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\begin{document}


\begin{tabular}{l c r}
Universit\'e de Paris-Sud Orsay  &  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  &  Ann\'ee universitaire 2004-2005
\end{tabular}

\vskip 15pt

\begin{center}
DEUG S4 MIAS, Option Topologie 

Liste d'exercices 1
\end{center}
\vskip 10pt

Les premiers exercices sont des exercices de révision.

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\begin{exercice}  Soit  $(u_n)_{n \geq 1}$ une suite de réels qui tend vers $l \in \R$. 
\begin{itemize} 
\item[\bf(i)] Vérifier qu'une telle suite est bornée.
\item[\bf(ii)] Montrer que la suite de terme général $v_N := {1 \over N}  \sum_{k=1}^n u_n$ converge aussi vers $l$. 

\item[\bf(iii)]
On dit que $v_N$ est la somme de Cesaro d'ordre $N$ associée à la suite  $(u_n)_{n \geq 1}$. Si la suite $(v_N)_{N \geq 1}$ converge, en est-il de m\^eme pour la suite  $(u_n)_{n \geq 1}$ ? 
\end{itemize} 
\end{exercice}



\vskip 7pt

\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$, dérivable sur $]0,+\infty[$. On suppose que la dérivée $f'$ admet une limite finie $\ell$ à droite en $0$. Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$.
\end{exercice}



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\begin{exercice} Montrer que la suite de terme général $I_n := \int_0^{\pi / 2} ( \cos t )^n dt$ tend vers $0$. On pourra esquisser les graphes des fonctions $t \mapsto  ( \cos t )^n$ sur $[0,\pi/2]$ et mener une analyse d'une part au voisinage de $0$ et d'autre part sur le reste de l'intervalle.  
\end{exercice}


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\begin{exercice}
 Montrer que la suite de terme général $I_n := \int_0^{+\infty} (\frac{\sin t}{t})^n \,dt$ tend vers $0$. Pour cela, montrer que $t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ est décroissante sur $[0,\pi/2]$, puis s'inspirer de l'exercice précédent pour majorer l'intégrale sur $[0,\pi/2]$. Pour $[\pi/2,+\infty[$, majorer $t\mapsto(\frac{\sin t}{t})^n$ par une fonction puissance dont on peut calculer l'intégrale.
\end{exercice}


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\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$, telle que $f(0)\not=0$. On suppose la fonction $t\mapsto \frac{f(t)}{t}$ intégrable sur $[1,+\infty[$. Soit $a>0$. On pose $\displaystyle I_a =\int_{1}^{+\infty}\frac{f(2at)-f(at)}{t}\,dt$. Montrer que $I_a$ admet une limite lorsque $a$ tend vers $0$. On pourra faire d'abord un changement de variable qui ramène $I_{a}$ à une intégrale sur un intervalle fini où $f$ n'apparaît qu'une fois, puis appliquer le théorème de la moyenne.
\end{exercice}


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\begin{exercice} Soit  $(u_n)_{n \geq 1}$ une suite de réels positifs qui n'est pas majorée. Construire une suite extraite $(u_{\phi(n)})_{n \geq 1}$ qui tend vers l'infini.
\end{exercice}

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\begin{exercice} Déterminer (lorsqu'elles existent) les bornes supérieures et inférieures des sous-ensembles de $\R$ suivants. Sont-elles atteintes ?

- $A = \left \{  {1 \over n} \ , \ n \geq 1  \right \}$

- $B = \left \{  {   n - {1 \over n} \over   n + {1 \over n}  }   \ , \ n \geq 1 \right \}$

- $C = \left \{    e^{-t}   \ , \ t > 0 \right \}$

- $D =\left  \{  { \sin t  \over t } , t > 0  \right \}$
\end{exercice}

\vskip 7pt

\begin{exercice} Soit $A$ une partie non vide et bornée de $\R$. 
\begin{itemize} 
\item[\bf(i)] Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n \geq 0}$ de points de $A$ qui converge vers $\sup A$. En déduire la m\^eme propriété pour $\inf A$.

\item[\bf(ii)] Montrer que $\sup \{  \abs {x-y} \, ,  \, x \in A  \, ,  \, y \in A   \} = \sup A - \inf A$.

\end{itemize} 
\end{exercice}

\vskip 7pt

\begin{exercice} Soit $A$ une partie non vide de $\R$ et $f,g : A \to \R$ deux fonctions bornées. Vérifier que l'on a :
\[  \sup_{x \in A} f(x) + \inf_{x \in A} g(x) \leq \sup_{x \in A} ( f(x) + g(x) )  \leq   \sup_{x \in A} f(x) + \sup_{x \in A} g(x) .   \]
\end{exercice}

\vskip 7pt

\begin{exercice} Soit $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. Déterminer $\sup (A+B)$ et $\sup (A \cup B)$ en fonction de $\sup A$ et $\sup B$.
\end{exercice}

\vskip 7pt

\begin{exercice} Soit $A$ une partie non vide de $\R$.
\begin{itemize}
\item[\bf(i)]
Vérifier que la fonction $x \mapsto \inf_{a \in A}  \abs {x - a}$ est bien définie. On la note $\dist(.,A)$ (pourquoi ?).
\item[\bf(ii)]
Montrer que cette fonction est 1-Lipschitzienne, c'est à dire :
\[ \forall (x,y) \in \R \times \R \, , \,  \abs {\dist(x,A) - \dist(y,A)} \leq \abs{x-y}  .   \]
En déduire qu'elle continue sur $\R^2$ (on écrira la définition avec $\epsilon$, $\eta$).
\item[\bf(iii)]
Que se passe-t-il si on remplace $\R$ par $\R^2$, et $\abs{.}$ par la norme euclidienne $\bignorm {.}$ ?
\end{itemize} 
\end{exercice}

\vskip 7pt

\begin{exercice} Soit $(x_n)_{n \geq 0}$ une suite bornée de réels. On pose :
\[  v_n := \inf \, \{ x_p \, , \,  p  \geq n \} \  \textrm{ et }  \  w_n := \sup \, \{ x_p \, , \,  p  \geq n \} .   \]
\begin{itemize} 
\item[\bf(i)]
Montrer que les suites $(v_n)_n$ et  $(w_n)_n$ convergent. On note $v$ et $w$ leurs limites respectives. Vérifier que $v \leq w$.
\item[\bf(ii)]
Vérifier que si $v = w$, alors la suite $(x_n)_n$ converge. 
\end{itemize} 
\end{exercice}



\vskip 7pt

\begin{exercice} Soit $I_n = [a_n , b_n]$ une suite décroissante de segments de $\R$. On suppose que $\lim_{n \to +\infty} ( b_n -a_n ) = 0$. Montrer qu'il existe $a \in \R$ tel que $\cap_{n \geq 0} [a_n , b_n] = \{ a \}$. 
\end{exercice}


\vskip 7pt

\begin{exercice} Soit $f : [0,1]  \to  [0,1] $ une fonction. Montrer qu'elle admet au moins un point fixe lorsque $f$ est continue, puis lorsque $f$ est seulement supposée croissante (on pourra dans ce cas considérer l'ensemble $\{ x \in [0,1] \ , \ f(x) \leq x \}$).
\end{exercice}



\vskip 7pt

\begin{exerciced} Soit $f : [a,b]  \to \R$ une fonction continue. On note $g : [a,b]  \to \R$ la fonction définie par $g(x) = \sup_{t \in [a,x]} f(t)$. Montrer que $g$ est la plus petite fonction \emph{croissante} majorant $f$. Vérifier que $g$ est continue.  
\end{exerciced}



\end{document}


