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\hbox{{\vrule height 2pt width \finwidth} Fin du cours $n^0$#1}
\vskip.5cm\par}

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\newtheorem{rappel}[lemme]{Rappel}

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\long\def\sol#1#2#3{}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
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\def\D{{\cal D}}
\def\cha{I\!I\!I}


\title{Distributions : complément}

\begin{document}

\maketitle

\section{Série de Fourier d'une distribution périodique}

{\bf D\'efinition.} On dit qu'une distribution $U\in \mathcal{D}'(R) $ est
{\bf $T$-p\'eriodique} si on a pour une translation positive $\tau _T$
$$\tau _T (U)=U.$$
Le nombre $T$ est une {\bf p\'eriode} de la distribution $U$ et le plus
petit de ces nombres est appel\'e {\bf p\'eriode fondamentale}.
\par

\begin{defi}
Soit $U$ une distribution, $I$ un intervalle de $\R$. On dit que le support de $U$ est contenu dans $I$ si, pour toute fonction d'essai $\phi$ nulle sur $I$, $\langle U,\phi\rangle$.
\end{defi}

{\bf Th\'eor\`eme.} La condition n\'ecessaire et suffisante pour que $U$
soit une distribution p\'eriodique de p\'eriode $T$ est que l'on puisse
trouver une distribution $V$ \`a {\sl support born\'e} $V$ telle que
$$U=\sum _{k\in Z} \tau _{kT}(V)$$
\par 
{\bf Ex.157} Soit $f$ une fonction $T$-p\'eriodique dans $L^1 (T)$, elle
d\'efinit une distribution $T$-p\'eriodique $U_f$ et on peut prendre pour
$V$ la distribution r\'eguli\`ere d\'efinie par la fonction $v$ 
\begin{displaymath}
	     v(t) = \left\{ \begin{array}{ll}
	    f(t) & \textrm{si $t\in [a,a+T[$ o\`u $a\in R$}\\
	    0 & \textrm{sinon}
	    \end{array} \right.
            \end{displaymath}
\par
{\bf Ex.158} Prenons pour $V$ la distribution de Dirac \`a l'origine. Donner
l'expression de la distribution $T$-p\'eriodique $\cha_T$  ainsi obtenue.
 
%{\bf Remarque.} Les distributions p\'eriodiques sont des distributions
%temp\'er\'ees.
\par
{\bf D\'efinition.} Soit $U$ une distribution $T$-p\'eriodique telle que
$U=\sum _{k\in Z} \tau_{kT}(V)$. On appelle {\bf coefficients de Fourier} de
$U$ les nombres complexes
$$c_k(U) = \frac{1}{T} <V,e^{-ik\omega t}>$$
O\`u $\omega =\frac{2\pi }{T}$ et $k\in Z$.
\par
{\bf Remarque.} Le nombre $<V,e^{-ik\omega t}>$ est parfaitement d\'efini
puisque la fonction $t\to e^{-ik\omega t}$ est une fonction $C^\infty$ et que
le support de $V$ est born\'e.
\par
{\bf Th\'eor\`eme.} Soit $U$ une distribution $T$-p\'eriodique, alors
$$U= \lim_{N\to \infty} (\mathcal{D}')\sum_{k=-N}^{k=+N} c_k(U)e^{ik\omega t}$$
et pour $k\neq 0$ on a $|c_k(U)|\leq Cons.|k|^r$, o\`u $r$ est un entier
positif.
\par
{\bf Inversement.} Une suite de nombres $\{ c_k\}_{-\infty}^\infty$
satisfaisant \`a l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente est la suite des
coefficients de Fourier d'une distribution $T$-p\'eriodique.
\begin{prop}
Soit $U'$ la d\'eriv\'ee de la distribution $T$-p\'eriodique
$U$, on a alors
$$c_k(U')= ik\omega c_k (U).$$
\end{prop}

\par
{\bf Ex.160} Calculer les coefficients de Fourier $c_k(I\!I\!I_T)$ et
$c_k \cha_T$.

\section{Méthode de la variation de la constante}

\textbf{Motivation}. Considérons un système physique, par exemple, un oscillateur harmonique gouverné par une équation différentielle de la forme $ay''+by'+cy=F(t)$, où $F(t)$ est un terme de forçage. On donne au sysème une impulsion brutale au temps $t=0$. Cela signifie que $F(t)$ est proportionnel à la distribution de Dirac à l'origine. Quelle est la réponse du système ? On est amené à résoudre des équations différentielles dont le second membre est une distribution, avec inconnue distribution.

\subsection{Cas des équations différentielles du premier ordre}


On commence par résoudre les équations différentielles de la forme 
$$(\mathcal{E})\quad a(x)y'+b(x)y=U,$$
où $a$ et $b$ sont des fonctions indéfiniment dérivables sur $\R$, $a$ ne s'annule pas et $U$ est une distribution. 

\begin{prop}
La méthode classique de résolution s'étend au cas où le second membre est une distribution.
\end{prop}

\begin{enumerate}
\item On résoud l'équation homogène. On trouve des solutions proportionnelles, $f(x)=C\,e^{c(x)}$ où $c$ est une primitive de $-b/a$.
\item On cherche une solution particulière de l'équation $(\mathcal{E})$ sous la forme $T=e^{c(x)}U$, où $U$ est une distribution inconnue. Cela conduit à $T'=e^{-c}U$, qui possède une solution $T_{0}$.
\item Toutes les solutions sont de la forme $T=T_{0}+C\,e^{c(x)}$.
\end{enumerate}

\begin{exemple}
Résoudre l'équation différentielle $y'+2xy=\delta_{0}$.
\end{exemple}
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $f(x)=C\,e^{x^{2}}$. Il reste à résoudre $T'=e^{-x^{2}}\delta_{0}=\delta_{0}$, soit $T_{0}=H$, fonction d'Heaviside. Toutes les solutions sont de la forme $T=(H+C)e^{x^{2}}$.

\subsection{Cas des équations différentielles à coefficients constants}

Revenons au problème initial, un oscillateur qu'on brutalise. Tant que $t<0$, il ne se passe rien, donc la solution est nulle. Lorsque $t>0$, le système oscille librement, son mouvement est solution de l'équation {\em homogène} $ay''+by'+cy=0$. Donc on peut penser que la solution est de la forme $f(t)H$ où $f$ est solution de l'équation homogène.

\begin{prop}
L'équation différentielle $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+ a_{1}y'+a_{0}y=\delta_0$ possède une solution de la forme $f(t)H$ où $f$ est solution de l'équation homogène $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1}+\cdots+ a_{1}y'+a_{0}y=0$.
\end{prop}

\end{document}

\begin{defi}
Si $U$ est une distribution et $\phi$ une fonction d'essai, on peut définir une fonction $U\star\phi$ par
\begin{eqnarray*}
U\star\phi(x)=<U,\tau_{x}\hat{\phi}\rangle.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{exemple}
Pour toute fonction d'essai $\phi$, $\delta\star\phi=\phi$.
\end{exemple}

\begin{prop}
$U\star\phi$ est indéfiniment dérivable, et 
$$(U\star\phi)'=U'\star\phi=U\star\phi'.$$
\end{prop}

Application : si $U$ est une solution de l'équation différentielle $ay''+by'+cy=\delta_{0}$, alors $T=U\star\phi$ est une solution de $ay''+by'+cy=\phi$.
\end{document}