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\def\R{{\bf R}}
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\def\d{\displaystyle}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
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\def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm}
\def\ques#1{\vskip 0.4truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005\par
\noindent{S4MIAS}\hfill Option Topologie
\vskip1truecm
\centerline{\smc Examen de Topologie, 2ème session}
\centerline{\sl  8 septembre 2005, durée 3h}
\centerline{\sl  Documents et calculettes interdits}
\centerline{Barême indicatif : I=12, II=8}

\ex{I}

\ques{1.}Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue et décroissante au sens large. Montrer qu'il existe \textbf{un et un seul} $c\in[0,1]$ tel que $f(c)=c$.

\ques{2.}Pour $n$ entier, $n\geq 1$, soit $f_n$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par $f_n (x)=\frac{1}{n}\sin(nx)-x +1$. Montrer qu'il existe au moins un $x_n \in [0,\pi]$ tel que $f_n (x_n )=0$. 

Montrer qu'il existe une suite extraite $x_{\phi(n)}$ qui converge vers un réel $\ell$. 

Montrer que $\frac{1}{n}\sin(nx_{n})$ tend vers 0. 

En déduire la valeur de $\ell$.

\ques{3.}Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Calculer et majorer la dérivée $f'$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$.

\ques{4.}Etudier la convergence de la suite $\d u_n =\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{k^{2}}{n^{2}})^{k/n^{2}}$.

\ques{5.}Soit $D$ une droite du plan et $(P_n )_{n\in\N}$ une suite de points du plan. Montrer que, pour chaque $n\in\N$, l'ensemble 
\begin{eqnarray*}
E_n =\{Q\in D \,|\,||Q-P_n||\in\Q\}
\end{eqnarray*}
des points de $D$ dont la distance à $P_n$ est un nombre rationnel est dénombrable. Montrer qu'il existe un point $Q$ de $D$ dont les distances à tous les points $P_n$ sont irrationnelles,
\begin{eqnarray*}
(\exists Q\in D)\quad(\forall n\in\N)\quad (||Q-P_n ||\in\R\setminus\Q).
\end{eqnarray*}



\ex{II}

On définit une suite de réels comme suit. Si $n\geq 1$ est un entier dont l'écriture décimale est $n=a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{0}$, on pose $\d u_{n}=\inv{k}(a_{k-1}+a_{k-2}+\cdots +a_{0})$. Autrement dit, $u_n$ est la moyenne des chiffres de $n$. Par exemple,
$u_{135}=\inv{3}(1+3+5)=3$.

\ques{1.}Calculer $u_{10^k}$ pour $k\in\N$.
Calculer $u_{90}$, $u_{9900}$, $u_{999000}$. 

\ques{2.}Vérifier que pour tout $n\geq 1$, $0\leq u_{n}\leq 9$. La suite $(u_n )_{n\geq 1}$ prend-elle la valeur 0 ? 

\ques{3.}La suite $(u_{n})$ possède-t-elle des valeurs d'adhérence ? Montrer que si $x$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$, alors $0\leq x\leq 9$.

\ques{4.}Montrer que $9/2$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$. 

\ques{5.}Montrer que la borne inférieure de la suite $(u_n )_{n\geq 1}$ est 0. Montrer que l'ensemble $E=\{u_n \,|\,n\geq 1\}$ possède un plus grand élément mais ne possède pas de plus petit élément.

\ques{6.}Soit $r\in]0,9[$ un nombre décimal, $r=p\, 10^{-k}$ où $p\in\N$. Montrer qu'il existe un entier $n$ à $10^k$ chiffres tel que $u_n =r$. Montrer que $r$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n )$.

\ques{7.}Soit $x\in]0,9[$. En utilisant une suite $(r_k )$ de nombres décimaux qui converge vers $x$, montrer que $x$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n )_{n\geq 1}$.

\vfill\eject

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005\par
\noindent{S4MIAS}\hfill Option Topologie
\vskip1truecm
\centerline{\smc Corrigé de l'examen de topologie, 2ème session}
\centerline{\sl  8 septembre 2005, durée 3h}

\ex{I}

\ques{1.}Soit $g$ la fonction continue sur $[0,1]$ définie par $g(x)=f(x)-x$. Montrons d'abord l'existence d'une solution pour l'équation $g(x)=0$. On a $g(0)=f(0)\geq 0$ et $g(1)=f(1)-1\leq 0$. Comme $f$ est décroissante, il y a trois cas.
\begin{itemize}
  \item Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient.
  \item Si $g(1)=0$, alors $c=1$ convient.
  \item Sinon, $g(0)>0>g(1)$, et le théorème des valeurs intermédiaires donne un $c\in]0,1[$ tel que $g(c)=0$.
\end{itemize}
D'autre part, $g$ est strictement décroissante. En effet, si $0\leq x<y\leq 1$,
$g(y)-g(x)=f(y)-f(x)-y+x\leq x-y<0$. Par conséquent, l'équation $g(x)=0$ possède au plus une solution. On conclut qu'il existe un unique $c\in]0,1[$ tel que $f(c)=c$.

\ques{2.}On constate que $f_n (0)=1>0$ et $f_n (\pi)=-\pi+1<0$. Comme $f_n$ est continue sur $[0,\pi]$, le théorème des valeurs intermédiaires donne un $x_n \in [0,\pi]$ tel que $f_n (x_n )=0$. 

La suite $(x_n )$ étant bornée, le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d'extraire une sous-suite $x_{\phi(n)}$ qui converge vers un réel $\ell$.

On majore $|\frac{1}{n}\sin(nx_{n})|\leq \frac{1}{n}$ qui tend vers 0, donc $\frac{1}{n}\sin(nx_{n})$ tend vers 0.

Or $f_{\phi(n)} (x_{\phi(n)})=0$, donc $x_{\phi(n)} -1=\frac{1}{\phi(n)}\sin(\phi(n)x_{\phi(n)})$ tend vers 0. On conclut que $x_{\phi(n)}$ tend vers 1, i.e. que $\ell=1$.

\ques{3.}On calcule $\displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2 )^2}$. Comme $1+x^2 -2|x|=(1-|x|)^2 \geq 0$, $2|x|\leq 1+x^2$, donc
\begin{eqnarray*}
|f'(x)|=\frac{2|x|}{(1+x^2 )^2}\leq \frac{1+x^2}{(1+x^2 )^2}=\frac{1}{1+x^2}\leq 1.
\end{eqnarray*}
La dérivée $f'$ étant bornée, $f$ est lipschitzienne donc uniformément continue.

\ques{4.}Soit $v_n =\ell n(u_n )$. Alors
\begin{eqnarray*}
v_n &=&\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}\ell n(1+\frac{k^{2}}{n^{2}})\\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n}),
\end{eqnarray*}
où $f(x)=x\ell n(1+x^2 )$. Comme $f$ est continue sur $[0,1]$, le théorème de convergence des sommes de Riemann s'applique, et $v_n$ converge vers
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f(x)\,dx &=&\int_{0}^{1}x\ell n(1+x^2 )\,dx\\
&=& \int_{1}^{2}\frac{1}{2}\ell n(t)\,dt\\
&=&\frac{1}{2}[t\ell n(t)-t]_{1}^{2}=\ell n(2)
-\frac{1}{2}.
\end{eqnarray*}
Par continuité de la fonction exponentielle, $u_n$ converge vers $\exp(\ell n(2)
-\frac{1}{2})=2/\sqrt{e}$.

\ques{5.}Pour chaque rationnel $r$, il y a au plus deux points de $D$ qui sont à distance $r$ de $P_n$, ce sont les points d'intersection (éventuels) de $D$ et du cercle de centre $P_n$ et de rayon $r$. Comme $\Q$ est dénombrable, cela fait un ensemble dénombrable de points. Pour le prouver de façon plus rigoureuse, on introduit la projection $H_n$ de $P_n$ sur $D$. $H_n$ divise $D$ en deux demi-droites $D^+$ et $D^-$. Les applications $D^{\pm}\cap E_n \to\Q$, $Q\mapsto ||Q-P_n ||$ sont injectives, donc les ensembles $D^{+}\cap E_n$ et $D^{-}\cap E_n$ sont dénombrables.

La réunion des $E_n$ est dénombrable, alors que $D$ ne l'est pas. Choisissons un point $Q\in D\setminus\bigcup_{n\in\N}E_n$. Alors pour tout $n$, $||Q-P_n ||\in\R\setminus\Q$.


\ex{II}

\ques{1.}On trouve $u_{10^k}=\frac{1}{k+1}$ pour $k\in\N$, et $u_{90}=u_{9900}=u_{999000}=\frac{9}{2}$.

\ques{2.}Tous les chiffres décimaux de $n$ étant compris entre 0 et 9, il en est de même de leur moyenne $u_n$. Pour que la moyenne $u_n$ soit 0, il faut que tous les chiffres soient 0, ce qui est impossible pour $n\geq 1$. 

\ques{3.}Comme la suite $(u_{n})$ est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle possède des valeurs d'adhérence. Soit $x$ une valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$. Alors il existe une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ qui converge vers $x$. Comme, pour tout
$n$, $0\leq u_{\phi(n)}\leq 9$, on trouve en passant à la limite que $0\leq x\leq 9$.

\ques{4.}En extrapolant 1, on constate que pour toutes les valeurs de $n$ de la forme $n=9.10^{k+1} +\cdots+9.10^{2k}$, on a $u_n =9/2$. On pose donc $\phi(k)=9.10^{k+1} +\cdots+9.10^{2k}$. La suite extraite $(u_{\phi(k)})$, extraite de $(u_n )$, est constante, donc elle converge vers $9/2$. Par conséquent, $9/2$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$. 

\ques{5.}D'après 2, 0 est un minorant de la suite $(u_n )$. D'après 1, la suite extraite $(u_{10^{k}})$ tend vers 0. Par conséquent, 0 est la borne inférieure de l'ensemble $E$. D'après 2, $0\notin E$, donc $E$ n'admet pas de plus petit élément. En revanche, $u_{9}=9\in E$ et $9$ est un majorant de $E$ donc $9$ est le plus grand élément de $E$.

\ques{6.}Soit $r=p\, 10^{-k}$. On cherche un entier $n$ à $10^k$ chiffres tel que $u_n =r$. Il suffit que la somme des chiffres soit égale à $p$. Soit $p=9q+b$ la division euclidienne de $p$ par 9. Comme $r<9$, $p< 9\,10^k$ donc $q< 10^k$, On peut donc former un nombre $n$ à $10^k$ chiffres qui contient $q$ fois le chiffre 9, une fois le chiffre $b$, les autres chiffres étant des zéros. La somme des chiffres vaut $q\times 9 +1\times b=p$, donc $u_n =r$.

On remarque que $r=10p \times 10^{-k-1}=100p\times 10^{-k-2}$, etc... En général, si $m\in\N$, $r=10^{m}p\times 10^{-k-m}$. Il existe un entier $n=\phi(m)$ à $10^{k+m}$ chiffres tel que $u_{n}=r$. Alors la suite extraite $(u_{\phi(m)})$ est constante, donc converge vers $r$. Cela prouve que $r$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n )$.

\ques{7.}Soit $(r_k )$ une suite de nombres décimaux qui converge vers $x$. Comme $0<x<9$, on peut supposer que $r_k \in]0,9[$. D'après 6, il existe des entiers $n$ arbitrairement grands tels que $u_n =r_k$. On peut en choisir un de sorte que $n=\phi(k)$ soit fonction croissante de $k$. Alors la suite extraite $(u_{\phi(k)})$ tend vers $x$. On conclut que $x$ est valeur d'adhérence de la suite $(u_n )_{n\geq 1}$.

\end{document}

\ex{II}

Soit $A$ l'ensemble des nombres décimaux strictement inférieurs à 1 et dont le développement décimal ne comporte aucun 9. Par exemple $0.1234567812$ appartient à $A$, mais pas $1.1$ ni $0.192$ ou $1/3$ ou $\sqrt{2}-1$.

\ques{1.}Montrer que pour tout entier $n$, il existe un élément $x_n$ de $A$ tel que $\d\frac{8}{9}-10^{-n}<x_n <\frac{8}{9}$.

\ques{2.}Montrer que $\frac{8}{9}$ est la borne supérieure de $A$.


\ex{II}

\ques{1.}Le développement décimal illimité de $\frac{8}{9}$ est $\frac{8}{9}=0.88888\ldots$. Posons $x_n =0.8888\ldots 888$ ($n$ chiffres 8). Alors $x_n < \frac{8}{9}$. D'autre part, 
\begin{eqnarray*}
x_n +10^{-n}=0.8888\ldots 888+0.0000\ldots 001
=0.8888\ldots 889>\frac{8}{9},
\end{eqnarray*}
donc $\d\frac{8}{9}-10^{-n}<x_n <\frac{8}{9}$.

\ques{2.}Si $x\in A$ et $x\geq 0$, alors $x$ possède un développement décimal fini $x=0.b_1 b_2 \ldots b_k$ où les $b_j$ sont au plus égaux à 8, donc $x\leq 0.88\ldots 8=x_k$. En particulier, $x\leq \frac{8}{9}$. Si $x\in A$ et $x<0$, alors évidemment $x<\frac{8}{9}$. Ceci prouve que $\frac{8}{9}$ est un majorant de $A$.

En 1., on a montré que $\frac{8}{9}$ est limite d'une suite d'éléments de $A$. On conclut que $\frac{8}{9}$ est la borne supérieure de $A$.

