\input amstex
\def\oldfrac#1#2{\frac#1#2}
\input eplain.tex
\def\frac#1#2{\oldfrac#1#2}

\loadeufm \loadmsam \loadmsbm
\message{symbol names}\UseAMSsymbols\message{,}

\font\myfontsmall=cmr10 at 8pt%
\font\myfontdefault=cmr10
\font\myfontbold=cmb10
\font\mytdmfont=cmsl10 at 25pt% cmbx10 at 16pt%
\font\mytdmchapfont=cmb10 at 14pt
\font\mytdmheadfont=cmb10 at 10pt
\font\mytdmsubheadfont=cmr10

\newif\ifshowremarks

\showremarksfalse
\magnification 1200

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Fonctions utiles pour les feuilles de TD.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcount\exno%
\global\exno=0%
\def\nextex{{\goodbreak\noindent\bf Exercice \global\advance\exno by 1 \the\exno.\ }}%

\def\rem#1{%
\ifshowremarks%
    \medskip%
    {\noindent\it #1}%
\fi}%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Mise en page
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\let\mypar=\par

% Here we define right justification.

\def\raggedleft{\leftskip=0pt plus 1fil \parfillskip=0pt}

% Here we define the default page headers and footers.

\headline={\hfil\ifnum\pageno=1\else\sl\Pagetitle\fi\hfil}
\footline={\hfil\tenrm\the\pageno\hfil}

\def\nextoddpage
{
\newpage%
\ifodd\pageno%
\else%
    \global\showpagenumflag = 0%
    \null%
    \vfil%
    \eject%
    \global\showpagenumflag = 1%
\fi%
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Commandes et Symboles
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Ici on definit la famille mathroman...

\font\mathromanten=cmr10
\font\mathromanseven=cmr7
\font\mathromanfive=cmr5
\newfam\mathromanfam
\textfont\mathromanfam=\mathromanten
\scriptfont\mathromanfam=\mathromanseven
\scriptscriptfont\mathromanfam=\mathromanfive
\def\mathroman{\fam\mathromanfam}

% Ici on definit la famille mathsf qui n'est pas definie dans Plain.

\font\sansseriften=cmss10
\font\sansserifseven=cmss7
\font\sansseriffive=cmss5
\newfam\sansseriffam
\textfont\sansseriffam=\sansseriften
\scriptfont\sansseriffam=\sansserifseven
\scriptscriptfont\sansseriffam=\sansseriffive
\def\mathsf{\fam\sansseriffam}

% Ici on definit la famille mathbf qui n'est pas definie dans Plain.

\font\boldten=cmb10
\font\boldseven=cmb7
\font\boldfive=cmb5
\newfam\mathboldfam
\textfont\mathboldfam=\boldten
\scriptfont\mathboldfam=\boldseven
\scriptscriptfont\mathboldfam=\boldfive
\def\mathbf{\fam\mathboldfam}

% Ici on definit \mathi et \mathj. En fait, cela n'est pas necessaire, car ces symboles existent deja sous les noms respectivement de \imath et \jmath. Mais,
% ca reste une exercice interessant.

\font\mycmmiten=cmmi10
\font\mycmmiseven=cmmi7
\font\mycmmifive=cmmi5
\newfam\mycmmifam
\textfont\mycmmifam=\mycmmiten
\scriptfont\mycmmifam=\mycmmiseven
\scriptscriptfont\mycmmifam=\mycmmifive
\def\mycmmi{\fam\mycmmifam}
\def\hexa#1{\ifcase #1 0\or 1\or 2\or 3\or 4\or 5\or 6\or 7\or 8\or 9\or A\or B\or C\or D\or E\or F\fi}
\mathchardef\mathi="7\hexa\mycmmifam7B
\mathchardef\mathj="7\hexa\mycmmifam7C


% Ici je definit \mybeth, \mygimmel et \mydaleth

\font\mymsbmten=msbm10 at 8pt%8.5pt
\font\mymsbmseven=msbm7 at 5.6pt%6pt
\font\mymsbmfive=msbm5 at 4pt%4.25pt
\newfam\mymsbmfam
\textfont\mymsbmfam=\mymsbmten
\scriptfont\mymsbmfam=\mymsbmseven
\scriptscriptfont\mymsbmfam=\mymsbmfive
\def\mymsbm{\fam\mymsbmfam}
\mathchardef\mybeth="7\hexa\mymsbmfam69
\mathchardef\mygimmel="7\hexa\mymsbmfam6A
\mathchardef\mydaleth="7\hexa\mymsbmfam6B

% Ici je definit les fonctions \proclaim et \endproclaim. Les premieres versions sont plus jolies mais je ne sais pas comment les couper verticalement, et il y
% a alors des problemes de mise en page. Les deuxiemes versions sont plus simples, mais il n'y a pas de problem de mise en page.

\newif\ifinproclaim%
\global\inproclaimfalse%
\def\proclaim#1{%
\medskip%
%
% J'insere ici un bgroup pour que les variables que je definis ici soit uniquement locales.
%
\bgroup%
\inproclaimtrue%
\setbox10=\vbox\bgroup\leftskip=0.8em\noindent{\bf #1}\sl%
}

\def\endproclaim{%
\egroup%
\setbox11=\vtop{\noindent\vrule height \ht10 depth \dp10 width 0.1em}%
\wd11=0pt%
\setbox12=\hbox{\copy11\kern 0.3em\copy11\kern 0.3em}%
\wd12=0pt%
\setbox13=\hbox{\noindent\box12\box10}%
\noindent\unhbox13%
\egroup%
\medskip\ignorespaces%
}

\def\proclaim#1{%
\medskip%
\bgroup%
\inproclaimtrue%
\noindent{\bf #1}%
\nobreak\medskip%
\sl%
}

\def\endproclaim{%
\mypar\egroup\penalty\proclaimpenalty\medskip\ignorespaces%
}

\def\noskipproclaim#1{%
\medskip%
\bgroup%
\inproclaimtrue%
\noindent{\bf #1}\nobreak\sl%
}

\def\endnoskipproclaim{%
\mypar\egroup\penalty\proclaimpenalty\medskip\ignorespaces%
}

% Ici on definit quelques autres commandes dont on aura besoin, en particulier, le colon francais.

\def\derivee#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\colon{\hphantom{0}:}
\def\proof{{\noindent\bf Proof:\ }}
\def\demonstration{{\noindent\sl D\'emonstration :\ }}
\def\remarque{{\noindent\sl Remarque :\ }}
\def\remark{{\noindent\sl Remark:\ }}
\def\suite#1#2{({#1}_{#2})_{#2\in\Bbb{N}}}
\def\mlim{\mathop{{\mathroman Lim}}}
\def\mlimsup{\mathop{{\mathroman LimSup}}}
\def\mliminf{\mathop{{\mathroman LimInf}}}
\def\msup{\mathop{{\mathroman Sup}}}
\def\minf{\mathop{{\mathroman Inf}}}
\def\msf#1{{\mathsf #1}}
\def\mbf#1{{\mathbf #1}}
\def\psl{\Bbb{P}SL}
\def\qed{~$\square$}
\def\munion{\mathop{\cup}}
\def\minter{\mathop{\cap}}
\def\myitem#1{%
\ifinproclaim%
    \item{#1}%
\else%
    \noindent\hbox to .5cm{\hfill#1\hss}%\kern 0.1em}%
\fi}%

\catcode`\@=11
\def\Eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{%
\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil%
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$%
\hfil\crcr #1\crcr}}\,}
\catcode`\@=12

\def\myeqalign{\Eqalign}
\def\endmyeqalign{}

\def\makeop#1{%
\global\expandafter\def\csname op#1\endcsname{{\mathroman #1}}}%

\def\makeopsmall#1{%
\global\expandafter\def\csname op#1\endcsname{{\mathroman{\lowercase{#1}}}}}%

\makeopsmall{ArcTan}%
\makeopsmall{ArcCos}%
\makeop{Arg}%
\makeop{Det}%
\makeop{Log}%
\makeop{Re}%
\makeop{Im}%
\makeop{Dim}%
\makeopsmall{Tan}%
\makeop{Ker}%
\makeopsmall{Cos}%
\makeopsmall{Sin}%
\makeop{Exp}%
\makeopsmall{Tanh}%
\makeop{Tr}%
\def\nameSLfam{\Cal{SL}^+_\theta}%
\def\nameclosedSLfam{\overline{\Cal{SL}}^+_\theta}%
\makeop{End}%
\makeop{Long}%
\makeop{Ch}%
\makeop{Exp}%
\makeop{Int}%
\makeop{Ext}%
\makeop{Aire}%
\makeop{Im}%
\makeop{Conf}%
\makeop{Exp}%
\makeop{Mod}%
\makeop{Log}%
\makeop{Ext}%
\makeop{Int}%
\makeop{Dist}%
\makeop{Aut}%
\makeop{Id}%
\makeop{SO}%
\makeop{Homeo}%
\makeop{Vol}%
\makeop{Ric}%
\makeop{Hess}%
\makeop{Euc}%
\makeop{Isom}%
\makeop{Max}%
\makeop{Long}%
\makeop{Fixe}%
\makeop{Wind}%
\makeop{Ad}%
\makeop{loc}%
\makeop{Ln}%
\makeop{Min}%
\makeop{Max}%
\def\opTildeHomeo{{\mathroman H\widetilde{omeo}}}%

\let\emph=\bf

\document
\def\Pagetitle{Univ. Paris XI 2004/2005\hfill S4 MIAS, Option Topologie, Feuille 2}
\line{Universit\'e Paris-Sud XI, Orsay\hfil Ann\'ee universitaire 2004/2005}
\bigskip
\line{\hfil DEUG S4 MIAS, Option Topologie\hfil}
\line{\hfil Liste d'exercices 2\hfil}
\bigskip
\nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite de r\'eels telle que les sous-suites $(u_2n)$, $(u_{2n+1})$ and
$(u_{3n})$ convergent. Montrer que la suite $(u_n)$ converge.
\rem{Joli. Les suites $(u_2n)$ et $(u_{2n+1})$ assurent que tous les \'el\'ements sont pris en compte et la suite
$(u_{3n})$ les relient.}
\medskip
%
\nextex
\myitem{(i)} Montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, il existe $k_n\in\Bbb{N}$ et $0\leqslant p_n<2^{k_n}$
uniques tels que $n=2^{k_n}+p_n$.
\rem{Posons $k_n:=Sup\left\{k\text{ t.q. }2^k\leqslant n\right\}$ et $p_n := n - 2^{k_n}$. On utilise le fait que la borne
sup\'erieure d'un sous-ensemble born\'e de $\Bbb{N}$ est atteinte.}
\medskip
\myitem{(ii)} On pose $u_n := p_n/2^{k_n}$. Verifier que $(u_n)$ est born\'ee. Trouver une sous-suite qui converge
vers $0$ et une autre qui converge vers $1$.
\rem{Trivialement $u_n < 1$. Posons $p_n := 2^n + 1$ et $q_n := 2^n - 1$. Alors $(u_{p_n})_{n\geqslant 0}\rightarrow 0$ et $(u_{q_n})_{n\geqslant 0}\rightarrow 1$.}
\medskip
\myitem{(iii)} Soit $x\in [0,1]$. Montrer qu'il existe une sous suite de $(u_n)$ qui converge vers $x$ (consid\'erer
la partie enti\`ere du r\'eel $2^n x$).
\rem{Effectivement, c'est la suite qu'il faut.}
\medskip
%
\nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite born\'ee de r\'eels.
\medskip
\myitem{(i)} Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle ne poss\`ede qu'une seule valeur d'adhérence. Et si la suite n'est pas born\'ee?
\rem{(a) Plusieurs \'etapes : (i) supposons qu'il existe une limite. Alors il existe une valeur d'adh\'erence. Supposons qu'il y en a deux. Alors il n'existe pas de limite, ce qui est absurde. (ii) Supposons qu'il existe une seule valeur d'adh\'erence. Alors toute sous suite poss\`ede une sous sous suite qui converge vers ce point. Donc la suite
converge (b) Posons $a_{2n} := 1$, $a_{2n+1} := n$.}
\medskip
\myitem{(ii)} On suppose de plus que $\mlim e^{iu_n} = 1$ et $\mlim e^{i\sqrt{2}u_n} = 1$. Montrer que
$\mlim u_n = 0$.
\rem{Soit $u$ une valeur d'adh\'erence. En prennant une sous suite, et en utilisant la continuit\'e, on montre
que $e^{iu} = e^{i\sqrt{2}u} = 1$ et donc $u=0$.}
\medskip
%
%\nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite born\'ee de r\'eels. On note $v_n := \minf\left\{u_p, p\geqslant n\right\}$ et $w_n := \msup\left\{u_p,p\geqslant n\right\}$. Ces suites convergent vers $v$ et $w$ (cf. l'exercice $12$ de la feuille $1$).\medskip
%\myitem{(i)} V\'erifier que $v$ et $w$ sont des valeurs d'adh\'erence de $(u_n)$.
%\rem{Pour tout $\epsilon>0$ et pour tout $N\in\Bbb{N}$ il existe $n,m\geqslant N$ tel que $u_n\in]v_n -\epsilon,v_n+\epsilon[$ et $u_m\in]w_m-\epsilon,w_m+\epsilon[$.}\medskip
%\myitem{(ii)} Montrer que $v$ et $w$ sont respectivement la plus {\emph petite} et la plus {\emph grande} valeur d'adh\'erence de $(u_n)$. On les appelle {\emph limite inf\'erieure} et {\emph limite sup\'erieure} de la suite $(u_n)$, et sont souvent not\'ees $\mliminf u_n$ et $\mlimsup u_n$.
%\rem{D'abord, $v\leqslant w$. Ensuite, soit $y>w$ une valeur d'adh\'erence de $(u_n)$. On obtient une sous-suite qui converge vers $w$. Puisque cette sous-suite est major\'ee par $(w_n)$, on obtient une contradiction.} \medskip
%
\nextex Soit $[a,b]$ un intervalle ferm\'e et born\'e dans $\Bbb{R}$. Soit $f:[a,b]\rightarrow]0,+\infty[$ une fonction continue et positive sur $[a,b]$.
On veut montrer qu'il existe $\lambda>0$ tel que $f(t)\geqslant\lambda$ pour tout $t\in [a,b]$.
\medskip
\myitem{(i)} Supposons le contraire. Montrer qu'il existe une suite $(t_n)_{n\in\Bbb{N}}$ telle que $f(t_n)\rightarrow 0$.
\medskip
\myitem{(ii)} Montrer qu'il existe une sous-suite de $(t_n)_{n\in\Bbb{N}}$ qui converge dans $[a,b]$.
\medskip
\myitem{(iii)} Montrer comment on peut utiliser cette sous-suite pour obtenir une contradiction.
\medskip
\noindent On vient de montrer alors qu'il existe $\lambda>0$ tels que $f(t)\geqslant\lambda$ pour tout $t\in [a,b]$. On dit que $f$ est {\emph minor\'ee} par un r\'eel
positif sur $[a,b]$.
\medskip
\myitem{(iv)} Montrer qu'il existe $\Lambda>0$ tel que $f(t)\leqslant\Lambda$ pour tout $t\in [a,b]$.
\medskip
\noindent On dit que $f$ est {\emph major\'ee} sur $[a,b]$.
\medskip
\myitem{(v)} Trouver une fonction $f:]0,1]\rightarrow]0,+\infty[$ qui n'est pas major\'ee sur $]0,1]$. Trouver une fonction $f:]0,1]\rightarrow]0,\infty[$ qui n'est pas
minor\'ee par un r\'eel positif sur $]0,1]$.
\medskip
%
\nextex{\bf *\ } Soit $[a,b]$ un intervalle ferm\'e et born\'e dans $\Bbb{R}$. Soit $X$ un sous-ensemble de $\Bbb{R}$. Soit $f:[a,b]\rightarrow X$ une fonction continue et
bijective. Soit $X=f([a,b])$ l'image de $f$.
\medskip
\myitem{(i)} D\'efinissons $\varphi:[0,\pi]\rightarrow [-1,1]$ par $\varphi(t) = Cos(t)$. Montrer que $\varphi$ est bijective.
\medskip
\myitem{(ii)} D\'efinissons $\psi:[0,4]\rightarrow [0,16]$ par $\psi(t) = t^2$. Montrer que $\psi$ est bijective.
\medskip
\noindent Soit $g:X\rightarrow [a,b]$ l'inverse de $f$. On veut montrer que $g$ est continue.
\medskip
\myitem{(iii)} Supposons le contraire. En utilisant la d\'efinition de la continuit\'e, montrer qu'il existe $x_0\in X$ un point dans $X$ et $(x_n)_{n\in\Bbb{N}}$ une suite
dans $X$ qui converge vers $x_0$ tels que $(g(x_n))_{n\in\Bbb{N}}$ ne converge pas vers $g(x_0)$.
\medskip
\myitem{(iv)} En utilisant la d\'efinition de la convergence, montrer qu'il existe un r\'eel $\epsilon>0$ et une sous-suite $(y_n)_{n\in\Bbb{N}}$ de
$(x_n)_{n\in\Bbb{N}}$ telle que $\left|g(y_n)-g(x_0)\right|\geqslant\epsilon$ pour tout $n$.
\medskip
\myitem{(v)} Montrer qu'il existe un point $p\in [a,b]$ et une sous-suite $(z_n)_{n\in\Bbb{N}}$ de $(y_n)_{n\in\Bbb{N}}$ telle que $(g(z_n))_{n\in\Bbb{N}}$ converge vers $p$.
\medskip
\myitem{(vi)} Montrer que $\left|p-g(x_0)\right|\geqslant\epsilon$.
\medskip
\noindent Il s'ensuit que $p\neq g(x_0)$ et donc que $f(p)\neq f(g(x_0) = x_0$. En m\^eme temps, on sait que $f(g(z_n))=z_n$ pour tout $n$.
\medskip
\myitem{(vii)} En rappelant que $(z_n)_{n\in\Bbb{N}}$ converge vers $x_0$, montrer que $f(p)=x_0$ pour obtenir une contradiction et conclure.
\medskip
%
% Ancien exercice 5. Je l'ai enleve parce-qu'il est un peu dur.
%
%\nextex Soit $f:\Bbb{R}_+^*\times\Bbb{R}_+^*\rightarrow\Bbb{R}_+^*$ une fonction continue telle que
%\medskip
%\myitem{-} Pour tout $x\leqslant x'$ et $y\leqslant y'$ on ait $f(x,y)\leqslant f(x',y')$.
%\medskip
%\myitem{-} Il existe $l>0$ tel que pour tout $x>l$, $f(x,x)<x$ et pour tout $x<l$, $f(x,x)>x$.
%\rem{J'ai chang\'e de l'exercice de l'ann\'ee derni\`ere qui \'etait fausse (on prend $f(x,y) = x+y$).}
%\medskip
%\myitem{(i)} V\'erifier que les fonctions $f(x,y)=\opLn(1+x)+\opLn(1+y)$ et $f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ v\'erifient ces conditions.
%\rem{(a) Il suffit de le verifier ind\'ependament pour $x$ et pour $y$. (b) Faire un graphe. Montrer que pour $x$ petit $2\opLn(1+x)\geqslant x$ et pour $x$ grand
%$2\opLn(1+x)\leqslant x$. Ensuite montrer qu'il n'existe qu'un seule $x>0$ tel que $x=2\opLn(x)$. {\bf Comment montre-t-on cela?} C'est plus facile pour la seconde function.}
%\medskip
%\myitem{(ii)} Soit $u_0,u_1>0$, et pour tout $n\geqslant 1$, $(u_{n+1})=f(u_n,u_{n-1})$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $l$. On commencera par \'etablir par
%r\'ecurrence : pour tout $n\geqslant 0$, $\alpha\leqslant u_n\leqslant\beta$, o\`u $\alpha = \opMin(u_0,u_1,l)$ et $\beta = \opMax(u_0,u_1,l)$. On s'int\'eressa
%ensuite \`a $\mliminf u_n$ et $\mlimsup u_n$.
%\rem{(a) Il faut le faire cas par cas. (b) {\bf C'est un peu dur.}}
%\medskip
%
%\nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite born\'ee de r\'eels v\'erifiant $u_{n+1}= u_n + u_n^2 + \epsilon_n$, o\`u $\mlim\epsilon_n=0$. Montrer que $\lim u_n=0$ en calculant $\mliminf u_n$ et $\mlimsup u_n$.
%\rem{{\bf Je vais reflechir la dessus plus tard.}} \medskip
%
\nextex Soit $a\in]0,6[$ un param\`etre et $f_0:[0,1]\rightarrow\Bbb{R}$ d\'efinie par $f_a(x)=x^4+x^2-ax$.
\medskip
\myitem{(i)} V\'erifier que $g(a)=\minf_{t\in [0,1]}f_a(t)$ existe et est atteinte en un unique point not\'e $x(a)$.
\rem{$f_a(t)$ est minor\'e par $-6$ pour tout $t\in [0,1]$ et pour tout $a$. La d\'eriv\'ee seconde est positive et donc la fonction est strictement convexe, d'o\`u
l'unicit\'e.}
\noindent On se propose de montrer que les fonctions $a\mapsto x(a)$ et $a\mapsto g(a)$ sont continues sur $]0,6[$
\medskip
\myitem{(ii)} Soit $a\in ]0,6[$ et $(a_n)$ une suite de $]0,6[$ qui converge vers $a$. En consid\'erant $f'_{a_n}(x(a_n))$, montrer que $x(a)$ est l'unique valeur d'adhérence
de $(x(a_n))$.
\rem{Pour $a<2$, $x(a)$ est l'unique point tel que $f'_a(x(a))=0$. Donc, si $a<0$, par la continuit\'e, tout point d'adh\'erence $x_0$ de la suite $(x(a_n))$ satisfait
\`a $f'_a(x_0)=0$, et donc $x_0=x(a)$. {\bf Il faut revenir l\`a dessus.}}
\medskip
\myitem{(iii)} Conclure \`a l'aide de l'exercice $3$.
\rem{La suite est born\'ee et a une unique valeur d'adhérence.}
\medskip
%
\nextex
\myitem{(i)} Soit $I$ un intervalle de $\Bbb{R}$ et $f:I\rightarrow\Bbb{R}$ d\'erivable, \`a d\'eriv\'ee born\'ee. Montrer que $f$ est uniform\'ement continue sur $I$.
\rem{$\left|f(x+t)-f(x)\right|\leqslant \int_x^{x+t}\left|f'(s)\right|ds \leqslant \left|t\right|B$}
\medskip
\myitem{(ii)} Les fonctions suivantes sont-elles uniform\-\'ement continues ? $\opSin(x)$ sur $\Bbb{R}$, $\sqrt{x}$ sur $\Bbb{R}^+$, $\opLn(x)$ sur $]0,1[$ et
$\opLn(x)$ sur $[1,+\infty[$.
\rem{$d\opSin = \opCos$ donc oui. $d\sqrt{x}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Cela est born\'e sur $[1,+\infty[$ et donc $\sqrt{x}$ est uniform\'ement continue sur $[1,+\infty[$.
Pusiqu'elle est continue et donc uniform\'ement continue sur $[0,1]$, elle est uniform\'ement continue sur $\Bbb{R}^+$. $\opLn(x)\rightarrow-\infty$ lorsque $x\rightarrow 0$, et
donc elle n'est pas uniform\'ement continue. $d\opLn(x)=\frac{1}{x}$ et donc donc $\opLn(x)$ est continue sur $[1,+\infty[$.}
\medskip
%
\nextex Soit $f:\Bbb{R}\rightarrow\Bbb{R}$ une fonction continue admettant des limites en $+\infty$ et $-\infty$. Montrer que $f$ est uniform\'ement continue sur $\Bbb{R}$.
\rem{Soit $\epsilon>0$. Il existe $R>0$ tel que $x,y>R\Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$ et $x,y<R\rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$. Il existe
$\delta<R$ tel que pour $x,y\in [-2R,2R]$ on ait $\left|x-y\right|<\delta\Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$.}
\medskip
%
\nextex
\myitem{(i)} Montrer que si $(u_n)$ est de Cauchy, alors on a $\mlim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+k}-u_n)=0$ pour tout $k\in\Bbb{N}$. R\'eciproque?
\rem{Le r\'esultat directe est trivial. La r\'eciproque est fausse : on prend $u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$.}
\medskip
\myitem{(ii)} Montrer que si la s\'erie $\sum\left|u_{n+1}-u_n\right|$ converge alors $(u_n)$ est de Cauchy. R\'eciproque?
\rem{Pour $m\geqslant n\geqslant k$ on a $\left|u_m-u_n\right| \leqslant \sum_n^{m-1}\left|u_{p+1}-u_p\right| \leqslant \sum_k^\infty\left|u_{p+1}-u_n\right|$. La r\'eciproque
est fausse : on prend $u_n = \sum_{k=1}^n\frac{(-1)^n}{k}$.}
\end


