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\begin{document}
\vskip1cm
\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2007\par
\noindent{Master de Mathématiques Pures et Appliquées}\hfill
\noindent{Géométrie}
\vskip 1.5truecm
\centerline{\smc Devoir n$^0$ 1}
\centerline{A rendre le jeudi 22 mars}
\vskip 1truecm

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension 2 sur $\R$ ou $\C$. Etant donnés $u\in V$ et $\alpha\in V^*$, on note $u\otimes\alpha$ l'endomorphisme de $V$ défini par $(u\otimes\alpha)(v)=\alpha(v)u$. On s'intéresse à l'application projectivisée de $(u,\alpha)\mapsto u\otimes\alpha$, notée 
$$F:\P(V)\times\P(V^*)\to\P(\mathrm{End}(V)).$$ 

\ques{1.} Vérifier que si $u$ et $\alpha$ ne sont pas nuls, l'endomorphisme $u\otimes\alpha$ est de rang 1. Quel est son noyau ? Quelle est son image ?

\ques{2.} Montrer que $F$ est injective.

\ques{3.} On choisit une base de $V$. Soit $\begin{pmatrix}
x_0\\x_1\end{pmatrix}$ la colonne des composantes de $u$, soit $\begin{pmatrix}
y_0&y_1\end{pmatrix}$ la matrice de $\alpha$. Quelle est la matrice de $u\otimes\alpha$ ? Que vaut son déterminant~?

\ques{4.} Vérifier que le déterminant est une forme quadratique non dégénérée sur $\mathrm{End}(V)$. Lorsque le corps de base est $\R$, quelle est sa signature ?

\ques{5.} Montrer que les (projections des) endomorphismes de rang 1 de $V$ forment, dans l'espace projectif $\P(\mathrm{End}(V))$, une quadrique non dégénérée, qu'on note $\mathcal{Q}$. 

\ques{6.} Montrer que pour tout endomorphisme $f\in\mathrm{End}(V)$ de rang 1, il existe $u\in V$ et $\alpha\in V^*$ tels que $f=u\otimes\alpha$.

\ques{7.} Montrer que l'image de $F$ est exactement $\mathcal{Q}$.

\ques{8.} Montrer que $F$ est un homéomorphisme de $\P(V)\times\P(V^*)$ sur $\mathcal{Q}$.

\ques{9.} Lorsque le corps de base est $\C$, montrer que toute quadrique non dégénérée de $\P^3 (\C)$ est homéomorphe au produit de deux sphères.

\ques{10.} Lorsque le corps de base est $\R$, quelles sont les quadriques non dégénérées de $\P^3 (\R)$ qui sont homéomorphes au produit de deux cercles ?

\end{document}