Master de Mathématiques Fondamentales et Appliquées

2e année : Analyse, arithmétique, géométrie


Cours de Géométrie Différentielle


P. Pansu, S. Dumitrescu

I.  Calcul des variations

Le formalisme lagrangien

Equations d'Euler-Lagrange et quelques exemples : équations des géodésiques, brachistochrone, mouvement d'Euler-Poinsot.

Le formalisme hamiltonien

Transformation de Legendre, géométrie symplectique du cotangent, équation d'Hamilton-Jacobi et exemples : la toupie, retour sur les géodésiques...

Exercices du chapitre 1
Solutions des exercices


II.  Géométrie Riemannienne

Surfaces de R3

Exemples : la sphère, surfaces de révolution, cônes, surfaces d'égale pente, tubes.

La première forme fondamentale : longueurs, aires, la distance sur la sphère.

La seconde forme fondamentale : courbure d'un graphe, paramétrisation d'une surface par son plan tangent, rappels sur les formes quadratiques, courbures principales, directions principales, sections normales, intersection d'une surface avec son plan tangent, courbure d'une courbe tracée sur une surface, calcul de la seconde forme fondamentale, endomorphisme de Weingarten, calcul des courbures principales, contact d'ordre 2.

L'application de Gauss : dérivée de l'application de Gauss, courbure de Gauss, degré, intégrale de la courbure de Gauss, invariance de la courbure de Gauss par isométries.

Surfaces équidistantes : aire des surfaces équidistantes, caractérisation des surfaces minimales, rayon d'injectivité normal.

Exercices du chapitre 2
Solutions des exercices

Connexion de Levi-Civita

Motivation : transport parallèle, roulement sans glissement ni pivotement.

Notion de connexion sur le fibré tangent, torsion, dérivation covariante.

Formule de la variation première, équation des géodésiques, exponentielle, rayon d'injectivité, coordonnées normales, Lemme de Gauss.

Sous-variétés : connexion induite, seconde forme fondamentale, volume, formule de la variation de l'aire.

Complétude, théorème de Hopf-Rinow, géodésiques et groupe fondamental, revêtements.

Exercices du chapitre 3
Solutions des exercices

Courbure

Motivation : dérivées covariantes secondes.

Courbure et champs de Jacobi. Développement limité de la métrique en coordonnées normales. Courbure des sous-variétés.

Variétés à courbure constante.

Théorème de comparaison de Rauch.

Points conjugués, théorème de Cartan-Hadamard.

Formule de la variation seconde, théorème de Myers.

Exercices du chapitre 4
Solutions des exercices

Surfaces hyperboliques

Théorème de Gauss-Bonnet en dimension 2.

Géométrie du plan hyperbolique, classification des surfaces compactes à courbure constante.

Espace de Teichmüller, espaces des modules.

Exercices du chapitre 5
Solutions des exercices


III.   Courbure et Topologie : Théorie de Chern-Weil


Fibrés vectoriels

Opérations algébriques sur les fibrés vectoriels, fibrés sur les sphères, fibré universel. Classes caractéristiques. Applications.

Exercices du chapitre 6
Solutions des exercices

Connexions sur les fibrés vectoriels et théorie de Chern-Weil 

Construction et exemples, courbure, formes à valeurs dans les fibrés vectoriels.
Construction des classes caractéristiques. Théorème de Gauss-Bonnet.

Exercices du chapitre 7
Solutions des exercices
 

Sujets d'exposés
Devoir de Noël 2003
Devoir de Noël 2004
Devoir de Noël 2005


Examen du 7 février 2004
Examen du 2 février 2005
Examen du 11 juillet 2005
Interrogation écrite du 30 novembre 2005
Examen  du 1er février 2006
Examen  du 30 juin 2006

Notes de cours rassemblées

Bibliographie

V. ARNOLD, Les méthodes mathématiques de la mécanique classique, Editions Mir, Moscou (1974).
P. BUSER, Geometry and spectra of Riemann Surfaces. Birkhaüser, Basel (1992).
J. CHEEGER, D. EBIN, Comparison theorems in Riemannian geometry. North Holland, Amsterdam (1975).
M. P. DO CARMO, Riemannian geometry. Birkhaüser, Basel (1992).
S. GALLOT, D. HULIN, J. LAFONTAINE, Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, (1990).
J. MILNOR, Topology from the differentiable viewpoint. The University Press of Virginia, (1965).
J. MILNOR, Morse Theory. Annals of Math. Studies, Princeton University Press, (1963).
J. MILNOR, J. STASHEFF, Characteristic classes. Annals of Math. Studies, Princeton University Press, (1967).
M. SPIVAK, A comprehensive introduction to differential geometry. 5 volumes. Publish or Perish, Berkeley CA. (1979).


Retour

Mis à jour le 7 juillet 2006