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\newtheorem{exerciced}[exercice]{Exercice$^*$}

%%%quelques macros utiles

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\begin{document}


\begin{tabular}{l c r}
Universit\'e de Paris-Sud Orsay  &  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  &  Ann\'ee universitaire 2004-2005
\end{tabular}

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\begin{center}
DEUG S4 MIAS, Option Topologie 

Liste d'exercices 3
\end{center}
\vskip 22pt



\begin{exercice} $ $

\begin{itemize}
\item[\bf(i)]  Donner la définition d'une suite de Cauchy, puis celle d'une suite qui n'est pas de Cauchy.
\item[\bf(ii)] Soit $S_n := \sum_{k=1}^n {1 \over k}$. Vérifier que la série harmonique $\sum_{k \geq 1}  {1 \over k}$ diverge en minorant la quantité $S_{2n} - S_n$.
\end{itemize} 
\end{exercice}

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\begin{exercice} Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite de réels de $[-1,1]$ vérifiant :
\[ \forall m>n\geq 1 \, , \, \abs{u_{m+1} - u_{n+1} } \leq e^{-1 / \sqrt {n+1}}  \abs{u_{m} - u_{n} } .   \]
Montrer que la suite  $(u_n)_{n \geq 0}$ converge. Pour commencer, on observera l'on a pour $p \geq q$ :
\[  \abs{u_{p} - u_{q}} \leq  e^{-1 / \sqrt {q}}  \abs{ u_{p-1} - u_{q-1} }    \leq  e^{-1 / \sqrt {q}}  e^{-1 / \sqrt {q-1}} \ldots  e^{-1 / \sqrt 1}  \abs{u_{p-q} - u_0 }.   \]
Que peut-on dire de la série  $\sum_{k \geq 1}  {1 \over \sqrt k}$ ?
\end{exercice}


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\begin{exercice}  Soit  $(f_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$, dérivables. On suppose que pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$, on a $\abs { f_n' (x) } \leq 10$. On suppose de plus que pour tout $q \in \Q$, la suite $(f_n(q))_{n \geq 0}$ converge.   
\begin{itemize} 
\item[\bf(i)] Estimer $\abs { f_n(x) - f_n(y) }$ pour tout $(x,y) \in \R^2$ et tout $n \in \N$.
\item[\bf(ii)] Montrer que pour tout $x \in \R$, la suite  $(f_n(x))_{n \geq 0}$ est de Cauchy. On pourra utiliser la densité de $\Q$ dans $\R$ : 
\[ \forall \epsilon > 0 \, , \, \exists q \in \Q \, , \, \abs {x-q } < \epsilon. \]
On pose $f (x) := \lim_{ n \to + \infty } f_n(x)$ pour tout $x \in \R$.
\item[\bf(iii)] Vérifier que l'on a :
\[  \forall (x,y) \in \R^2 \, , \, \abs { f(x) - f(y) } \leq 10 \abs { x - y } . \]
La fonction $f$ est-elle toujours dérivable ? continue ?
 \end{itemize} 
\end{exercice}


\vskip 9pt

\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$, $k$-Lipschitzienne, avec $k < 1$. On a donc : 
\[  \forall (x,y) \in \R^2 \, , \, \abs { f(x) - f(y) } \leq k \abs { x - y } .\]
\begin{itemize} 
\item[\bf(i)] Donner des exemples.
\item[\bf(ii)] Soit $x \in \R$. Montrer que pour tout $n \geq 1$, on a :
\[  \abs { f^{n+1}(x) - f^n(x) } \leq k \abs {  f^n (x) - f^{n-1} (x) } \] 
où $f^n = f \circ \ldots \circ f$ itérée $n$ fois. En déduire que la suite définie par $x_0 = x$ et $x_{n+1} = f(x_n)$ pour $n \geq 0$ est de Cauchy. Soit $l$ sa limite.

\item[\bf(iii)]
Montrer que $l$ est un point fixe de $f$, i.e. $f(l) = l$. La fonction $f$ possède-t-elle d'autres points fixes ? 

\item[\bf(iv)]
En déduire que pour tout $y\in \R$, la suite définie par $y_0 = y$ et $y_{n+1} = f(y_n)$ converge vers $l$. 

 \end{itemize} 
\end{exercice}


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\begin{exercice} Calculer les limites des suites de termes généraux :
\begin{itemize}
\item[\bf(i)]
\[ u_n := \sum_{k=1}^n { n \over n^2 + k^2 } \] 
\item[\bf(ii)]
\[ v_n :=  { \sqrt{1} + \cdots +  \sqrt{n-1} \over n  \sqrt{n} } \]
\item[\bf(iii)]
\[ w_n :=  \left[ \prod_{k=1}^n \left( 1 + {k \over n} \right) ^k   \right] ^{1/n^2} \]


\end{itemize} 
\end{exercice}

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\begin{exercice} Soient $f,g : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues. On pose 
\[   T_n :=  {1 \over n} \sum_{k=1}^{n-1} f \left( {k \over n}\right) g \left( {k+1 \over n}\right)    \]
et 
\[   S_n :=  {1 \over n} \sum_{k=1}^{n-1} f \left( {k \over n}\right) g \left( {k \over n}\right) .   \]
\begin{itemize}
\item[\bf(i)] 
Soit $\epsilon > 0$. Montrer qu'il existe $n_0 \in \N$ tel que :
\[\forall n \geq n_0 \, , \, \forall k \in \{ 1,\ldots, n-1 \} \, , \, \abs { g ( {k+1 \over n}) -  g ( {k \over n}) } < \epsilon. \]

\item[\bf(ii)] 
En déduire que $\abs {S_n - T_n} < \epsilon$ pour $n \geq n_0$. Quelle est la limite de $(T_n)_n$ ?


\end{itemize} 
\end{exercice}




\end{document}


\begin{exercice}
Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $C^1$ et $I = [a,b]$ un intervalle de $\R$.
\begin{itemize}
\item[\bf(i)] En utilisant le théorème de Heine, vérifier que $f$ est uniformément continue sur $I$.
\item[\bf(ii)] Pourquoi $f$ est-elle Lipschitzienne sur $I$ ? Peut-on en conclure que $f$ est uniformément continue sur $I$ ?
\end{itemize} 
\end{exercice}

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