\chapter{Les tests d'hypothèse}

\section{Généralités}

\subsection{Principe d'un test d'hypothèses}


	Les tests d'hypothèse constituent un autre aspect important de l'inférence statistique. Le principe général d'un test d'hypothèse peut s'énoncer comme suit : 

\begin{itemize}
  \item On étudie une population dont les éléments possèdent un caractère (mesurable ou qualitatif) et dont la valeur du paramètre relative au caractère étudié est inconnue.
	
  \item Une hypothèse est formulée sur la valeur du paramètre : cette formulation résulte de con\-si\-dé\-ra\-ti\-ons théoriques, pratiques ou encore elle est simplement basée sur un pressentiment.
	
  \item On veut porter un jugement sur la base des résultats d'un échantillon prélevé de cette population.
\end{itemize}


	Il est bien évident que la statistique (c'est-à-dire la variable d'échantillonnage) servant d'estimateur au paramètre de la population ne prendra pas une valeur rigoureusement égale à la valeur théorique proposée dans l'hypothèse. Cette variable aléatoire comporte des fluctuations d'échantillonnage qui sont régies par des distributions connues.

	Pour décider si l'hypothèse formulée est supportée ou non par les observations, il faut une méthode qui permettra de conclure si l'écart observé entre la valeur de la statistique obtenue dans l'échantillon et celle du paramètre spécifiée dans l'hypothèse est trop important pour être uniquement imputable au hasard de l'échantillonnage.

{\em La construction d'un test d'hypothèse consiste en fait à déterminer entre quelles valeurs peut varier la variable aléatoire, en supposant l'hypothèse vraie, sur la seule considération du hasard de l'échantillonnage.}

	Les distributions d'échantillonnage d'une moyenne, d'une variance et d'une proportion que nous avons traitées dans un chapitre précédent vont être particulièrement utiles dans l'élaboration des tests statistiques.

 \subsection{Définition des concepts utiles à l'élaboration des tests d'hypothèse}

\smallskip
\textbf{Hypothèse statistique}.

	Une {\em hypothèse statistique} est un énoncé (une affirmation) concernant les caractéristiques (valeurs des paramètres, forme de la distribution des observations) d'une population.

\smallskip
\textbf{Test d'hypothèse}.

	Un {\em test d'hypothèse} (ou test statistique) est une démarche qui a pour but de fournir une règle de décision permettant, sur la base de résultats d'échantillon, de faire un choix entre deux hypothèses statistiques.

\smallskip
\textbf{Hypothèse nulle ($H_0$) et hypothèse alternative ($H_1$)}.

	L'hypothèse selon laquelle on fixe à priori un paramètre de la population à une valeur particulière s'appelle l'{\em hypothèse nulle} et est notée $H_0$. N'importe quelle autre hypothèse qui diffère de l'hypothèse $H_0$ s'appelle l'{\em hypothèse alternative} (ou contre-hypothèse) et est notée $H_1$.

{\em C'est l'hypothèse nulle qui est soumise au test et toute la démarche du test s'effectue en considérant cette hypothèse comme vraie.}

	Dans notre démarche, nous allons établir des règles de décision qui vont nous conduire à l'acceptation ou au rejet de l'hypothèse nulle $H_0$. Toutefois cette décision est fondée sur une information partielle, les résultats d'un échantillon. Il est donc statistiquement impossible de prendre la bonne décision à coup sûr. En pratique, on met en oeuvre une démarche qui nous permettrait, à long terme de rejeter à tort une hypothèse nulle vraie dans une faible proportion de cas. La conclusion qui sera déduite des résultats de l'échantillon aura un caractère probabiliste : on ne pourra prendre une décision qu'en ayant conscience qu'il y a un certain risque qu'elle soit erronée. Ce risque nous est donné par le seuil de signification du test.

\smallskip
\textbf{Seuil de signification du test}

	Le risque, consenti à l'avance et que nous notons $\alpha$, de rejeter à tort l'hypothèse nulle $H_0$ alors qu'elle est vraie, s'appelle le \emph{seuil de signification} du test et s'énonce en probabilité ainsi,
\begin{eqnarray*}
\alpha=P(\mathrm{rejeter}\,H_0 \,|\,H_0 \,\mathrm{vraie}).
\end{eqnarray*}

	A ce seuil de signification, on fait correspondre sur la distribution d'échantillonnage de la statistique une {\em région de rejet} de l'hypothèse nulle (appelée également région critique). L'aire de cette région correspond à la probabilité $\alpha$. Si par exemple on choisit $\alpha=0.05$, cela signifie que l'on admet d'avance que la variable d'échantillonnage peut prendre, dans 5\% des cas, une valeur se situant dans la zone de rejet de $H_0$, bien que $H_0$ soit vraie et ceci uniquement d'après le hasard de l'échantillonnage.
	Sur la distribution d'échantillonnage correspondra aussi une région complémentaire, dite {\em région d'acceptation} de $H_0$ (ou région de non-rejet) de probabilité $1-\alpha$.

\begin{rem}
1.  Les seuils de signification les plus utilisés sont $\alpha=0.05$ et $\alpha=0.01$, dépendant des conséquences de rejeter à tort l'hypothèse $H_0$.

2.  La statistique qui convient pour le test est donc une variable aléatoire dont la valeur observée sera utilisée pour décider du « rejet » ou du « non-rejet » de $H_0$. La distribution d'échantillonnage de cette statistique sera déterminée en supposant que l'hypothèse $H_0$ est vraie.
\end{rem}

\begin{exemple}
	Supposons que nous affirmions que la valeur d'un paramètre $\theta$ d'une population est égale à la valeur $\theta_0$. On s'intéresse au changement possible du paramètre $\theta$ dans l'une ou l'autre direction (soit $\theta>\theta_0$, soit $\theta<\theta_0$). On effectue un test bilatéral.

Les hypothèses $H_0$ et $H_1$ sont alors
$\begin{cases}
 H_0     & \theta=\theta_0\\
H_1      & \theta\not=\theta_0.
\end{cases}$
\end{exemple}

On peut schématiser les régions de rejet et de non-rejet de $H_0$ comme suit : 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejettheta.pdf}
\end{center}


	Si, suite aux résultats de l'échantillon, la valeur de la statistique utilisée se situe dans l'intervalle $[\theta_{c_1},\theta_{c_2}]$, on acceptera $H_0$ au seuil de signification choisi. Si, au contraire, la valeur obtenue est supérieure à $c_2$ ou inférieure à $c_1$, on rejette $H_0$ et on accepte $H_1$.

\begin{rem}
Si on s'intéresse au changement du paramètre dans une seule direction, on opte pour un test unilatéral, en choisissant comme hypothèse $H_1$ soit $\theta>\theta_0$, soit $\theta<\theta_0$. La région critique est alors localisée uniquement à droite ou uniquement à gauche de la région d'acceptation. 
\end{rem}

Dans un souci de simplification, nous nous intéresserons dans ce cours essentiellement aux tests bilatéraux.

\section{Tests permettant de déterminer si un échantillon appartient à une population donnée}

\subsection{Test sur une moyenne : comparaison d'une moyenne expérimentale à une moyenne théorique dans le cas d'un caractère quantitatif}

	Nous voulons déterminer si l'échantillon de taille $n$ dont nous disposons appartient à une population de moyenne $m_0$ au seuil de signification $\alpha$.
Nous allons dans tous les tests travailler de la même façon, en procédant en quatre étapes.

\medskip
\textbf{1ère étape :} Formulation des hypothèses.

	L'échantillon dont nous disposons provient d'une population de moyenne m. Nous voulons savoir si m = $m_0$.
On va donc tester l'hypothèse $H_0$ contre l'hypothèse $H_1$ : $\begin{cases}
 H_0     & m=m_0\\
H_1      & m\not=m_0.
\end{cases}$.

\medskip
\textbf{2ème étape :} Détermination de la fonction discriminante du test et de sa distribution de probabilité.

\begin{itemize}
  \item On détermine la statistique qui convient pour ce test. Ici, l'estimateur de la moyenne $m$, c'est-à-dire $\bar{X}$, semble tout indiqué.
\item On détermine la loi de probabilité de $\bar{X}$ en se plaçant sous l'hypothèse $H_0$. Deux cas peuvent se produire.
\end{itemize}

\smallskip
\textbf{Premier cas : }L'échantillon est de grande taille (ou bien la population est normale de variance $\sigma_{pop}^2$ connue).

$\bar{X}$ suit alors une loi normale de moyenne $m_0$ (puisqu'on se place sous $H_0$) et d'écart-type $\frac{\sigma_{pop}}{\sqrt{n}}$, $\bar{X}\rightharpoonup \mathcal{N}(m_0, \frac{\sigma_{pop}}{\sqrt{n}})$. On pose
\begin{eqnarray*}
T=\frac{\bar{X}-m_0}{\frac{\sigma_{pop}}{\sqrt{n}}}.
\end{eqnarray*}
$T$ mesure un écart réduit. $T$ est aussi appelée {\em fonction discriminante du test}. $T\rightharpoonup \mathcal{N}(0,1)$.

\smallskip
\textbf{Deuxième cas : }L'échantillon est de petite taille (prélevé au hasard d'une population normale de variance $\sigma_{pop}^2$ inconnue).

Dans ce cas la fonction discriminante du test sera
\begin{eqnarray*}
T=\frac{\bar{X}-m_0}{\frac{\Sigma_{ech}}{\sqrt{n-1}}}.
\end{eqnarray*}

Ici $T \rightharpoonup T_{n-1}$ (loi de Student à $n-1$ degrés de liberté).

\medskip
\textbf{3ème étape :}	Détermination des valeurs critiques de $T $délimitant les zones d'acceptation et de rejet.

On impose toujours à la zone d'acceptation de $H_0$ concernant l'écart réduit d'être centrée autour de 0. 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejettalpha.pdf}
\end{center}

Il nous faut donc déterminer dans la table
la valeur maximale $t_{\alpha/2}$ de l'écart réduit 
imputable aux variations d'échantillonnage 
au seuil de signification $\alpha$, c'est-à-dire 
vérifiant $P(-t_{\alpha/2}\leq T\leq t_{\alpha/2})=1-\alpha$.

\medskip
\textbf{4ème étape : }	Calcul de la valeur de $T$ prise dans l'échantillon et conclusion du test.

On calcule la valeur $t_0$ prise par $T$ dans l'échantillon.
\begin{itemize}
\item Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone de rejet, on dira que l'écart-réduit observé est statistiquement significatif au seuil $\alpha$. Cet écart est anormalement élevé et ne permet pas d'accepter $H_0$. On rejette $H_0$.
\item  Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone d'acceptation, on dira que l'écart-réduit observé n'est pas significatif au seuil $\alpha$. Cet écart est imputable aux fluctuations d'échantillonnage. On accepte $H_0$.
\end{itemize}

\subsection{Tests sur une proportion}

	Nous nous proposons de tester si la proportion $p$ d'éléments dans la population présentant un certain caractère qualitatif peut être ou non considérée comme égale à une valeur hypothétique $p_0$. Nous disposons pour ce faire de la proportion d'éléments possédant ce caractère dans un échantillon de taille $n$. Nous allons procéder comme au paragraphe précédent, en quatre étapes.

\medskip
\textbf{1ère étape :} Formulation des hypothèses.


	L'échantillon dont nous disposons provient d'une population dont la proportion d'éléments présentant le caractère qualitatif est $p$. Nous voulons savoir si $p$ = $p_0$ .
On va donc tester l'hypothèse $H_0$ contre l'hypothèse $H_1$ : $\begin{cases}
 H_0     & p=p_0\\
H_1      & p\not=p_0.
\end{cases}$.

\medskip

\textbf{2ème étape : }	Détermination de la fonction discriminante du test et de sa distribution de probabilité.

On détermine la statistique qui convient pour ce test. Ici, l'estimateur de la proportion $p$, c'est-à-dire $F$, semble tout indiquée.

On détermine la loi de probabilité de $F$ \emph{en se plaçant sous l'hypothèse} $H_0$.
On suppose que l'on dispose d'un grand échantillon (et que ``$p$ n'est pas trop petit'' (de manière que l'on ait $np\geq 15$ et $n(1-p)\geq 15$).
$F$ suit alors une loi normale de moyenne $p_0$  (puisqu'on se place sous $H_0$) et d'écart-type $\sqrt{\frac{p_0 (1-p_0)}{n}}$,	$F\rightharpoonup \mathcal{N}(p_0 , \sqrt{\frac{p_0 (1-p_0)}{n}})$.

On pose 
\begin{eqnarray*}
T=\frac{F-p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1-p_0)}{n}}}.
\end{eqnarray*}
$T$ mesure un écart réduit. $T$ est aussi appelée fonction discriminante du test.	$T\rightharpoonup \mathcal{N}(0,1)$.

\medskip

\textbf{3ème étape :}	 Détermination des valeurs critiques de $T$ délimitant les zones d'acceptation et de rejet.

On impose toujours à la zone d'acceptation de $H_0$ concernant l'écart réduit d'être centrée autour de 0. 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejettalpha.pdf}
\end{center}

Il nous faut donc déterminer dans la table
la valeur maximale $t_{\alpha/2}$ de l'écart réduit 
imputable aux variations d'échantillonnage 
au seuil de signification $\alpha$, c'est-à-dire 
vérifiant $P(-t_{\alpha/2}\leq T\leq t_{\alpha/2})=1-\alpha$.

\medskip

\textbf{4ème étape : }	Calcul de la valeur de $T$ prise dans l'échantillon et conclusion du test.

On calcule la valeur $t_0$ prise par T dans l'échantillon.
\begin{itemize}
\item Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone de rejet, on dira que l'écart-réduit observé est statistiquement significatif au seuil $\alpha$. Cet écart est anormalement élevé et ne permet pas d'accepter $H_0$. On rejette $H_0$.
\item Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone d'acceptation, on dira que l'écart-réduit observé n'est pas significatif au seuil $\alpha$. Cet écart est imputable aux fluctuations d'échantillonnage. On accepte $H_0$.
\end{itemize}

	Nous étudierons ces sortes de tests sur des exemples en travaux dirigés.

\section{Risques de première et de deuxième espèce}

\subsection{Définitions}

	Tous les règles de décision que nous avons déterminées acceptaient un risque $\alpha$ qui était le risque de rejeter à tort l'hypothèse $H_0$, c'est-à-dire le risque de rejeter l'hypothèse $H_0$, alors que $H_0$ est vraie. Ce risque s'appelle aussi le {\em risque de première espèce}.

	La règle de décision du test comporte également un deuxième risque, à savoir de celui de ne pas rejeter l'hypothèse nulle $H_0$ alors que c'est l'hypothèse $H_1$ qui est vraie. C'est le {\em risque de deuxième espèce}.

Les deux risques peuvent se définir ainsi :
 \begin{eqnarray*}
\alpha&=& P(\mathrm{rejeter}H_0 \,|\,H_0 \mathrm{vraie)}=\textrm{probabilité de commettre une erreur de première espèce}.\\
\beta&=& P(\mathrm{ne\, pas\, rejeter}H_0 \,|\,H_1 \mathrm{vraie)}=\textrm{probabilité de commettre une erreur de deuxième espèce}.
\end{eqnarray*}
	Le risque de première espèce $\alpha$ est choisi à priori. Toutefois le risque de deuxième espèce $\beta$ dépend de l'hypothèse alternative $H_1$ et on ne peut le calculer que si on spécifie des valeurs particulières du paramètre dans l'hypothèse $H_1$ que l'on suppose vraie.


Les risques liés aux tests d'hypothèses peuvent se résumer ainsi : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
&& \textbf{Conclusion}  & \textbf{du test} \\
\cline{3-4}
&  & \textbf{Accepter} $H_0$&\textbf{Rejeter} $H_0$ \\
\hline
$H_0$ est     &La d\'ecision est  &  \textbf{Bonne}&\textbf{Fausse}\\
\cline{2-4}
vraie  &\vtop{\hsize=4.5cm \noindent probabilit\'e de prendre cette \eject d\'ecision avant l'exp\'erience}  &$1-\alpha$&$\alpha$  \\
\hline
$H_1$ est     &La d\'ecision est  &\textbf{Fausse}&\textbf{Bonne} \\
\cline{2-4}
vraie  &\vtop{\hsize=4.5cm \noindent probabilit\'e de prendre cette \eject d\'ecision avant l'exp\'erience}    & $\beta$&$1-\beta$ \\
\hline
\end{tabular}	
\end{center}

\begin{rem}
La probabilité complémentaire du risque de deuxième espèce ($1-\beta$) définit la {\em puissance du test} à l'égard de la valeur du paramètre dans l'hypothèse alternative $H_1$. La puissance du test représente la probabilité de rejeter l'hypothèse nulle $H_0$ lorsque l'hypothèse vraie est $H_1$. Plus $\beta$ est petit, plus le test est puissant.
\end{rem}

\subsection{Schématisation des deux risques d'erreur sur la distribution d'é\-chantillonnage}

A titre d'exemple, regardons ce qu'il se passe à propos d'un test sur la moyenne.
On peut visualiser sur la distribution d'échantillonnage de la moyenne comment sont reliés les deux risques d'erreur associés aux tests d'hypothèses.

Les zones d'acceptation de $H_0$ ($m= m_0$) 
et de rejet de $H_0$ se visualisent ainsi : 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejetx.pdf}
\end{center}

Donnons diverses valeurs à $m$ (autres que $m_0$) 
que l'on suppose vraie et schématisons le risque 
de deuxième espèce $\beta$.

\textbf{Hypothèse vraie :} $m = m_1$ ($m_1 < m_0$)
	La distribution d'échantillonnage de $\bar{X}$
en supposant vraie $m = m_1$ est illustrée en pointillé 
et l'aire hachurée sur cette figure correspond 
à la région de non-rejet de $H_0$.
Cette aire représente $\beta$ par rapport à la valeur $m_1$.

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejetx1.pdf}
\end{center}

\textbf{Hypothèse vraie :} $m = m_2$ ($m_2 > m_0$)

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejetx2.pdf}
\end{center}

\textbf{Hypothèse vraie :} $m = m_3$ ($m_3 > m_0$)

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejetx3.pdf}
\end{center}

	Cette schématisation permet d'énoncer quelques propriétés importantes concernant les deux risques d'erreur.

\begin{enumerate}
  \item Pour un même risque $\alpha$ et une même taille d'échantillon, on constate que, si l'écart entre la valeur du paramètre posée en $H_0$ et celle supposée dans l'hypothèse vraie $H_1$ augmente, le risque $\beta$ diminue.
	
\item Une réduction du risque de première espèce (de $\alpha=0.05$ à $\alpha=0.01$ par exemple) élargit la zone d'acceptation de $H_0$. Toutefois, le test est accompagné d'une augmentation du risque de deuxième espèce $\beta$. On ne peut donc diminuer l'un des risques qu'en consentant à augmenter l'autre.
	
\item Pour une valeur fixe de $\alpha$ et un $\sigma$ déterminé, l'augmentation de la taille d'échantillon aura pour effet de donner une meilleure précision puisque $\sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$  diminue. La zone d'acceptation de $H_0$ sera alors plus restreinte, conduisant à une diminution du risque $\beta$. Le test est alors plus puissant.
\end{enumerate}

\section{Tests permettant de déterminer si deux échantillons appartiennent à la même population}

\subsection{Introduction}

Il existe de nombreuses applications qui consistent, par exemple, à comparer deux groupes d'individus en regard d'un caractère quantitatif particulier (poids, taille, rendement scolaire, quotient intellectuel,....) ou à comparer deux procédés de fabrication selon une caractéristique quantitative particulière (résistance à la rupture, poids, diamètre, longueur,...) ou encore de comparer les proportions d'apparition d'un caractère qualitatif de deux populations (proportion de défectueux, proportion de gens favorisant un parti politique,...).
	Les variables aléatoires qui sont alors utilisées pour effectuer des tests d'hypothèses (ou aussi calculer des intervalles de confiance) sont la {\em différence des moyennes} d'échantillon, le {\em quotient des variances} d'échantillon ou la {\em différence des proportions} d'échantillon.

\subsection{Comparaison de deux moyennes d'échantillon : ``test T''}


	Nous nous proposons de tester si la moyenne de la première population ($m_1$) peut être ou non considérée comme égale à la moyenne de la deuxième population ($m_2$). Nous allons alors comparer les deux moyennes d'échantillon $\bar{x}_1$ et $\bar{x}_2$. Il est évident que si $\bar{x}_1$ et $\bar{x}_2$ diffèrent beaucoup, les deux échantillons n'appartiennent pas la même population. Mais si $\bar{x}_1$ et $\bar{x}_2$ diffèrent peu, il se pose la question de savoir si l'écart $d=\bar{x}_1 -\bar{x}_2$  peut être attribué aux hasards de l'échantillonnage. Afin de donner une réponse rigoureuse à cette question, nous procéderons encore en quatre étapes.

\medskip
\textbf{1ère étape :} Formulation des hypothèses.

	Le premier échantillon dont nous disposons provient d'une population dont la moyenne est $m_1$. Le deuxième échantillon dont nous disposons provient d'une population dont la moyenne est $m_2$.

Nous voulons savoir si il s'agit de la même population en ce qui concerne les moyennes, c'est-à-dire si $m_1 = m_2$.
On va donc tester l'hypothèse $H_0$ contre l'hypothèse $H_1$ : $\begin{cases}
 H_0     & m_1 =m_2\\
H_1      & m_1\not=m_2 .
\end{cases}$.

\medskip

\textbf{2ème étape : }	Détermination de la fonction discriminante du test et de sa distribution de probabilité.

On détermine la statistique qui convient pour ce test. Ici, la différence $D=\bar{X}_1 -\bar{X}_2$ des deux moyennes d'échantillon, semble tout indiquée.

On détermine la loi de probabilité de $D$ {\em en se plaçant sous l'hypothèse} $H_0$. On suppose que l'on dispose de grands échantillons ($n_1 \geq 30$ et $n_2 \geq 30$). $\bar{X}_1$ suit alors une loi normale de moyenne $m_1$ et d'écart-type $\frac{\sigma_{pop1}}{\sqrt{n_1}}$ que l'on peut sans problème estimer par $\frac{\sigma_{ech1}}{\sqrt{n_1 -1}}$ (car $n_1 \geq 30$). I.e. $\bar{X}_1  \rightharpoonup \mathcal{N}(m_1 ,\frac{\sigma_{ech1}}{\sqrt{n_1 -1}})$.

De même $\bar{X}_2$ suit alors une loi normale de moyenne $m_2$ et d'écart-type $\frac{\sigma_{pop2}}{\sqrt{n_2}}$ que l'on peut sans problème estimer par $\frac{\sigma_{ech2}}{\sqrt{n_2 -1}}$ (car $n_2 \geq 30$). I.e. $\bar{X}_2  \rightharpoonup \mathcal{N}(m_2 ,\frac{\sigma_{ech2}}{\sqrt{n_2 -1}})$.

On en déduit, puisque $\bar{X}_1$ et $\bar{X}_2$ sont indépendantes que $D$ suit également une loi normale. 

$E(D)=E(\bar{X}_1)-E(\bar{X}_2)=m_1 -m_2 =0$ puisqu'on se place sous $H_0$.

$\displaystyle E(D)=V(\bar{X}_1)+V(\bar{X}_2)=\frac{\sigma_{ech1}^2}{n_1 -1}+\frac{\sigma_{ech2}^2}{n_2 -1}$  puisque les variables sont indépendantes.
 
On pose
\begin{eqnarray*}
T=\frac{\bar{X}_1 -\bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sigma_{ech1}^2}{n_1 -1}+\frac{\sigma_{ech2}^2}{n_2 -1}}}.
\end{eqnarray*}
$T$ mesure un écart réduit. $T$ est la fonction discriminante du test.	$T \rightharpoonup \mathcal{N}(0,1)$.

\medskip
\textbf{3ème étape :}	 Détermination des valeurs critiques de $T$ délimitant les zones d'acceptation et de rejet.

On impose toujours à la zone d'acceptation de $H_0$ concernant l'écart réduit d'être centrée autour de 0. 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejettalpha.pdf}
\end{center}

Il nous faut donc déterminer dans la table
la valeur maximale $t_{\alpha/2}$ de l'écart réduit 
imputable aux variations d'échantillonnage 
au seuil de signification $\alpha$, c'est-à-dire 
vérifiant $P(-t_{\alpha/2}\leq T\leq t_{\alpha/2})=1-\alpha$.

\medskip

\textbf{4ème étape :} 	Calcul de la valeur de $T$ prise dans l'échantillon et conclusion du test.

On calcule la valeur $t_0$ prise par $T$ dans l'échantillon.
\begin{itemize}
\item  Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone de rejet, on dira que l'écart-réduit observé est {\em statistiquement significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est anormalement élevé et ne permet pas d'accepter $H_0$. On rejette $H_0$.
\item Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone d'acceptation, on dira que l'écart-réduit observé {\em n'est pas significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est imputable aux fluctuations d'échantillonnage. On accepte $H_0$.
\end{itemize}

\begin{rem}
Si on travaille sur de petits échantillons, si la loi suivie par la grandeur est une loi normale et si on ignore les écarts-type des populations, on doit utiliser la loi de Student.
\end{rem}

\subsection{Comparaison de deux variances d'échantillon : ``test F''}

\textbf{1ère étape :} Formulation des hypothèses.

	Le premier échantillon dont nous disposons provient d'une population dont l'écart-type est $\sigma_{pop1}$. Le deuxième échantillon dont nous disposons provient d'une population dont l'écart-type est $\sigma_{pop2}$. Nous voulons savoir si il s'agit de la même population en ce qui concerne les écarts-type, c'est-à-dire si $\sigma_{pop1}=\sigma_{pop2}$.
On va donc tester l'hypothèse $H_0$ contre l'hypothèse $H_1$ : $\begin{cases}
 H_0     & \sigma_{pop1}=\sigma_{pop2}\\
H_1      & \sigma_{pop1}\not=\sigma_{pop2}.
\end{cases}$.

\medskip

\textbf{2ème étape :} 	Détermination de la fonction discriminante du test et de sa distribution de probabilité.

On détermine la statistique qui convient pour ce test. Ici, la variable aléatoire dont on connaît la loi est le rapport $\displaystyle F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$ où $S_1^2$ et $S_2^2$ sont les variables aléatoires variances d'échantillon.

On détermine la loi de probabilité de $F$ {\em en se plaçant sous l'hypothèse} $H_0$.

On suppose ici que les deux populations dont nous avons tiré les échantillons sont normales. Il en découle que
\begin{itemize}
  \item $\displaystyle \frac{(n_1 - 1)S_1^2}{\sigma_{pop1}^2}$ suit la loi du khi-deux à $n_1 - 1$ degrés de liberté.
\item De même, $\displaystyle \frac{(n_2 - 1)S_2^2}{\sigma_{pop2}^2}$ suit la loi du khi-deux à $n_2 - 1$ degrés de liberté.
\end{itemize}

On considère alors le quotient
\begin{eqnarray*}
F_0 =\frac{\frac{S_1^2}{\sigma_{pop1}^2}}{\frac{S_2^2}{\sigma_{pop2}^2}}
\end{eqnarray*}
qui est distribué suivant la loi de Fisher avec $\nu_1 =n_1 -1$  et $\nu_2 =n_2 -1$ degrés de liberté. Lorsqu'on se place sous l'hypothèse $H_0$, c'est le rapport $\displaystyle F_0=\frac{S_1^2}{S_2^2}$ qui suit la loi de Fisher avec $\nu_1$ et $\nu_2$ degrés de liberté puisque $\sigma_{pop1}=\sigma_{pop2}$. Ici la {\em fonction discriminante du test} est $F_0$.

\medskip

\textbf{3ème étape :}	 Détermination des valeurs critiques de $F_0$ délimitant les zones d'acceptation et de rejet.

On impose maintenant à la zone d'acceptation de $H_0$
concernant le quotient des deux variances d'échantillon 
d'être centrée autour de 1.

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{F.pdf}
\end{center}

On détermine dans les tables les deux valeurs $F_{\alpha/2,\nu_1,\nu_2}$ et 
$F_{1-\alpha/2,\nu_1,\nu_2}$ telles que $P(F_{\alpha/2,\nu_1,\nu_2}<F_0 <F_{1-\alpha/2,\nu_1,\nu_2}=1-\alpha$.

On rejettera $H_0$ si la valeur $f_0$ prise par $F_0$ dans l'échantillon 
se trouve à l'extérieur de l'intervalle $[F_{\alpha/2,\nu_1,\nu_2},F_{1-\alpha/2,\nu_1,\nu_2}]$.

\begin{rem}
On notera que pour obtenir la valeur critique inférieure de $F_0$, on doit utiliser la relation
\begin{eqnarray*}
F_{1-\alpha/2,\nu_1,\nu_2}=\frac{1}{F_{\alpha/2,\nu_2,\nu_1}}.
\end{eqnarray*}
\end{rem}

\medskip

\textbf{4ème étape : }	Calcul de la valeur de $F_0$ prise dans l'échantillon et conclusion du test.

On calcule la valeur $f_0$ prise par $F_0$ dans l'échantillon.
\begin{itemize}
\item Si la valeur $F_0$ se trouve dans la zone de rejet, on dira que la valeur observée pour F est {\em statistiquement significative} au seuil $\alpha$. Ce quotient est éloigné de 1 et ne permet pas d'accepter $H_0$. On rejette $H_0$.
\item Si la valeur $F_0$ se trouve dans la zone d'acceptation, on dira que la valeur observée pour $F$ {\em n'est pas significative} au seuil $\alpha$. L'écart constaté par rapport à la valeur 1 attendue est imputable aux fluctuations d'échantillonnage. On accepte $H_0$.
\end{itemize}

\subsection{Comparaison de deux proportions d'échantillon}

	Il y a de nombreuses applications (échéances électorales, expérimentations médicales...) où nous devons décider si l'écart observé entre deux proportions échantillonnales est significatif où s'il est attribuable au hasard de l'échantillonnage. Pour répondre à cette question, nous procéderons comme d'habitude en quatre étapes.

\medskip
\textbf{1ère étape :} Formulation des hypothèses.

	Le premier échantillon dont nous disposons provient d'une population 1 dont les éléments possèdent un caractère qualitatif dans une proportion inconnue $p_1$. Le deuxième échantillon dont nous disposons provient d'une population 2 dont les éléments possèdent le même caractère qualitatif dans une proportion inconnue $p_2$.

 Nous voulons savoir si il s'agit de la même population en ce qui concerne les proportions, c'est-à-dire si $p_1$ = $p_2$.
On va donc tester l'hypothèse $H_0$ contre l'hypothèse $H_1$ : $\begin{cases}
 H_0     & p_1 =p_2\\
H_1      & p_1 \not=p_2 .
\end{cases}$.

\medskip

\textbf{2ème étape :} 	Détermination de la fonction discriminante du test et de sa distribution de probabilité.

Nous traiterons uniquement le cas où nous sommes en présence de grands échantillons.

On détermine la statistique qui convient pour ce test. Ici, la différence $D=F_1 -F_2$ des deux proportions d'échantillon, semble tout indiquée, puisque $F_1$ est un estimateur sans biais de $p_1$ et $F_2$ un estimateur sans biais de $p_2$..
	
On détermine la loi de probabilité de $D$ {\em en se plaçant sous l'hypothèse} $H_0$.
$F_1$ suit alors une loi normale de moyenne $p_1$ et d'écart-type $\sqrt{\frac{p_1 (1-p_1)}{n_1}}$.

De même, $F_2$ suit alors une loi normale de moyenne $p_2$ et d'écart-type $\sqrt{\frac{p_2 (1-p_2)}{n_2}}$.

On en déduit, puisque $F_1$ et $F_2$ sont indépendantes que $D$ suit également une loi normale. 

$E(D)=E(F_1)-E(F_2)=p_1 -p_2  = 0$ puisqu'on se place sous $H_0$.

$V(D)=V(F_1)+V(F_2)=\frac{p(1-p)}{n_1}+\frac{p(1-p)}{n_2}$ puisque les variables sont indépendantes. Ici, on a posé $p_1$ = $p_2$ = $p$ puisque l'on se place sous $H_0$.

Mais comment trouver $p$ puisque c'est justement sur $p$ que porte le test ? Puisque nous raisonnons en supposant l'hypothèse $H_0$ vraie, on peut considérer que les valeurs de $F_1$ et $F_2$ obtenues sur nos échantillons sont des approximations de $p$. De plus, plus la taille de l'échantillon est grande, meilleure est l'approximation (revoir le chapitre sur les intervalles de confiance). Nous allons donc pondérer les valeurs observées dans nos échantillons par la taille respective de ces échantillons.
On approchera $p$ dans notre calcul par $\hat{p}=\frac{n_1 f_1 +n_2 f_2}{n_1 +n_2}$.  
		
On pose
\begin{eqnarray*}
T=\frac{D}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}.
\end{eqnarray*}
$T$ mesure un écart réduit. $T$ est la {\em fonction discriminante du test}. $T \rightharpoonup \mathcal{N}(0,1)$.

\medskip

\textbf{3ème étape :}	 Détermination des valeurs critiques de $T$ délimitant les zones d'acceptation et de rejet


On impose toujours à la zone d'acceptation de $H_0$ concernant l'écart réduit d'être centrée autour de 0. 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{rejettalpha.pdf}
\end{center}

Il nous faut donc déterminer dans la table
la valeur maximale $t_{\alpha/2}$ de l'écart réduit 
imputable aux variations d'échantillonnage 
au seuil de signification $\alpha$, c'est-à-dire 
vérifiant $P(-t_{\alpha/2}\leq T\leq t_{\alpha/2})=1-\alpha$.

\medskip

\textbf{4ème étape : }	Calcul de la valeur de T prise dans l'échantillon et conclusion du test

On calcule la valeur $t_0$ prise par T dans l'échantillon.
\begin{itemize}
\item Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone de rejet, on dira que l'écart-réduit observé est {\em statistiquement significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est anormalement élevé et ne permet pas d'accepter $H_0$. On rejette $H_0$.
\item Si la valeur $t_0$ se trouve dans la zone d'acceptation, on dira que l'écart-réduit observé {\em n'est pas significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est imputable aux fluctuations d'échantillonnage. On accepte $H_0$.
\end{itemize}

\section{Test d'ajustement de deux distributions : ``test du khi-deux''}

\subsection{Introduction}

	Dans le chapitre 1 de ce cours, nous avons traité de diverses distributions expérimentales dans lesquelles on présentait la répartition des fréquences (absolues ou relatives) pour divers caractères. Lorsque nous avons accumulé suffisamment de données sur une variable statistique, on peut alors examiner si la distribution des observations semble s'apparenter à une distribution théorique connue (comme une loi binomiale, de Poisson, normale...). Un outil statistique qui permet de vérifier la concordance entre une distribution expérimentale et une distribution théorique est le {\em test de Pearson}, appelé aussi le {\em test du khi-deux}.

	On cherche donc à déterminer si un modèle théorique est susceptible de représenter a\-dé\-qua\-te\-ment le comportement probabiliste de la variable observée, comportement fondé sur les fréquences des résultats obtenus sur l'échantillon.

Comment procéder ?

\smallskip
\textbf{Répartitions expérimentales}

On répartit les observations suivant $k$ classes (si le caractère est continu) ou $k$ valeurs (si le caractère est discret). On dispose alors des effectifs des $k$ classes : $n_1$, $n_2 ,\ldots, n_k$.
On a bien sûr la relation 
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{k}n_i =N,
\end{eqnarray*}
où $N$ est le nombre total d'observations effectuées.
\begin{rem}
Dans la pratique, on se placera dans le cas où $N \geq 50$ et où chaque $n_i$ est supérieur ou égal à 5. Si cette condition n'est pas satisfaite, il y a lieu de regrouper deux ou plusieurs classes adjacentes. Il arrive fréquemment que ce regroupement s'effectue sur les classes aux extrémités de la distribution. $k$ représente donc le nombre de classes après regroupement.
\end{rem}

\smallskip
\textbf{Répartitions théoriques}

En admettant comme plausible une distribution théorique particulière, on peut construire une répartition idéale des observations de l'échantillon de taille $N$ en ayant recours aux probabilités tabulées (ou calculées) du modèle théorique : $p_1$, $p_2 ,\ldots, p_k$.
On obtient alors les effectifs théoriques $n_{t,i}$ en écrivant $n_{t,i}=Np_i$. On dispose automatiquement de la relation $\displaystyle \sum_{i=1}^{k}n_{t,i} =N$.

\smallskip
\textbf{Définition de l'écart entre les deux distributions}
	
Pour évaluer l'écart entre les effectifs observés $n_i$ et les effectifs théoriques $n_{t,i}$, on utilise la somme des écarts normalisés entre les deux distributions, à savoir
\begin{eqnarray*}
\chi^2 =\frac{(n_1 -n_{t,1})^2}{n_{t,1}}+\frac{(n_2 -n_{t,2})^2}{n_{t,2}}+\cdots+\frac{(n_k -n_{t,k})^2}{n_{t,k}}.
\end{eqnarray*}
Plus le nombre $\chi^2$ ainsi calculé est grand, plus la distribution étudiée différer de la distribution théorique.

\smallskip
\textbf{Quelques considérations théoriques à propos de cet écart}

Le nombre d'observations $n_i$ parmi l'échantillon de taille $N$ susceptible d'appartenir à la classe $i$ est la réalisation d'une variable binomiale $N_i$ de paramètres $N$ et $p_i$ (chacune des $N$ observations appartient ou n'appartient pas à la classe $i$ avec une probabilité $p_i$).
Si $N$ est suffisamment grand (on se place dans le cas d'échantillons de taille 50 minimum) et $p_i$ pas trop petit (on a effectué des regroupements de classes pour qu'il en soit ainsi), on peut approcher la loi binomiale par la loi normale, c'est-à-dire $\mathcal{B}(N, p_i)$ par $\mathcal{N}(Np_i,\sqrt{Np_i(1-p_i)})$. Pour simplifier, on approxime $Np_i(1-p_i)$ par $Np_i$.
Donc $\frac{N_i -Np_i}{Np_i}$ suit la loi $\mathcal{N}(0, 1)$.
Lorsqu'on élève au carré toutes ces quantités et qu'on en fait la somme, on obtient une somme de $k$ lois normales centrées réduites (presque) indépendantes. Nous avons vu au chapitre 3 que cette somme suivait une loi du khi-deux.


\smallskip
\textbf{Mais quel est le nombre de degrés de liberté de cette variable du khi-deux ?}

Il y a $k$ carrés, donc à priori $k$ degrés de liberté. Mais on perd toujours un degré de liberté car on a fixé l'effectif total de l'échantillon,
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{k}N_i =N.
\end{eqnarray*}

On peut perdre d'autres degrés de liberté si certains paramètres de la loi théorique doivent être estimés à partir de l'échantillon.
\begin{enumerate}
  \item Si la distribution théorique est entièrement spécifiée, c'est-à-dire si on cherche à déterminer si la distribution observée suit une loi dont les paramètres sont connus avant même de choisir l'échantillon, on a $k - 1$ degrés de liberté ($k$ carrés indépendants moins une relation entre les variables).
\item S'il faut d'abord estimer $r$ paramètres de la loi à partir des observations de l'échantillon (par exemple on cherche si la distribution est normale mais on ne connaît d'avance ni sa moyenne ni son écart-type), il n'y a plus que $k - 1 - r$ degrés de liberté.
\end{enumerate}
Dans le cas général, on dira que la loi du khi-deux suivie par l'écart entre les deux distributions a $k - 1 - r$ degrés de liberté lorsqu'on a estimé $r$ paramètres de la loi théorique à partir des observations de l'échantillon (avec la possibilité pour $r$ de valoir 0).

\subsection{Le test d'ajustement de Pearson}

Il nous faut maintenant décider, à l'aide de cet indicateur qu'est le $\chi^2$, si les écarts entre les effectifs théoriques et ceux qui résultent des observations sont significatifs d'une différence de distribution ou si ils sont dus aux fluctuations d'échantillonnage. Nous procéderons comme d'habitude en quatre étapes.

\medskip
\textbf{1ère étape :} Formulation des hypothèses.

On va donc tester l'hypothèse $H_0$ contre l'hypothèse $H_1$ :
\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
H_0      & \text{Les observations suivent la distribution théorique spécifiée}, \\
H_1      & \text{Les observations ne suivent pas la distribution théorique spécifiée}.
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\medskip
\textbf{2ème étape :} 	Détermination de la fonction discriminante du test et de sa distribution de probabilité.

On utilise la variable aléatoire 
\begin{eqnarray*}
\chi^2 =\frac{(N_1 -n_{t,1})^2}{n_{t,1}}+\frac{(N_2 -n_{t,2})^2}{n_{t,2}}+\cdots+\frac{(N_k -n_{t,k})^2}{n_{t,k}}.
\end{eqnarray*}

\medskip
\textbf{3ème étape :}	 Détermination des valeurs critiques de $\chi^2$ délimitant les zones d'acceptation et de rejet.

On impose à la zone d'acceptation de $H_0$ concernant la valeur du $\chi^2$ d'être un intervalle dont 0 est la borne inférieure (car un $\chi^2$ est toujours positif). 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{chianu.pdf}
\end{center}


Il nous faut donc déterminer dans la table
la valeur maximale $\chi_{\alpha,\nu}^2$ de l'écart entre 
les deux distributions imputable aux variations 
d'échantillonnage au seuil de signification $\alpha$, 
c'est-à-dire vérifiant $P(\chi^2 >\chi_{\alpha,\nu}^2)=\alpha$.
$\chi_{\alpha,\nu}^2$ représente donc la valeur critique pour un test sur la concordance entre deux distributions et le test sera toujours unilatéral à droite.

\medskip

\textbf{4ème étape : }	Calcul de la valeur de $\chi^2$ prise dans l'échantillon et conclusion du test.

On calcule la valeur  $\chi_{0}^2$ prise par $\chi^2$ dans l'échantillon.
\begin{itemize}
\item Si la valeur $\chi_{0}^2$ se trouve dans la zone de rejet, on dira que l'écart observé entre les deux distributions est {\em statistiquement significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est anormalement élevé et ne permet pas d'accepter $H_0$. On rejette $H_0$.
\item Si la valeur $\chi_{0}^2$ se trouve dans la zone d'acceptation, on dira que l'écart-réduit observé {\em n'est pas significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est imputable aux fluctuations d'échantillonnage. On accepte $H_0$.
\end{itemize}

\section{Test d'homogénéïté de plusieurs populations}

\subsection{Introduction}


	On prélève au hasard $k$ échantillons de tailles $n_1$, $n_2 ,\ldots,n_k$ de $k$ populations. Les résultats du caractère observé dans chaque population sont ensuite classés selon $r$ modalités. Dans ce cas, les totaux marginaux (les $n_i$) associés aux $k$ échantillons sont fixés et ne dépendent pas du sondage. Il s'agit de savoir comparer les $k$ populations entre elles et de savoir si elles ont un comportement semblable en regard du caractère étudié (qualitatif ou quantitatif). On rassemble les données dans un tableau à double entrée appelé {\em tableau de contingence}.

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|}
\cline{2-2}
\vtop{\hsize=2.67cm \hfill}&\vtop{\hsize=10.2cm Populations \'echantillonn\'ees}
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&&$j = 1$&$j = 2$&	...	&$j$&...&$j = k$\\
\cline{2-8}
&$i = 1$&$n_{11}$&$n_{12}$&&$n_{1j}$&&$n_{1k}$\\
\cline{2-8}
Caractère&$i = 2$&$n_{21}$&$n_{22}$&&$n_{2j}$&&$n_{2k}$\\
\cline{2-8}
observé&...&&&&&&\\						
\cline{2-8}
selon $r$&$i$&$n_{i1}$&$n_{i2}$&&$n_{ij}$&&$n_{ik}$\\
\cline{2-8}
modalités&...&&&&&&\\						
\cline{2-8}
&$i = r$&$n_{r1}$&$n_{r2}$&&$n_{rj}$&&$n_{rk}$\\
\cline{2-8}
&&$\displaystyle n_1 =\sum_{i=1}^{r}n_{i1}$&$\displaystyle n_2 =\sum_{i=1}^{r}n_{i2}$&&$\displaystyle n_j =\sum_{i=1}^{r}n_{ij}$&&$\displaystyle n_k =\sum_{i=1}^{r}n_{ik}$\\	 	 	
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Test d'homogénéïté}

Il s'agit de comparer les effectifs observés pour chaque modalité du caractère avec les effectifs théoriques sous l'hypothèse d'une répartition équivalente entre les $k$ populations et ceci pour chaque modalité du caractère. Si nous notons $p_{ij}$ la probabilité théorique pour qu'une unité statistique choisie au hasard dans la population $j$ présente la modalité $i$ du caractère étudié, on peut alors préciser les hypothèses de la façon suivante :

\medskip
\textbf{1ère étape :} Formulation des hypothèses.

$H_0$ : $p_{i1} = p_{i2} = \cdots = p_{ik}$ pour $i = 1$, $2, \ldots, r$. Soit encore : les proportions d'individus présentant chaque modalité du caractère sont les mêmes dans les $k$ populations.

$H_1$ : $p_{ij_1}\not=p_{ij_2}$ pour au moins un $i$ parmi 1, $2,\ldots, r$ et pour au moins deux $j_{1}$ et $j_{2}$ différents choisis parmi 1, $2,\ldots, k$. Soit encore : les proportions d'individus présentant chaque modalité du caractère ne sont pas identiques pour toutes les populations pour au moins une modalité du caractère.

\medskip

\textbf{2ème étape :} 	Détermination de la fonction discriminante du test et de sa distribution de probabilité.

Sous l'hypothèse d'homogénéité des populations, on doit comparer les effectifs observés aux effectifs théoriques. Pour calculer les effectifs théoriques, il nous faut déterminer $p_i$, la proportion d'individus associée à la modalité $i$ et que l'on suppose identique dans les $k$ populations. On obtiendra une estimation de cette proportion en utilisant l'ensemble des données collectées. On choisit donc
\begin{eqnarray*}
p_i =\frac{\sum_{j=1}^{k}n_{ij}}{\sum_{j=1}^{k}n_j}.
\end{eqnarray*}
On en déduit les effectifs théoriques de chaque classe grâce à la relation
\begin{eqnarray*}
n_{t,ij}=p_i n_j .
\end{eqnarray*}	

Pour comparer les écarts entre ce qu'on observe et ce qui se passe sous l'hypothèse $H_0$, on considère la somme des écarts réduits de chaque classe, à savoir la quantité 
\begin{eqnarray*}
\chi^2 =\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{k}\frac{(N_{ij}-n_{t,ij})^2}{n_{t,ij}}.
\end{eqnarray*}
Cette variable aléatoire suit une loi du khi-deux (voir paragraphe précédent), mais quel est donc son nombre de degrés de liberté ?

{\em Calcul du nombre de degrés de liberté du khi-deux}.

\begin{itemize}
  \item A priori, on a $kr$ cases dans notre tableau donc $kr$ degrés de liberté. Mais il faut retirer à cette valeur, le nombre de paramètres estimés ainsi que le nombre de relations entre les différents éléments des cases.
\item On a estimé $r$ probabilités théoriques à l'aide des valeurs du tableau($p_1$, $p_2 ,\ldots,p_r$), mais seulement $r - 1$ sont indépendantes, puisqu'on impose la restriction $\sum_{i=1}^{r}p_i =1$. Par ces estimations, on a donc supprimé $r - 1$ degrés de liberté.
\item Les effectifs de chaque colonne sont toujours liés par les relations $\sum_{i=1}^{r}N_{ij}=n_j$  (puisque les $n_j$ sont imposés par l'expérience) et ces relations sont au nombre de $k$.
\item Finalement, le nombre de degrés de liberté du khi-deux est $kr-(r-1)-k=(k-1)(r-1)$. 
\end{itemize}	
				 
\medskip
\textbf{3ème étape :}	 Détermination des valeurs critiques de   délimitant les zones d'acceptation et de rejet.

On impose à la zone d'acceptation de $H_0$ concernant la valeur du $\chi^2$ d'être un intervalle dont 0 est la borne inférieure (car un $\chi^2$ est toujours positif). 

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{chianu.pdf}
\end{center}

Il nous faut donc déterminer dans la table
la valeur maximale $\chi_{\alpha,\nu}^2$ de l'écart entre 
les deux distributions imputable aux variations 
d'échantillonnage au seuil de signification $\alpha$, 
c'est-à-dire vérifiant $P(\chi^2 >\chi_{\alpha,\nu}^2)=\alpha$.

\medskip
\textbf{4ème étape :} 	Calcul de la valeur de $\chi^2$ prise dans l'échantillon et conclusion du test.

On calcule la valeur  $\chi_{0}^2$ prise par $\chi^2$ dans l'échantillon.
\begin{itemize}
\item Si la valeur $\chi_{0}^2$ se trouve dans la zone de rejet, on dira que l'écart observé entre les deux distributions est {\em statistiquement significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est anormalement élevé et ne permet pas d'accepter $H_0$. On rejette $H_0$.
\item Si la valeur $\chi_{0}^2$ se trouve dans la zone d'acceptation, on dira que l'écart-réduit observé {\em n'est pas significatif} au seuil $\alpha$. Cet écart est imputable aux fluctuations d'échantillonnage. On accepte $H_0$.
\end{itemize}

\bigskip

CONCLUSION : Nous avons appris à effectuer un certain nombre de tests. Il en existe d'autres. Tous fonctionnent sur le même principe. Si vous avez compris ce qui précède, vous serez capables de les appréhender correctement lorsque vous les rencontrerez : suivez le modèle.
