\documentclass[12pt]{article}
%%% packages
\usepackage{amsmath,amssymb,amscd,amsthm,latexsym,amsfonts}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}     

%%dimensions

\setlength{\oddsidemargin}{-0.4cm} 
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\textheight 22.4cm 
\textwidth 16cm

%numerotation des exercices
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newtheorem{exerciced}[exercice]{Exercice$^*$}

%%%quelques macros utiles

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Sp}{\mathbb{S}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\def\bignorm#1{\left\|\, #1\,\right\|}
\def \reel{\RR}
\def \nat{ \NN}
\def\ent{\ZZ}
\def\complex{\CC}
\def\norm#1{\left\|\, #1\,\right\|}
\def\abs#1{\vert #1\vert}

\newcommand{\der}{\partial}
\newcommand{\uar}{\uparrow}
\newcommand{\dar}{\downarrow}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\lla}{\longleftarrow}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}



\newcommand{\fns}{\footnotesize}
\newcommand{\scrsi}{\scriptsize}

\newcommand{\ul}{\underline}
\newcommand{\ol}{\overline}


\newcommand{\exist}{\;\exists\,}
\newcommand{\foral}{\;\forall\,}


\newcommand{\pr}{\prime}
\newcommand{\Id}{\textrm{Id}}


\newcommand{\rplusbar}{\ol{\RR_+}}
\newcommand{\meme}{m\^eme}
\newcommand{\theo}{th\'eor\`eme}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\si}{\sigma}
\newcommand{\ele}{\'el\'ement}
\newcommand{\dist}{{\rm dist \, }}
\newcommand{\den}{d\'enombrable}
\newcommand{\comp}{\,{}^{\textnormal{c}}\!}

\newcommand{\lims}{\ol\lim}
\newcommand{\limi}{\ul\lim}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire\ }
\newcommand{\ssi}{si et seulement si\ }

\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta} 


\newcommand{\calO}{\mathcal{O}} 
\newcommand{\calN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\calL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\calC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\calD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\calR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\calG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\calP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\calF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\calE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\VV}{\mathcal{V}}
%\long\def\sol#1#2#3{\par\medskip\noindent {\bf Solution de l'exercice \ref{#1}.}\hskip1em{\em #2.}\par{#3}\par}
\long\def\sol#1#2#3{}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
\begin{document}


\begin{tabular}{l c r}
Universit\'e de Paris-Sud Orsay  &  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  &  Ann\'ee universitaire 2004-2005
\end{tabular}

\vskip 15pt

\begin{center}
DEUG S4 MIAS, Option Topologie 

Liste d'exercices 4
\end{center}
\vskip 10pt


\begin{exercice}
\label{z}
Construire une bijection de $\Z$ sur $\N$.
\end{exercice}

\sol{z}{$\Z$ est dénombrable}{
On prend la bijection $f_{pair}:n\mapsto 2n$ de $\N$ sur l'ensemble des entiers naturels pairs. Pour $n\in\Z$, $n<0$, on pose $f_{impair}(n)=-2n-1$. En juxtaposant $f_{pair}$ et $f_{impair}$, on obtient une bijection de $\Z$ sur $\N$.
}

\begin{exercice}
\label{union}
Soient $E_1$ et $E_2$ des sous-ensembles dénombrables d'un ensemble $E$. Montrer que $E\cup E'$ est dénombrable.
\end{exercice}

\sol{union}{La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable}{
Soient $f_1 :E_1 \to\N$ et $f_2 :E_2 \to\N$ des injections. L'application $h:E_1 \cup E_2 \to\N$ définie par $h(x)=2f_1 (x)$ pour $x\in E_1 \setminus E_2$ et $h(x)=2f_2 (x)+1$ pour $x\in E_2$ est injective, donc $E_1 \cup E_2$ est dénombrable.
}

%\begin{exercice}
%\label{qq01}
%Soit $B=\Q\cap]0,1[$. Existe-t'il une bijection de $\Q$ sur $B$ ? Si oui, en construire une explicitement.
%\end{exercice}

\sol{qq01}{$\Q$ n'est pas plus grand que $\Q\cap]0,1[$}{
$B$ est un sous-ensemble de $\Q$ donc il est dénombrable. Il est infini. D'après la proposition \ref{infden}, il existe une bijection de $\N$ sur $B$. Il existe aussi une bijection de $\N$ sur $\Q$, donc il en existe une de $\Q$ sur $B$.

Voici un procédé pour construire explicitement une bijection de $\Q$ sur $B$. Pour $x\in \Q$, $x>0$, on pose $f(x)=\inv2 +\inv{2(1+x)}$. Pour $x\in \Q$, $x\leq 0$, on pose $f(x)=-\inv{2(x-1)}$. Alors pour tout $x\in\Q$, $f(x)\in\Q$ et $0<f(x)<1$. $f$ est une bijection car elle admet une fonction réciproque $g$ donnée par $g(y)=\inv{2y-1}-1$ pour $y\in\Q\cap]\inv2,1[$ et 
$g(y)=1-\inv{2y}$ pour $y\in\Q\cap]0,\inv2]$.
}

\begin{exercice}
\label{intnonden}
Soit $]a,b[$ un intervalle ouvert. Existe-t'il une bijection de $\R$ sur $]a,b[$ ?
\end{exercice}

\sol{intnonden}{$\R$ n'est pas plus grand qu'un intervalle borné}{
On peut utiliser la même formule qu'à l'exercice \ref{qq01}. On peut aussi donner une formule plus simple. Par exemple, la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\frac{ae^{-x}+be^x}{e^{-x}+e^x}$ est une bijection, car sa réciproque est donnée par la formule $f^{-1}(y)=\inv2 \ell n(\frac{y-a}{b-y})$. Noter que $f$ et $f^{-1}$ sont continues.
}

\begin{exercice}
\label{segr}
Soit $[a,b]$ un intervalle fermé borné. Existe-t'il une bijection de $[a,b]$ sur $\R$?
\end{exercice}

\sol{segr}{Un intervalle fermé borné n'est pas plus grand que $\R$}{
Bien qu'il n'existe pas de bijection \emph{continue} de $[a,b]$ sur $\R$, il existe des bijections. Il suffit de répéter le procédé de l'exercice \ref{q01} du cours.
}

\begin{exercice}
\label{denstransc}
Montrer que l'ensemble des nombres réels transcendants est dense dans $\R$, i.e., on trouve des nombres transcendants dans tout intervalle ouvert.
\end{exercice}

\sol{denstransc}{Densité des nombres transcendants.}{
Soient $a<b$ des réels. D'après l'exercice \ref{intnonden}, il existe une bijection de $\R$ sur $]a,b[$. Par conséquent, l'intervalle $]a,b[$ n'est pas dénombrable, il n'est pas contenu dans l'ensemble des nombres algébriques, donc il contient des nombres transcendants.
} 

%\begin{exercice}
%\label{cercle}
%On dit qu'un point  $(x,y)\in\R^2$ du plan est rationnel si $(x,y)\in\Q^2$. Montrer qu'il existe un cercle du plan qui ne contient aucun point rationnel.
%\end{exercice}

\sol{cercle}{Cercle sans point rationnel}{
Etant donné $(x,y)\in\Q^2$, on note $C_{(x,y)}$ le cercle de centre $(0,0)$ qui contient $(x,y)$. Comme $\Q^2$ est dénombrable, on obtient ainsi un ensemble dénombrable $\mathcal{D}$ de cercles centrés à l'origine. Or l'ensemble $\mathcal{C}$ de tous les cercles centrés à l'origine est équipotent à $]0,+\infty[$, donc il n'est pas dénombrable. On conclut que $\mathcal{D}\not=\mathcal{C}$, donc il existe un cercle qui ne contient aucun point rationnel.
}

\begin{exercice}
\label{cercle}
On dit qu'une droite $D$ du plan est \emph{rationnelle} si elle possède une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ rationnels. Montrer qu'il existe un cercle du plan dont aucune tangente n'est rationnelle.
\end{exercice}

\sol{cercle}{Cercle sans tangente rationnelle}{
Une droite ne passant pas par l'origine possède une unique équation de la forme $ax+by+1=0$. Une telle droite est rationnelle si et seulement si $(a,b)\in\Q^2$. Par conséquent, l'ensemble des droites rationnelles est équipotent à $\Q^2$, il est donc dénombrable. Etant donnée une droite rationnelle $D$ ne passant pas par l'origine, il existe un et un seul cercle $C(D)$ centré à l'origine et tangent à $D$. C'est le cercle qui passe par la projection orthogonale de l'origine sur $D$. Comme l'ensemble des cercles centrés à l'origine est équipotent à $]0,+\infty[$, il n'est pas dénombrable. Par conséquent, il existe un cercle $C$ centré à l'origine qui n'est tangent à aucune droite rationnelle.
}

\begin{exercice}
\label{plan}
Le plan $\R^2$ est-il équipotent à $\R$ ? La réunion de deux droites du plan est-elle équipotente à $\R$ ?
\end{exercice}

\sol{plan}{Droites du plan}{
On peut utiliser un résultat du cours qui affirme que $\R$ est équipotent à l'ensemble des suites d'entiers $\N^{\N}$. Autrement dit, on peut représenter un réel par une suite d'entiers $(u_n )_{n\in\N}$, un point du plan par deux suites $(u_n )_{n\in\N}$ et $(v_n )_{n\in\N}$. On définit une suite $w_n$ par $w_{2n}=u_n$ et $w_{2n+1}=v_n$. A la suite $(w_n )_{n\in\N}$ correspond en retour un nombre réel. On construit ainsi une bijection de $\R^2$ sur $\R$.

La réunion de deux droites du plan contient un ensemble équipotent à $\R$ (une droite) et est contenue dans un ensemble équipotent à $\R$ (le plan). D'après le théorème de Cantor-Bernstein, la réunion de deux droites du plan est équipotente à $\R$
}

%\begin{exercice}
%\label{prodr}
%Montrer que l'ensemble $\R^{\N}$ des suites de réels est équipotent à $\R$.
%\end{exercice}

\sol{prodr}{$\R^{\N}$ est équipotent à $\R$}{
Comme $\R$ est équipotent à $\N^{\N}$, $\R^{\N}$ est équipotent à $(\N^{\N})^{\N}=\N^{\N\times\N}$. En effet, soit $(x_{n})$ une suite de réels. Comme dans l'exercice \ref{nnn}, on code chaque réel $x$ par une suite d'entiers $(u_{n})$. La suite $(x_{n})$ devient une suite double d'entiers $(u_{m,n})_{(m,n)\in\N\times\N}$. Comme il existe une bijection de $\N$ sur $\N\times\N$, il y a autant de suites doubles d'entiers que de suites d'entiers, et donc que de réels.
}

%\begin{exercice}
%\label{contir}
%Montrer que si deux fonctions continues de $\R$ dans $\R$ coïncident sur $\Q$, elle sont égales.

%En déduire que l'ensemble des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ est équipotent à $\R$.
%\end{exercice}

\sol{contir}{Autant de fonctions continues que de réels.}{
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\R$ qui sont égales sur $\Q$. Soit $x\in\R$. Il existe une suite de rationnels $r_n \in \Q$ qui converge vers $x$. Par continuïté, $f(x)=\lim_{n\to\infty}f(r_n )=\lim_{n\to\infty}g(r_n )=g(x)$. Par conséquent, $f=g$. 

Comme $\Q$ est infini et dénombrable, il existe une bijection $h:\N\to\Q$. On code une fonction continue $f:\R\to\R$ par la suite de réels $(f(h(n)))_{n\in\N}$. D'après la première question, deux fonctions continues distinctes donnent deux suites distinctes. On a ainsi construit une bijection de l'ensemble des fonctions continues $C(\R)$ sur un sous-ensemble de l'ensemble des suites de réels $\R^{\N}$, lequel est équipotent à $\R$. Inversement, les fonctions constantes sont continues, donc $\R$ est équipotent à un sous-ensemble de $C(\R)$. Avec le théorème de Cantor-Bernstein, on conclut que $C(\R)$ et $\R$ sont équipotents.
}

\begin{exercice}
\label{reunions}
 Identifier $\displaystyle \bigcup_{n=2}^{+\infty} \Big[\frac{1}{n},3-\frac{1}{n}\Big]$. A-t-on une contradiction avec les propriétés des fermés ?
\end{exercice}


\begin{exercice}
\label{exercicehomeo}
Montrer que $[0,1]$ et $]0,1[$ ne sont pas homéomorphes.
\end{exercice}

\sol{exercicehomeo}{Intervalles non homéomorphes}{
Si $f:[0,1]\to]0,1[$ est une fonction continue, alors son image est un intervalle fermé borné (cela résulte du théorème de la borne atteinte). Elle ne peut être égale à $]0,1[$.
}

\begin{exercice}
\label{exercicehomeo2}
Montrer que les intervalles $]0,1]$ et $]0,1[$ ne sont pas homéomorphes. 
\end{exercice}

\sol{exercicehomeo2}{Intervalles non homéomorphes, II}{
Par l'absurde. Soit $f:]0,1]\to ]0,1[$ un homéomorphisme. Alors $f(]0,1[)$ est un intervalle (cela résulte du théorème des valeurs intermédiaires). Comme $f$ est bijective, $f(]0,1[)=]0,1[\setminus\{f(1)\}$. Or le complémentaire d'un point dans un intervalle ouvert n'est pas un intervalle. Contradiction. On conclut que $]0,1]$ et $]0,1[$ ne sont pas homéomorphes. 
}

\begin{exercice}
Soit $\Omega_j$ ($j\in{\cal J}$) une famille quelconque d'ouverts dont la réunion contient l'intervalle fermé $[0,1]$. On va démontrer qu'il existe un réel $\delta>0$ possédant la propriété suivante :

\smallskip
\emph{Pour tout $x\in[0,1]$, il existe au moins un ouvert $\Omega_j$ (dépendant évidemment de $x$) qui contient entièrement l'intervalle ouvert $]x-\delta,x+\delta[$.}

\smallskip\noindent 1 - Ecrire cette propriété et sa négation avec des quantificateurs.

\smallskip\noindent 2 - Ecrire cette négation en introduisant une suite de points de $[0,1]$. On va raisonner par l'absurde, en supposant vraie cette négation.

\smallskip\noindent 3 - En utilisant la compacité de $[0,1]$, montrer que l'on arrive à une impossibilité.

\smallskip\noindent 4 - En déduire que l'on peut trouver {\bf un nombre fini} d'ouverts $\Omega_1,\cdots,\Omega_m$ dont la réunion contient $[0,1]$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $A$ une partie non vide de $\R$. Pour tout $x$ réel on pose
$$f(x)=\inf\{|x-a|,\ a\in A\}$$
\smallskip\noindent 1 - Calculer $f$ dans le cas $A=]0,1]$.

\smallskip\noindent 2 - En partant de l'inégalité triangulaire $|x-a|\leq |x-y|+|y-a|$, montrer que :

$\bullet$ $f(x)\leq |x-y|+|y-a|$ (pour tous $x,y\in\R$ et tout $a\in A$)

$\bullet$ $f(x)\leq |x-y|+f(y)$ (pour tous réels $x,y$).

\smallskip\noindent 3 - En déduire un encadrement de $|f(x)-f(y)|$ montrant que $f$ est continue sur $\R$.

\smallskip\noindent 4 - On suppose $A$ fermé. Montrer que $f(x)=0$ si et seulement si $x\in A$.

\smallskip\noindent 5 - Soit $\varepsilon>0$ donné. Montrer que l'ensemble des $x\in\R$ tels que $f(x)<\varepsilon$ est un ouvert contenant $A$.


\smallskip\noindent 6 - Soit $A$ un fermé et $B$ un compact non vides disjoints de $\R$. En étudiant la fonction $f$, montrer qu'il existe un réel $m$ strictement positif tel que
$$(\forall a\in A)(\forall b\in B)(|a-b|\geq m)$$ 


\smallskip\noindent 7 - Soit $A$ et $B$ deux compacts disjoints. Montrer qu'il existe un ouvert $U$ contenant $A$ et un ouvert $V$ contenant $B$ tels que $U\cap V=\emptyset$.

\end{exercice}
\end{document}


