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\def\ll#1#2{\displaystyle{\lim_{#1\rightarrow #2}}\ }
% macro pour la limite demander \ll{x}{x_0}


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\begin{document}  
\large 


{\hfill\tm{\color{blue} EXERCICES} \hfill}


\vskip 12mm

\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}1 -- } Soit $E$ l'ensemble des rationnels inférieurs à $\sqrt{2}$.

\smallskip\noindent 1 - Montrer que $E$ admet une borne supérieure $M$ dans \R.

\smallskip\noindent 2 - Montrer que $M=\sqrt{2}$ (on pourra raisonner par l'absurde).

\smallskip\noindent 3 - $E$ est-il une partie fermée de \R?


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}2 -- } 
Soit $E$ l'ensemble des r\'eels de $]0,1[$ dont le d\'eveloppement en base $10$
comporte une infinit\'e de
fois le chiffre $3$ et dont la somme des quatre premières d\'ecimales vaut $32$.

Calculer $\sup E$ et $\inf E$. (On devra "subodorer" ces valeurs et le
d\'emontrer ensuite\dots) Ces bornes appartiennent-elles à $E$ ?




\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}3 -- } On pose $f(x)=x^3+x-1$ et on définit deux parties de \R\ par 
$$A=\{x\in\R,\ :\ f(x)<0\},\qquad B=\{x\in\R,\ :\ f(x)>0\}.$$

\smallskip\noindent 1 - Montrer que $A$ et $B$ sont non vide, que $A$ est majoré par tout élément de $B$ et que $B$ est minoré par tout élément de $A$. 


\smallskip\noindent 2 - On note $M$ la borne supérieure de $A$ et $m$ la borne inférieure de $B$. Donner un encadrement simple de ces deux nombres.

\smallskip\noindent 3 - Montrer par l'absurde que $M=m$.

\smallskip\noindent 4 - Montrer que $f(M)=0$. Que sont, finalement, les ensembles $A$ et $B$ ?



\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}4 -- } Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. On suppose $f(a)>0$ et $f(b)<0$.

\smallskip\noindent 1- Montrer que $E=\{x\in[a,b],\ f(x)>0\}$ admet une borne supérieure $c$.


\smallskip\noindent 2- Montrer que $c>a$.


\smallskip\noindent 3- Montrer que $c<b$.


\smallskip\noindent 4- Montrer que $f(c)=0$.

\smallskip\noindent 5 - Appelons $H=f^{-1}(0)$ = l'ensemble des points de $[a,b]$ où $f$ s'annule. Quelle est la nature de $H$ ? 


\smallskip\noindent 6 - On définit maintenant $F$ comme l'ensemble des éléments $t$ de $]a,b]$ tels que $f$ est strictement positive sur le segment $[a,t]$. On appelle $d=\sup F$. Montrer que $f(d)=0$. 




\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}5 -- } On va montrer qu'il est impossible de trouver une partie $F$ à la fois ouverte et fermée, non vide et distincte de \R. On va raisonner par l'absurde.

\smallskip\noindent 1 - Montrer que cela revient à supposer l'existence de deux fermés $F_1$ et $F_2$ {\bf disjoints} non vides dont la réunion est égale à \R\ tout entier.

\smallskip On supposera donc, pour simplifier les notations, que $0\in F_1$ et $1\in F_2$. Le segment $[0,1]$ contient donc des points de $F_1$ {\bf et} des points de $F_2$.

\smallskip Soit $a=\inf \Big([0,1]\cap F_2\Big) $


\smallskip\noindent 2 - Montrer que $a\in F_2$ et que $a>0$.


\smallskip\noindent 3 - Que peut-on dire des réels de $[0,a[$ ? En déduire que $a\in F_1$ et conclure.




\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}5 bis -- } On va montrer qu'il est impossible de trouver  une partie $F$ à la fois ouverte et fermée, non vide et distinct de \R. On va raisonner par l'absurde.

\smallskip\noindent 1 - Montrer que cela revient à supposer l'existence de deux fermés $F_1$ et $F_2$ {\bf disjoints} non vides dont la réunion est égale à \R\ tout entier.

\smallskip On supposera donc, pour simplifier les notations, que $0\in F_1$ et $1\in F_2$. Le segment $[0,1]$ contient donc des points de $F_1$ {\bf et} des points de $F_2$.


\smallskip\noindent 2 - Montrer que l'une au moins des deux moitiés $[0,1/2]$ ou $[1/2,1]$ possède encore cette propriété $\cal P$ : " contenir des points de $F_1$ {\bf et} des points de $F_2$".


\smallskip\noindent 3 - En utilisant le théorème des segments emboîtés, construire un point $c\in[0,1]$ possédant la propriété suivante : "tout voisinage de $c$ contient des points de $F_1$ et des points de $F_2$".


\smallskip\noindent 4 - Conclure à l'impossibilité.


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}6 -- } Voici un procédé assez puissant pour montrer qu'une certaine propriété $P$ est vraie sur un segment (par exemple $[0,1]$) :

\smallskip\noindent 1 - Montrer qu'elle est vraie au voisinage de $0$, en pratique sur un petit segment $[0,\alpha]$.

\smallskip\noindent 2 - Introduire l'ensemble $E$ des $x\in]0,1]$ tels que $P$ est valable sur le segment $[0,x]$. Soit $M$ la borne supérieure de $E$.

\smallskip\noindent 3 - Montrer que $\sup E=1$ {\bf et} que $\sup E\in E$ (peu importe dans quel ordre). On aura donc $E=[0,1]$

\bigskip {\noindent\it Application} : Soit $U_i$ une famille infinie d'intervalles ouverts dont la
r\'eunion contient $[0,1]$.
Montrer que l'on peut trouver un nombre fini d'intervalles de cette famille
dont la r\'eunion contient
encore $[0,1]$.


 
\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}7 -- } Rappelons qu'on dit que $E$ est un intervalle quand il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $]a,b[\subseteq E\subseteq [a,b]$. Montrer qu'une partie $E$ de
{\ms R} poss\'edant la
propri\'et\'e suivante $$\Big(\forall x,y \in E\Big)\ \Big( [x,y]\subset E\Big)$$
est un intervalle.


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}8 -- } On se donne une famille ( a priori infinie) $H_i$ ($i\in {\cal J}$) d'intervalles contenant tous un même point $a$. Montrer que la réunion $A=\yy\bigcup_{i\in J} H_i$ est encore un intervalle.

On ne traitera pas tous les cas possibles, mais seulement (par exemple) :

$\spadesuit$ $A$ est borné.

$\spadesuit$ $A$ est minoré, mais pas majoré.




\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}9 -- } On note $E$ l'ensemble des nombres de la forme
$p+q\sqrt{2}$ o\`u $p$ et $q$ sont des
entiers relatifs.


\smallskip\noindent 1 - Trouver un \'el\'ement $\alpha$ de $E$ compris entre $0$ et $1$, puis une suite de points de $E$ convergeant vers $0$.


\smallskip\noindent 2 - Montrer que tout intervalle réel $]a,b[$ contient au moins un point de $E$ : \'etant donn\'e un intervalle $]a,b[$, on commencera par montrer qu'il existe un \'el\'ement $x_0$ de $E$ tel que $0<x<b-a$, et on regardera la suite $x_0,2x_0,3x_0,\cdots$.


\smallskip\noindent 3 -  Comment peut-on écrire un intervalle quelconque $]a,b[$ comme la réunion d'une infinité d'intervalles non vides ? En déduire que $]a,b[$ continent une infinité de points de $E$.


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}10 -- } Soit $f:\R\rightarrow\R$ continue. 

\smallskip\noindent 1 - Soit $F$ un fermé. Montrer que $f^{-1}(F)$ est encore un fermé.

\smallskip\noindent 2 - Soit $U$ un ouvert. Montrer que $f^{-1}(U)$ est encore un ouvert.


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}11 -- } Identifier $\yy\bigcup_{n=2}^{+\ii} \Big[\frac{1}{n},3-\frac{1}{n}\Big]$. A-t-on une contradiction avec les propriétés des fermés ?

\medskip
Identifier $\yy\bigcap_{n=2}^{+\ii} \Big]-\frac{1}{n},3+\frac{1}{n}\Big[$. A-t-on une contradiction avec les propriétés des ouverts ?



\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}12 -- } Soit $A$ une partie infinie  de \R.

On appelle point d'accumulation de $A$ tout réel $x_0$ possédant la propriété suivante :

\smallskip  Tout voisinage de $x_0$ contient une infinité de points de $A$.

\smallskip\noindent 1 - Montrer que l'ensemble $F$ des points d'accumulation de $A$ est un fermé (donner deux démonstrations).


\smallskip\noindent 2 - Montrer que $A\cup F$ est un fermé (quelle que soit la nature de $A$).


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}12 bis -- } On va montrer que toute partie infinie bornée $A$ de \R\ admet au moins un point d'accumulation (tout voisinage de ce point contient une infinité de points de $A$).

%On suppose $A\subset [0,1]$ pour simplifier les notations. On pose
$$\hbox{On définit}\ E=\{x\in\R\ :\ \hbox{il y a une infinité de points de $A$ à droite de}\ x\}$$
\smallskip\noindent 1 - Montrer que $E$ admet une borne supérieure, et que cette borne est un point d'accumulation de $A$. 

\smallskip\noindent 2 - Définir un autre point d'accumulation de $A$ en utilisant la borne inférieure et un autre ensemble $E$ que l'on définira.

\smallskip\noindent 3 - Quels sont les points d'accumulation de $A=\{1/2,1/3,1/4,\cdots,1/n,\cdots\}$ ? De \Q ? De \N ?


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}12 ter -- } Soit $A$ une partie infinie de \R, et $a$ un point d'accumulation de $A$. 

Construire une suite strictement monotone de points de $A$ qui converge vers $a$. 


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}13 -- } On va montrer qu'une fonction continue sur un segment $[a,b]$ y est {\it uniformément continue}, à savoir :

Pour tout $\varepsilon>0$, il existe un $\alpha>0$ tel que $|x-y|<\alpha\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

\smallskip
On va raisonner par l'absurde.

\smallskip\noindent 1 - Ecrire la propriété et sa négation avec des quantificateurs. Montrer que cette négation peut s'exprimer plus simplement en introduisant deux suites de points de $[a,b]$.


\smallskip\noindent 2 - En utilisant la compacité du segment, arriver à une contradiction.


\smallskip\noindent 3 - Montrer, à l'aide de cette propriété, que pour tout $\varepsilon>0$ il existe une fonction continue linéaire par morceaux $g$ (on subdivise $[a,b]$ en un nombre fini de points $a_0=a<a_1<\cdots<a_{n-1}<a_n=b$ et $g$ est la ligne brisée joignant chaque point $(a_j,f(a_j))$ au point suivant $(a_{j+1},f(a_{j+1})$) telle que 
$$(\forall x\in[a,b])(|f(x)-g(x)|<\varepsilon)$$


\smallskip\noindent 4 - Comment exprimer ce résultat en terme de convergence uniforme ?


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}13 bis -- } On va démontrer que pour toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ on a $$\ll{n}{+\ii}\int_a^b f(t)\sin nt dt=0$$
\smallskip\noindent 1 - Montrer le résultat pour une fonction afine $f:t\mapsto ut+v.$

\smallskip\noindent 2 - Montrer le résultat pour une fonction $f$ linéaire par morceaux sur $[a,b]$.

\smallskip\noindent 3 - En utilisant le résultat final de l'exercice précédent, démontrer le résultat pour $f$ continue quelconque.




\vskip 12mm\noindent
{\tmq \color{blue}14 -- } Soit $\Omega_j$ ($j\in{\cal J}$) une famille quelconque\footnote{\tim L'exercice est surtout intéressant quand on a une infinité d'ouverts dans cette famille, i.e. quand l'ensemble d'indice $\cal J$ est infini.} d'ouverts dont la réunion contient le segment $[0,1]$. On va démontrer qu'il existe un réel $\delta>0$ possédant la propriété suivante :

\smallskip
Pour tout $x\in[0,1]$, il existe au moins un ouvert $\Omega_j$ ( dépendant évidemment de $x$) qui contient entièrement l'intervalle ouvert $]x-\delta,x+\delta[$.


\smallskip\noindent 1 - Ecrire cette propriété et sa négation avec des quantificateurs.


\smallskip\noindent 2 - Ecrire cette négation en introduisant une suite de points de $[0,1]$. On va raisonner par l'absurde, en supposant vraie cette négation.


\smallskip\noindent 3 - En utilisant la compacité de $[0,1]$, montrer que l'on arrive à une impossibilité.


\smallskip\noindent 4 - En déduire que l'on peut trouver {\bf un nombre fini} d'ouverts $\Omega_1,\cdots,\Omega_m$ dont la réunion contient $[0,1]$.

\smallskip\noindent 5 - Par quoi peut-on remplacer le segment $[0,1]$ ? Peut-on généraliser à $\R^n$ ? En remplaçant quoi par quoi ?


\vskip 12mm\noindent
{\tmq \color{blue}15 -- } On pose $I_n=\yy\int_0^{+\ii}\Big(\frac{\sin t}{t}\Big)^ndt$ pour tout $n\geq 1$ entier. On sait que ces intégrales généralisées sont absolument convergentes à partir de $n=2$, $I_1$ étant uniquement semi-convergente. 

\smallskip\noindent 1 - Montrer que $\ll{n}{+\ii}\int_2^{+\ii}\Big(\frac{\sin t}{t}\Big)^ndt=0$.

\smallskip\noindent 2 - Soit $0<a<2$ un réel donné. Montrer que sur $[a,2]$ on a $\yy\Big(\frac{\sin t}{t}\Big)^n\leq\Big(\frac{\sin a}{a}\Big)^n$.

\smallskip\noindent 3 - Montrer, en revenant soigneusement à la définition d'une limite et en coupant $[0,2]$ en deux intervalles, que $\ll{n}{+\ii}\int_0^{2}\Big(\frac{\sin t}{t}\Big)^ndt=0$.

\newpage\null
\vskip -22mm\noindent
{\tmq \color{blue}16 -- } Etant donné deux parties non vides $A$ et $B$ de \R, on note $A+B$ l'ensemble des réels $x$ qui peuvent s'écrire $x=a+b$ où $a\in A$ et $b\in B$.

\medskip
On remarquera que $A+B$ est l'image du produit $A\times B\subset\R^2$ par l'application de $\R^2$ dans \R \ définie par $(x,y)\mapsto f(x,y)=x+y$.

\smallskip
On supposera dans l'exercice que $A$ et $B$ sont bornées.

\medskip\noindent 1 - Montrer que $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$ et $\inf (A+B)=\inf A+\inf B$.

\medskip\noindent 2 - On suppose maintenant que $A=[a_1,a_2]$ et $B=[b_1,b_2]$.

\smallskip\noindent $\bullet$ Montrer que $A+B\subseteq [a_1+b_1,a_2+b_2]$.

\smallskip\noindent $\bullet$ Montrer que $[a_1+b_1,a_2+b_2]\subseteq A+B$ ({\it indication : comment peut-on écrire un réel appartenant à un segment} $[u,v]$ ?).


\medskip\noindent 3 - Que vaut $A+B$ lorsque $A=]a_1,a_2[$ et $B=]b_1,b_2[$ ?


\medskip\noindent 4 - On vient de démontrer que si l'on a quatre réels $a_1<a_2$ et $b_1<b_2$, alors tout réel $x$ strictement compris entre $a_1+b_1$ et $a_2+b_2$ peut se mettre sous la forme $x=u+v$ avec $a_1<u<a_2$ et  $b_1<v<b_2$.

\smallskip\noindent $\bullet$ Montrer qu'il y a une infinité de façons de le faire.

\smallskip\noindent $\bullet$ Faire un dessin pour visualiser les choses dans le plan. Quel est l'ensemble des couples $(u,v)\in\R^2$ de solutions ? Est-il ouvert ? Fermé ?

\medskip\noindent 5 - Comment peut-on utiliser la notion de connexité par arcs (dans $\R^2$ et dans \R) pour montrer plus rapidement que si $A$ et $B$ sont des intervalles, alors $A+B$ est un intervalle ?


\vskip 12mm\noindent
{\tmq \color{blue}17 -- } 
\smallskip\noindent 1 - Soit $E$ une partie non vide de \R. Interpréter, en terme de suite, la relation $\inf E=0$.

\medskip\noindent 2 -
On considère un fermé $F$ et un compact $K$ non vides disjoints de \R, et l'on pose
$$m=\inf\{|x-y|,\ x\in F,\ y\in K\}$$
Montrer que $m$ est strictement positive.

\smallskip\noindent 3 - Donner un exemple de deux fermés disjoints pour lesquels le nombre $m$ est nul.


\vskip 12mm\noindent
{\tmq \color{blue}18 -- } Soit $A$ une partie non vide de \R. Pour tout $x$ réel on pose
$$f(x)=\inf\{|x-a|,\ a\in A\}$$
\smallskip\noindent 1 - Calculer $f$ dans le cas $A=]0,1]$.

\smallskip\noindent 2 - En partant de l'inégalité triangulaire $|x-a|\leq |x-y|+|y-a|$, montrer que :

$\bullet$ $f(x)\leq |x-y|+|y-a|$ (pour tous $x,y\in\R$ et tout $a\in A$)

$\bullet$ $f(x)\leq |x-y|+f(y)$ (pour tous réels $x,y$).

\smallskip\noindent 3 - En déduire un encadrement de $|f(x)-f(y)|$ montrant que $f$ est continue sur \R.

\smallskip\noindent 4 - On suppose $A$ fermé. Montrer que $f(x)=0$ si et seulement si $x\in A$.

\smallskip\noindent 5 - Soit $\varepsilon>0$ donné. Montrer que l'ensemble des $x\in\R$ tels que $f(x)<\varepsilon$ est un ouvert contenant $A$.


\smallskip\noindent 6 - Soit $A$ un fermé et $B$ un compact non vides disjoints de \R. En étudiant la fonction $f$, montrer qu'il existe un réel $m$ strictement positif tel que
$$(\forall a\in A)(\forall b\in B)(|a-b|\geq m)$$ 


\smallskip\noindent 7 - Soit $A$ et $B$ deux compacts disjoints. Montrer qu'il existe un ouvert $U$ contenant $A$ et un ouvert $V$ contenant $B$ tels que $U\cap V=\emptyset$.


\vskip 8mm\noindent
{\tmq \color{blue}19 -- } On se place dans le plan.

\smallskip\noindent 1 - Montrer que le demi-plan $ax+by+c>0$ est un ouvert. Montrer que le demi-plan $ax+by+c\geq 0$ est un fermé.

\smallskip\noindent 2 - Montrer que $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x>1,y>2,x+y<12\}$ est un ouvert. On cherchera plusieurs méthodes possibles.

\smallskip\noindent 3 - Montrer que $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\geq 1,y\geq 2,x+y\leq12\}$ est un fermé.


\vskip 5mm\noindent
{\tmq \color{blue}20 -- } 
Soit $f_n$ une suite de fonctions continues sur $[0,1]$. On suppose que pour chaque $x$ la {\bf suite} $f_n(x)$ est croissante et majorée, et que la limite $f$ est continue.

\medskip On se donne un $\varepsilon>0$.

\smallskip\noindent 1 - montrer que pour tout $x$ de $[0,1]$ il existe un intervalle $U_x$ et un
entier $n_x$ tels que $0<f(t) - f_{n_x}(t)<\varepsilon$ pour tout $t$ de cet $U_x$.

\smallskip\noindent 2 - Montrer que pour tout entier $p>n_x$ on a encore $0<f(t) - f_{p}(t)<\varepsilon$ pour tout $t$ de cet $U_x$.


\smallskip\noindent 3 - Que peut-on dire de $\yy\bigcup_{x\in[0,1]} U_x$ ? 



\smallskip\noindent 4 - On rappelle que si la réunion d'une famille d'ouverts contient un segment, alors on peut trouver un nombre fini de ces ouverts dont la réunion contient encore le segment. 


\smallskip Montrer qu'il existe un entier $m$ tel que
$0<f(t)-f_m(t)<\varepsilon$
pour tout $t$ de $[0,1]$.


\smallskip\noindent 5 - que peut-on dire de la convergence de la suite de fonctions $f_n$ vers $f$ ?


\vskip 5mm\noindent
{\tmq \color{blue}21 -- } On rappelle que tout réel est la limite d'une suite de rationnels. On rappelle aussi que tout rationnel s'écrit de façon unique sous la forme dite irréductible $\yy\frac{p}{q}$ où les entiers $p$ et $q$ sont sans diviseur commun.

On rappelle enfin qu'une fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si elle possède la propriété suivante : quelle que soit la suite $x_n$ convergeant vers $x_0$, alors la suite $f(x_n)$ converge vers $f(x_0)$.

\smallskip\noindent 1 - Montrer que si la suite de rationnels $\yy\frac{p_n}{q_n}$ converge vers un irrationnel $x_0$, alors la suite $q_n$ tend vers $+\ii$.

\smallskip\noindent 2 - On définit sur \R\ la fonction $f$ par $f(x)=0$ si $x$ est irrationnel et $\yy f\Big(\frac{p}{q}\Big)=\frac{1}{q}$ pour un rationnel écrit sous sa forme irréductible.

\smallskip $\bullet$ Montrer que $f$ est continue en tout point $x_0$ irrationnel.

\smallskip $\bullet$ Que se passe-t-il en un $\yy x_0=\frac{p}{q}$ rationnel ?



\vskip 7mm\noindent
{\tmq \color{blue}22 -- } Soit $A$ une partie de $\R^n$. 

\begin{itemize}
\item On note  $\overline{A}$ l'ensemble des points $x_0$ de $\R^n$ possédant la propriété suivante :

\smallskip
Tout voisinage de $x_0$ contient au moins un point de $A$.

\item On note $\stackrel{\circ}A$ l'ensemble des $x_0$ possédant la propriété suivante :

\smallskip
Il existe une boule ouverte de centre $x_0$ incluse dans $A$.

\end{itemize}

\medskip\noindent 1 - Montrer que $\overline{A}$ est un fermé contenant $A$.

\smallskip\noindent 2 - Montrer que $\stackrel{\circ}A$ est un ouvert contenu dans $A$.

\smallskip\noindent 3 - Quelle est la nature de  $T=\overline{A}\setminus {\stackrel{\circ}A}$ ? Donner une caractérisation des points de cet ensemble en terme de voisinages.

\smallskip\noindent 4 - Trouver $T$ dans le cas où $A=[0,1[$, $A=\N$, $A=\Q$.


\smallskip\noindent 5 - On rappelle qu'une partie de $\R^n$ à la fois ouverte et fermée est égale à $\R^n$ tout entier ou est vide. A quelle condition sur $A$ l'ensemble $R$ est-il vide ?




\vskip 7mm\noindent
{\tmq \color{blue}23 -- } Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ de classe $C^2$. Calculer la dérivée seconde de la fonction $g:\R\rightarrow\R$ définie par $g(t)=f(\cos t,\sin t)$.




















\end{document}



\vskip 7mm\noindent
{\tmq \color{blue}22 -- } Soit $F$ un fermé de $\R^n$. On appelle  $A$ l'ensemble des points $a$ de $\R^n$ possédant la propriété suivante :

\medskip
Tout voisinage de $a$ contient au moins un point de $F$ et un point de son complémentaire.

\medskip\noindent 1 - Montrer que $A\subset F$. Donner une caractérisation plus simple de $A$.

\smallskip\noindent 2 - Montrer que $A=F$ si et seulement si $F$ ne contient aucune boule ouverte.

\smallskip\noindent 3 - Montrer que $A$ est un fermé.




\newpage\noindent
{\tmq \color{blue}20 -- } Voici une très belle application de l'exercice 5. On va démontrer que si la fonction $f$ est développable en série entière et n'est pas identiquement nulle, elle ne peut admettre qu'un nombre fini de racines dans une partie compacte du disque ouvert de convergence.

\smallskip
En pratique, on prendra tout simplement $f(x)=\yy\sum_{n=0}^{+\ii} a_nx^n$ avec un rayon de convergence $R=1$, et on se placera dans un intervalle $[-a,a]$ où $a$ est strictement plus petit que $1$. On va montrer que l'équation $f(x)=0$ ne peut pas y admettre une infinité de racines.

\medskip{\hfill \tmq Première partie \hfill}

\medskip\noindent 1 - Soit $x_0\in]-1,1[$ un réel fixé et $\rho$ un réel strictement compris entre $|x_0|$ et $1$. Montrer que pour tout $k\geq 0$ on a
$$\Big| f^{(k)}(x_0)\Big|\leq \sum_{n=k}^{+\ii} n(n-1)\cdots(n-k+1) |a_n||x_0|^n=\sum_{n=k}^{+\ii} n(n-1)\cdots(n-k+1)\rho^n |a_n|\frac{|x_0|^n}{\rho^n}$$ 

\medskip\noindent 2 - En déduire qu'il existe une constante $M$ dépendant uniquement de $x_0$ (et pas de $k$) telle que
$$\Big| f^{(k)}(x_0)\Big|\leq M\sum_{n=k}^{+\ii} n(n-1)\cdots(n-k+1) \rho^n.$$

\medskip\noindent 3 - Vérifier que $\yy\sum_{n=k}^{+\ii} n(n-1)\cdots(n-k+1) \rho^n=\frac{k!}{(1-\rho)^{k+1}}$ et en déduire que $\yy\Big| f^{(k)}(x_0)\Big|\leq \frac{M k!}{(1-\rho)^{k+1}}$ puis finalement que 
$$\yy\Big| f^{(k)}(x_0)\Big|\leq \frac{M k!}{(1-|x_0|)^{k+1}}.$$

\medskip\noindent 4 - Montrer que la série entière $\yy\sum_{k=0}^{+\ii} \frac{h^k}{k!}f^{(k)}(x_0)$ converge pour tout $h$ inférieur en valeur absolue à $1-|x_0|$. En déduire que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ouvert de centre $x_0$ et de rayon $1-|x_0|$ on a 
$$f(x)= \sum_{k=0}^{+\ii} \frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x_0).$$

\bigskip{\hfill\tmq Deuxième partie \hfill}

\medskip
Soit maintenant $0<a<1$ fixé. On appelle $H$ l'ensemble des réels $x$ du segment $[-a,a]$ possédant la propriété suivante :
$$(\forall k\geq 0)(f^{(k)}(x)=0)$$
$H$ est donc l'ensemble des points de $[-a,a]$ où $f$ et toutes ses dérivées successives sont simultanément nulles.

\medskip\noindent 5 - Montrer que $H$ est fermé.

\medskip\noindent 6 - Montrer, à l'aide de la première partie, que si $x_0\in H$, alors $f$ est identiquement nulle au voisinage de $x_0$. Que peut-on en déduire sur la nature de $H$ ?

\medskip\noindent 7 - Que peut-on dire de $H$, en utilisant l'exercice 5 (connexité de \R) ? 


\bigskip{\hfill\tmq Troisième partie \hfill}

\medskip On sait maintenant que $H$ est vide. 

\medskip\noindent 8 - Démontrer, par l'absurde, que $f$ n'admet qu'un nombre fini de racines dans $[-a,a]$.

\medskip\noindent 9 - Où intervient le fait que l'on se limite à $a<1$ ? Quel serait le problème en prenant $a=1$ ?



\newpage


\bigskip\noindent
{\tmq \color{blue}1 -- } On va s'intéresser à la fonction définie sur $\R^2$ par
$$f(x,y)=\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\quad\hbox{si}\ x\not=y,\qquad f(x,x)=\cos x$$

\smallskip\noindent 1 - Ecrire le développement limité à l'ordre $2$ de la fonction $t\mapsto \sin t$ au voisinage de $t_0$. Montrer que le plan privé de la droite $y=x$ est un ouvert.

\bigskip{\hfill \bf Première partie\hfill}

\smallskip\noindent 2 - Montrer que $f$ est continue en tout point du plan.


\smallskip\noindent 3 - Calculer la dérivée partielle $\yy\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$. On donnera deux expressions différentes suivant le point $(x_0,y_0)$.


\smallskip\noindent 4 - En considérant la fonction d'une variable $y\mapsto h(y)=(x-y)\cos x-(\sin x-\sin y)$, montrer qu'il existe - lorsque $x\not=y$ - un réel $c(x,y)$ compris entre $x$ et $y$ tel que $\yy\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\frac{\sin c(x,y)}{2}.$ 


\smallskip\noindent 5 - Montrer que $f$ est différentiable en tout point du plan.


\smallskip\noindent 6 - Ecrire la différentielle de $f$ en un point $(x_0,x_0)$. 

\smallskip\noindent 7 - On se place en un point $(x_0,x_0)$ et on cherche la dérivée de $f$ suivant la direction $(1,-2)$. Calculer cette dérivée de deux façons possibles ({\it quelles sont-elles ?})



\bigskip{\hfill \bf Deuxième partie\hfill}

\medskip
On rappelle que $\yy\sin b-\sin a=2\sin\frac{b-a}{2}\cos\frac{b+a}{2}$.

\smallskip\noindent 1 - Montrer que la fonction $t\mapsto \yy h(t)= \frac{\sin t}{t}$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur \R.

\smallskip\noindent 2 - Montrer que l'application $(u,v)\in\R^2\mapsto \phi(u,v)=(u+v,v-u)\in\R^2$ est une bijection de classe $C^1$ du plan, et écrire sa matrice jacobienne.

\smallskip\noindent 3 - Vérifier que le changement de variable précédent permet d'écrire $\yy f(x,y)= h(u)\cos v$ et en déduire que $f$ est de classe $C^1$ sur le plan.

\smallskip\noindent 4 - Retrouver ainsi l'expression de la différentielle de $f$ en un point $(x_0,x_0)$.




\bigskip{\hfill \bf Troisième partie\hfill}

\medskip On va donner une troisième façon de montrer que $f$ est différentiable en un point $(x_0,x_0)$ du plan. Les $\varepsilon_i$ sont des fonctions (de une ou deux variables) qui tendent vers $0$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(x_0,x_0)$ dans le plan.

\smallskip\noindent 1 - Quelle méthode directe n'a t-on pas encore utilisée ?

\smallskip\noindent 2 - Montrer que l'on peut écrire, pour $x\not=y$ : 
$$f(x,y)= \cos x_0 -(x-x_0)\frac{\sin x_0}{2}-(y-x_0)\frac{\sin x_0}{2} +\|(x-x_0,y-y_0)\|\varepsilon_1(x,y)$$
(On partira de la fonction $(x,y)\mapsto \sin x-\sin y$.)

\smallskip\noindent 3 - Montrer que :
$$f(x,x)-f(x_0,x_0)= -(x-x_0)\frac{\sin x_0}{2}-(x-x_0)\frac{\sin x_0}{2} +(x-x_0)\varepsilon_2(x)$$


\smallskip\noindent 4 - Conclure, en remarquant que  $|x-x_0|$ est plus petit que $ |x-x_0|+|y-x_0|$, et en n'oubliant pas que l'on peut prendre $|x-x_0|+|y-x_0|$ pour norme du vecteur $(x-x_0,y-x_0)$.





\vskip 12mm\noindent
{\tmq \color{blue}2 -- } On se donne le changement de variable de $\R^2$ dans lui-même $(u,v)\mapsto (x(u,v), y(u,v))$, de classe $C^1$ et tel que l'on ait, pour toute fonction $f$ de classe $C^1$ :
$$\frac{\partial f}{\partial u}=2\frac{\partial f}{\partial x}-3\frac{\partial f}{\partial y}\qquad \frac{\partial f}{\partial v}=4\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}.$$

\medskip\noindent 1 - Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ de classe $C^2$. Exprimer $\yy\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}, \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}$ en fonction de $\yy\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$.

\medskip\noindent 2 - Trouver le changement de variable en question.

\smallskip\noindent N.B. Par abus de langage, on a noté de la même façon $f$ la fonction définie en $(x,y)$ et celle définie en $(u,v)$.




























\end{document}