}
La fonction $g$ définie sur $\R$ par
\begin{eqnarray*}
g(x)=\mu(]-\infty,x])
\end{eqnarray*}
est continue. Elle est dérivable, de dérivée nulle, en (Lebesgue)-presque tout point de $\R$. Mais elle n'est pas constante.
\end{prop}

\begin{pf}
D'après l'exemple \ref{repart}, comme $\mu$ n'a pas d'atomes, $g$ est continue. 

Si $x\notin E$, alors il existe $n$ tel que $x$ n'appartient pas à $E_n$. L'intervalle du complémentaire de $E_n$ qui contient $x$ est un voisinage de $x$ qui ne rencontre pas $E$, donc sur lequel $g$ est constante. Par conséquent, $g$ est dérivable en $x$, de dérivée nulle. Comme $E$ est de mesure de Lebesgue nulle, $g$ est dérivable presque partout pour la mesure de Lebesgue.

Enfin, $g$ vaut $0$ sur $]-\infty,0[$ et $1$ sur $]1,+\infty[$, elle n'est pas constante.
\end{pf}
	